高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第8章第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

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1、 精品資料 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系 1．（2013安徽，5分）直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D. 4 解析：本題主要考查直線與圓的相交弦長問題，意在考查考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想． 依題意，圓的圓心為(1,2)，半徑r＝，圓心到直線的距離d＝＝1，所以結(jié)合圖形可知弦長的一半為 ＝2，故弦長為4. 答案：C 2．（2013陜西，5分）已知點(diǎn)M(a，

2、b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．由點(diǎn)M在圓外，得a2＋b2＞1，∴圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1，則直線與圓O相交． 答案：B　 3．（2013重慶，5分）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：本題主要考查直線與圓的相關(guān)內(nèi)容．|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑．因?yàn)閳A的圓心為(3，

3、－1)，半徑為2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4. 答案：B　 4．（2013山東，4分）過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． 解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力．最短弦為過點(diǎn)(3,1)，且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦長為2＝2＝2. 答案：2 5．（2013四川，13分）已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．直線l：y＝kx與圓C交于M，N兩點(diǎn)． (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋.請將n表示為m

4、的函數(shù)． 解：本題主要考查直線、圓、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性． (1) 將y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得 (1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3. 所以，k的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)． (2)因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x. 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝.

5、 由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以m2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化簡，得5n2－3m2＝36. 由m2＝及k2＞3，可知0＜m2＜3， 即m∈(－，0)∪(0，)． 根據(jù)題意，點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，則n＞0， 所以n＝ ＝. 于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為 n＝(m∈(－，0)∪(0，))． 6．（2012廣東，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長等于(　　) A．3 B．2 C. D．1 解析：圓x2＋y2＝4的圓心(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝1，

6、圓的半徑為2，所以弦長|AB|＝2＝2. 答案：B 7．（2012安徽，5分）若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：欲使直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，只需使圓心到直線的距離小于等于圓的半徑即可，即≤，化簡得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案：C 8．（2012福建，5分）直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度等于(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：

7、圓心(0,0)到直線x＋y－2＝0的距離為1，所以AB＝2＝2. 答案：B 9．（2012陜西，5分）已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則(　　) A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 解析：把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32＋0－4×3＝－3<0，故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交． 答案：A 10．（2011安徽，5分）若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　 B．1 C．3　　 D．－3 解析

8、：圓的方程可變?yōu)?x＋1)2＋(y－2)2＝5，因?yàn)橹本€經(jīng)過圓的圓心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1. 答案：B 11．（2012北京，5分）直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________． 解析：圓心(0,2)到直線y＝x的距離為d＝＝，圓的半徑為2，所以所求弦長為2＝2. 答案：2 12．（2012江西，5分）過直線x＋y－2＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 解析：∵點(diǎn)P在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)P(x0，－x0＋2)，且其中一個(gè)切點(diǎn)為M.∵兩條切線的夾角為60

9、°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由兩點(diǎn)間的距離公式得OP＝ ＝2，解得x0＝.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)． 答案：(，) 13．(2011新課標(biāo)全國，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 則圓C的半徑為＝

10、3. 則以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組： . 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1. 考點(diǎn)二 圓與圓的位置關(guān)系 1．（2013新課標(biāo)全國Ⅰ，12分）已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y

11、2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|. 解：本題是一道解析幾何綜合問題，涉及直線、圓、橢圓等，覆蓋面廣，需要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)、全面，有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力． 由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3. 設(shè)圓P的圓心為P(x，y)半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、

12、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (2)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4. 若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝2. 若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則＝，可求得Q(－4,0)，所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得＝1，解得k＝±. 當(dāng)k＝時(shí)，將y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝

13、0， 解得x1,2＝.所以|AB|＝ |x2－x1|＝. 當(dāng)k＝－時(shí)，由圖形的對稱性可知|AB|＝. 綜上，|AB|＝2或|AB|＝. 2．（2012山東，5分）圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　　　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 解析：兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1、之和為5，而1<<5，所以兩圓相交． 答案：B 3．（2011廣東，5分）設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析：設(shè)圓心C(x，y)，由題意得＝y(tǒng)＋1(y＞0)，化簡得x2＝8y－8. 答案：A 4．(2009·天津，4分)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2，則a＝________. 解析：兩圓方程作差易知弦所在直線方程為：y＝， 如圖，由已知|AC|＝， |OA|＝2. 有|OC|＝＝1，∴a＝1. 答案：1