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雙基限時(shí)練(二十)
基 礎(chǔ) 強(qiáng) 化
1．如圖，、、的終點(diǎn)A、B、C在一條直線上，且＝－3，設(shè)＝p，＝q，＝r，則以下等式成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
解析 ∵＝－3，∴＝2.
∴＝＋＝＋＝＋(－)．
∴＝－＋.∴r＝－p＋q.
答案 A
2．已知平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，滿足＝＋，則||:||＝( )
A．1:|3 B．3:|1
C．1:|2 D．2:|1
解析 ∵＝＋，
∴(－)＝(－)．
∴＝，∴＝2.
∴||＝2||.
2、∴||:|||＝2:|1.
答案 D
3．非零不共線向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析 ∵＝λ，∴－＝λ(－)．
∴＝(1＋λ)－λ.
∴2＝(2＋2λ)－2λ，
∴ ∴
∴x，y滿足x＋y－2＝0.
∴點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程為x＋y－2＝0.
答案 A
4．△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵CD是
3、∠ACB的角平分線，∴＝＝2.
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案 B
5．若點(diǎn)M是△ABC的重心，則下列各向量中與共線的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D．3＋
解析 如圖，設(shè)D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，＝＝(＋)．
同理＝(＋)，
＝(＋)．
∴＋＋＝0，0與共線．
答案 C
6．如圖在△ABC中，AH⊥BC于H，M為AH的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析 ∵B、H、C三點(diǎn)共線，
∴＝(1－t)＋t.
∴2＝(1－t)＋t.
∴＝＋，
∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.
4、答案 B
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，若用a，b來(lái)表示向量， 則＝________.
解析 以＝a，＝b作為以A點(diǎn)為公共起點(diǎn)的一組基底，則
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
答案 a＋b
8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，b＝e1＋e2，c＝e1－e2，若a在基底{b，c}下可表示為a＝λb＋μc，則λ＝________，μ＝________.
答案 ，－
能 力 提 升
9．如圖，平面內(nèi)三個(gè)向量，，，其中∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，且||＝||＝1，
5、||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為_(kāi)_________．
解析 以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OECF，如圖所示．
則＝＋＝λ＋μ.
即＝λ，＝μ.
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝90°.
∴在△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴||＝2，||＝4，∴||＝4.
∵||＝||＝1.
∴＝4，＝2.∴＝4＋2.
∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
答案 6
10．已知四邊形ABCD為矩形，且AD＝2AB，又△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)，＝e1，＝e2，選擇{e1，e2}作
6、為基底，用基底表示向量，，，.
解析 如圖，∵e1＝，e2＝，
∴＝－
＝e2－e1.
由已知AD＝2AB＝DE，且F為DE的中點(diǎn)，
∴四邊形ABDF為平行四邊形．
∴＝＝＝e2，
＝－＝2－＝2e2－e1.
＝＝e2－e1.
11．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析 (1)若a，b共線，
則存在λ∈R，使a＝λb，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線
7、，得
?
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分別為3和1.
12．平面內(nèi)有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O(如圖)，線段OA、OB、OC的中點(diǎn)分別為E、F、G，BC、CA、AB的中點(diǎn)分別為L(zhǎng)、M、N，設(shè)＝a，＝b，＝c.
(1)試用a、b、c表示向
8、量、、；
(2)證明：線段EL、FM、GN交于一點(diǎn)且互相平分．
解析 (1)∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)證明：設(shè)線段EL的中點(diǎn)為P1，則＝(＋)＝(a＋b＋c)．
設(shè)FM、GN的中點(diǎn)分別為P2、P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．∴＝＝.
即EL、FM、GN交于一點(diǎn)，且互相平分．
品 味 高 考
13．設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：
①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；
②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；
③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc；
上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 利用向量加法的三角法則，易得①對(duì)；利用平面向量的基本定理，易得②對(duì)；以a的終點(diǎn)作長(zhǎng)度為μ的圓，這個(gè)圓必須和向量λb有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，故③錯(cuò)；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即必須|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④錯(cuò)．
答案 B
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