6、Hk必須滿足的條件的是C 。
A. Hk之間有簡單的迭代形式
B.擬牛頓條件
C.與海塞矩陣正交
D.對稱正定
7、函數(shù)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的A。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。
A 梯度法
B 牛頓法
C 變尺度法
D 坐標輪換法
9、設為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。
A 正定
7、
B 半正定
C 負定
D 半負定
10、下列關于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯誤的是D，假設要求在區(qū)間[a，b]插入兩點α1、α2，且α1<α2。
A、其縮短率為0.618
B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b-a）
D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。
11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值A方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值 B
方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 C方向。
A、上升
B、下降
C、不變
D、為零
12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 B。
A、等值線族的一個共
8、同中心
B、梯度為0的點
C、全局最優(yōu)解
D、海塞矩陣正定的點
13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為 B 向量。
A 相切
B 正交
C 成銳角
D 共軛
14、下列關于內點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是A。
A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。
B 懲罰因子是不斷遞減的正值
C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。
D 初始點必須在可行域內
三、問答題（看講義）
1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？
2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么
9、？
3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。
4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。
5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。
6、什么是共軛方向？滿足什么關系？共軛與正交是什么關系？
四、解答題
1、試用梯度法求目標函數(shù)f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最優(yōu)解，設初始點x(0)=[-2，4]T,選代精度ε=0.02（迭代一步）。
解：首先計算目標函數(shù)的梯度函數(shù) ?f=3*x1-x2-2x2-x1,
計算當前迭代點的 梯度向量值 ?fX0=-3*2-4-24+
10、2=-126
梯度法的搜索方向為 S（k）=-?f, 因此在迭代點x(0) 的搜索方向為[12，－6]T
在此方向上新的迭代點為：
X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0）
=-24+α12-6=-2+12α4-6α
把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關于單變量α的函數(shù)F(α)
fXk+1=f-2+12α4-6α=1.5(-2+12α)2+0.5(4-6α)2--2+12α4-
11、 6α- 2-2+12α＝F(α)
令 dF(α)dα=-180+612α＝0，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長
α＝517≈0.2941
新的迭代點為X（0）+αS（0）＝ 1.52922.2354
當前梯度向量的長度?f=12x12+6x6=13.4164>ε, 因此繼續(xù)進行迭代。
第一迭代步完成。
2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點x(0)=[2,1]T。
解1：（注：題目出題不當，初始點已經是最優(yōu)點，解2是修改題目后解法。）
牛頓法的搜索方向為S(k)=-?
12、2f-1?(f),因此首先求出當前迭代點x(0)
的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1
?f（x(0)）=00
?2f＝4-4-48
?2f-1 =
S(k)=-?2f-1?f=00
不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。
解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。
以非最優(yōu)點x(0)=[1,2]T作為初始點，重新采用牛頓法計算
牛頓法的搜
13、索方向為S(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當前迭代點x(0)
的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣
梯度函數(shù)：
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1
初始點梯度向量：
?f（x(0)）=-812
海色矩陣：
?2f＝4-4-48
海色矩陣逆矩陣：
?2f-1 =
當前步的搜索方向為：
S(k)=-?2f-1?(f)＝- -812＝-11
新的迭代點位于當前的搜索方向上 ：
X（k+1）
14、=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0）
＝12＋α-11＝1-α2＋α
把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關于單變量α的函數(shù)F(α)
fXk+1=f1-α2＋α=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α)
令 dF(α)dα=20α+ 20＝0，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長
α＝-1
新的迭代點為 X(1)=X（0）+αS（0）＝ 12 –-11＝ 21
當前梯度向量的長度?f=12x12+8x8=14.4222>ε, 因此繼續(xù)進行迭代。
第二迭代步：
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*
15、x2 - 4*x1
?f（x(1)）=00
?f=0<ε
因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經到達最優(yōu)點。
這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點。
3、設有函數(shù) f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試利用極值條件求其極值點和極值。
解：首先利用極值必要條件
?f=00找出可能的極值點：
令
?f＝2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1＝00
求得x1x2=42,是可能的極值點。
再利用充分條件?2f正定（或負定）確認極值點。
16、 ?2f＝2-2-24
2＝2>0
2-2-24＝8-4＝4>0
因此?2f正定, X*=x1x2=42是極小點，極值為f(X*)=-8
4、求目標函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。
解法同上
5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點[1，1，-2]T處具有極小值。
解： 必要條件：
?f＝ 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3
將點[1，1，-2]T帶入上式，可得
?f＝
17、000
充分條件
?2f＝
4＝4>0
40010＝40>0
＝80-40-16＝24>0
?2f正定。
因此函數(shù)在點[1，1，-2]T處具有極小值
6、給定約束優(yōu)化問題
min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2
s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0
g2(X)=－x1－2x2＋4≥0
g3(X)= x1≥0
g4(X)=x2≥0
驗證在點Kuhn-Tucker條件成立。
解：首先，找出在點起作用約束：
g1(X) ＝0
g2(X) ＝0
g3(X)
18、＝2
g4(X) ＝1
因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。
然后，計算目標函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。
?f＝2*x1 - 6 2*x2 - 4＝-2-2
?g1＝ -2*x1 -2*x2＝-4-2, ?g2＝-1 -2
求解線性組合系數(shù) ?f=λ1?g1+λ2?g2
-2-2=λ1-4-2+λ2-1 -2
得到 λ1＝13, λ2=23, 均大于0
因此在點Kuhn-Tucker條件成立
7、設非線性規(guī)劃問題
19、
用K-T條件驗證為其約束最優(yōu)點。
解法同上
8、已知目標函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：
g1(X)=-x12+x2≥0
g2(X)=x1≥0
寫出內點罰函數(shù)。
解：
內點罰函數(shù)的一般公式為
其中： r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一個遞減的正值數(shù)列
r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1
因此 罰函數(shù)為：
?X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1)
9、已知目標函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2
受約束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0
g2(X)=2-
20、x1-x2≥0
g3(X)=x1≥0
g4(X)=x2≥0
試寫出內點罰函數(shù)。
解法同上
10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉，造一個無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
11、某廠生產一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大
21、，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。
15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道內液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關系（s只包括底邊和兩側邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。
16、某電線電纜車間生產力纜和話纜兩種產品。力纜每米需用材料9kg，3個工時，消耗電能4kWh，可得利潤60元；話纜每米需用材料4kg，10個工時，消耗電能5kWh，可得利潤120元。若每天材料可供應360kg，有300個工時消耗電能200kWh可利用。如要獲得最大利潤，每天應生產力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
專心---專注---專業(yè)
《機械優(yōu)化設計》復習題-答案(共11頁)
