函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性

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1、函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用-函數(shù)的對(duì)稱性 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文從必修1中函數(shù)的奇偶性出發(fā)將其推廣，就函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì)。 一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究 必修1中奇函數(shù)的定義：若函數(shù)f，對(duì)于定義域中的任意都有f(-)=-f，則f為奇函數(shù)。 由奇函數(shù)的定義知，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。將這種中心對(duì)稱的特點(diǎn)進(jìn)行推廣得

2、到下面的性質(zhì)。 定理1 函數(shù)y=f的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱的充要條件是f+f(2a－)=2b。 從數(shù)形結(jié)合分析^p ：把(,f)、(2a-,f(2a-))看成f圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。 從代數(shù)方面證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(,y)是y=f圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(,y)關(guān)于點(diǎn)A(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)P′（2a－，2b－y）也在y=f圖象上，∴2b－y=f(2a－)，即y+f(2a－)=2b。 故f+f(2a－)=2b，必要性得證。 （充分性）設(shè)點(diǎn)P(,y0)是y=f圖象上任一點(diǎn)，則y0=f。 ∵f+f(2a－)=2b，∴f+f(2a－)=2b，

3、即2b－y0=f(2a－)。 故點(diǎn)P′（2a－，2b－y0）也在y=f圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱，充分性得征。 必修1中偶函數(shù)的定義：若函數(shù)f，對(duì)于定義域中的任意都有f(-)=f，則f為偶函數(shù)。 由偶函數(shù)的定義知，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸（即直線=0）對(duì)稱。將這種軸對(duì)稱的特點(diǎn)進(jìn)行推廣得到下面的性質(zhì)。 定理2 函數(shù)y=f的圖象關(guān)于直線=a對(duì)稱的充要條件是f(a+)=f(a－)，即f=f(2a－)。 可以仿照定理1的證明方法進(jìn)行證明。 定理3 ①若函數(shù)y=f圖象同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)和點(diǎn)B(b,c)成中心對(duì)稱（a≠b），則y=f是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個(gè)周期。

4、 ②若函數(shù)y=f圖象同時(shí)關(guān)于直線=a和直線=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個(gè)周期。 ③若函數(shù)y=f圖象既關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個(gè)周期。 ①的證明：函數(shù)y=f圖象同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)和點(diǎn)B(b,c)成中心對(duì)稱，∴f+f(2a－)=2c，∴f+f(2b－)=2c,兩式相減得 f(2a－)=f(2b－)，用代2a－得 f=f(2b－2a+)。 所以y=f是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個(gè)周期。 仿照 ①的證明過(guò)程 ②的證明留給讀者，以下給出 ③的證明： ∵函數(shù)y=f

5、圖象既關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對(duì)稱，∴f+f(2a－)=2c。用2b－代，得 f(2b－)+f\[2a－(2b－)\]=2c。 又∵函數(shù)y=f圖象直線=b成軸對(duì)稱， ∴f(2b－)=f代入（），得 f=2c－f\[2(a－b)+\]。 （） 用2（a－b）－代，得 f\[2(a－b)+\]=2c－f\[4(a－b)+\]，代入（），得f=f\[4(a－b)+\],故y=f是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個(gè)周期。 二、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究 定理4 函數(shù)y=f與y=2b－f(2a－)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對(duì)稱。 定理5 ①函數(shù)y=f與y=f(2a－)的圖象關(guān)于直線=

6、a成軸對(duì)稱。 ②函數(shù)y=f與a－=f(a－y)的圖象關(guān)于直線+y=a成軸對(duì)稱。 ③函數(shù)y=f與－a=f(y+a)的圖象關(guān)于直線－y=a成軸對(duì)稱。 推論：函數(shù)y=f的圖象與=f(y)的圖象關(guān)于直線=y成軸對(duì)稱?？梢园l(fā)現(xiàn)不同函數(shù)對(duì)稱性與函數(shù)自身的對(duì)稱性有很多相似的地方。 三、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例 例1 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+)為偶函數(shù)，且f(5－)=f(5+),則f一定是（ ）。 (A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) 解：∵f(10+)為偶函數(shù)，∴f(10+)=f(10－)，∴f

7、有兩條對(duì)稱軸=5與=10，因此f是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴=0，即y軸也是f的對(duì)稱軸，因此f還是一個(gè)偶函數(shù)。 故選A。 例2 函數(shù)f的定義域?yàn)镽，若f(+1)與f(-1)都是奇函數(shù)，則( )。 (A)f是偶函數(shù) (B)f是奇函數(shù) (C)f=f(+2)(D)f(+3)是奇函數(shù) 解:∵f(+1)與f(-1)都是奇函數(shù)，∴f(-+1)=-f(+1)，f(--1)=-f(-1)，∵函數(shù)f關(guān)于點(diǎn)（1，0），及點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，函數(shù)f是周期T=2［1-（-1）］=4的周期函數(shù)。f(--1+4)=-f(-1+4)，f(-+3)=-f(+3)，即f(+3)是奇函數(shù)。故選D。 （作者單位：） 第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)