萬(wàn)變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題四 解三角形 Word版含解析

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1、 專題四 解三角形 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 變形形式 a＝2Rsin_A,b＝2Rsin_B,c＝2Rsin_C； sin A＝,sin B＝, sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形中常用的面積公式 （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分

2、別表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝rs。 3．仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 4．方位角 從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角(如圖②,B點(diǎn)的方位角為α)． 5．方向角 相對(duì)于某一正方向的角(如圖③)． (1)北偏東α：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． (2)東北方向：指北偏東45. (3)其他方向角類

3、似． 二、題之本：思想方法技巧 1．已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),要謹(jǐn)防漏解． 2．在判斷三角形的形狀時(shí),一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系(注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論)或邊邊關(guān)系,再用三角變換或代數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解,注意等式兩邊的公因式一般不要約掉,而要移項(xiàng)提取公因式,否則有可能漏掉一種形狀． 3．要熟記一些常見(jiàn)結(jié)論,如三內(nèi)角成等差數(shù)列,則必有一角為60；若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列,則三邊也成等差數(shù)列；內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論：sinA＝sin(B＋C),cosA＝－cos(B＋C),sin＝cos,sin2A＝－

4、sin2(B＋C),cos2A＝cos2(B＋C)等． 4．應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： (1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫(huà)出示意圖； (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中到一個(gè)三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解； (4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求得的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解． 5．正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角

5、形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法．注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． 6.要注意銳角三角形中的隱含條件：任意兩內(nèi)角的和大于． 例：設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,　 （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范圍　 【解】（Ⅰ）由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得　 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修5第3頁(yè)例1）改編 中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的值為（ ） 【解析】先

6、求出,再求出,最后用一次正弦定理即得.選D. 2.原題（必修5第10頁(yè)習(xí)題1.1A組第2題）改編1 在三角形ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩個(gè)解的是（　 ） A．a(chǎn)=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A= C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A= 【解析】C. 改編2 在△ABC中,已知,,B=45 ,求A、C及c. 3.原題（必修5第10頁(yè)習(xí)題1.1B組第2題）改編 （2010遼寧）在△ABC中,a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊,且（Ⅰ）求A的

7、大?。唬á颍┣蟮淖畲笾? 【解析】（Ⅰ）由已知,根據(jù)正弦定理得 即,由余弦定理得 ,故,A=120 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故當(dāng)B=30時(shí),sinB+sinC取得最大值1. 4.原題（必修5第11頁(yè)例2）改編 如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸兩個(gè)建筑物C、D之間的距離,在河岸這邊取兩點(diǎn)A、B,測(cè)得∠BAC=45,∠DAC=75,∠ABD=30,∠DBC=45.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面內(nèi),試求C、D之間的距離. 5.原題（必修5第19頁(yè)習(xí)題1.2A組第1題）改編 一只船以均勻的速度由A點(diǎn)

8、向正北方向航行,如圖,開(kāi)始航行時(shí),從A點(diǎn)觀測(cè)燈塔C的方位角為30,行駛60海里后,船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔C的方位角為45,求A到C的距離． 【解析】A到C的距離為海里． 6.原題（必修5第81頁(yè)習(xí)題3.2B組第四題）改編 如圖,氣象部門(mén)預(yù)報(bào)：在海面上生成了一股較強(qiáng)臺(tái)風(fēng),在距臺(tái)風(fēng)中心60千米的圓形區(qū)域內(nèi)將會(huì)受嚴(yán)重破壞．臺(tái)風(fēng)中心正從海岸M點(diǎn)登陸,并以72千米/時(shí)的速度沿北偏西60的方向移動(dòng)．已知M點(diǎn)位于A城的南偏東15方向,距A城千米；M點(diǎn)位于B城的正東方向,距B城千米．假設(shè)臺(tái)風(fēng)在移動(dòng)過(guò)程中,其風(fēng)力和方向保持不變,請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）A城和B城是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的侵襲？并說(shuō)明理由；（2）若受到此次臺(tái)風(fēng)侵襲,該城受到臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間有多少小時(shí)？ 【解析】（1）A城不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響：B城會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）小時(shí)；