高中數(shù)學(xué)蘇教版選修22學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)12 類比推理 Word版含解析

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1、 精品資料 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝，可推知扇形面積公式S扇＝________. 【解析】　扇形的弧長(zhǎng)類比三角形的底，扇形的半徑類比三角形的高，所以S扇形＝. 【答案】　 2．(2015晉州模擬)數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，若bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，類比上述結(jié)論，正項(xiàng)等比數(shù)列{cn}，若dn＝________，則數(shù)列{dn}也為等比數(shù)列． 【解析】　∵根據(jù)等差數(shù)列構(gòu)造的新的等差數(shù)列是由原來(lái)的等差數(shù)列和下標(biāo)

2、一致的數(shù)字倍的和，除以下標(biāo)的和，∴根據(jù)等比數(shù)列構(gòu)造新的等比數(shù)列，乘積變化為乘方c1cc…c，原來(lái)的除法變?yōu)殚_(kāi)方(c1cc…c). 【答案】　(c1cc…c) 3．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“mn＝nm”類比得“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“|mn|＝|m||n|”類比得“|ab|＝|a||b|”； ④“＝”類比得“＝”． 以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的序號(hào)是________． 【解析】　①②均正確，③④不正確． 【答案】?、佗? 4．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正

3、四面體，類似的結(jié)論是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01580034】 【解析】　原問(wèn)題的解法為等面積法，即正三角形的面積S＝ah＝3ar?r＝h. 類比，用等體積法，V＝Sh＝4rS?r＝h. 【答案】　正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 5．(2016日照模擬)已知雙曲正弦函數(shù)sh x＝和雙曲余弦函數(shù)ch x＝與我們學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請(qǐng)類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角公式，寫(xiě)出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類比的正確結(jié)論________． 【解析】　類比結(jié)論為ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y. 證明：右邊＝－ ＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y

4、＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝[2ex－y＋2e－(x－y)]＝＝ch(x－y)＝左邊． 【答案】　ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y(答案不惟一) 6．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為_(kāi)_______． 【解析】　結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)，類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29. 【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29 7．(2016日照高二檢測(cè))二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2π

5、r，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________. 【解析】　因?yàn)閂＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V. 【答案】　2πr4 8．(2016安徽阜陽(yáng)一中檢測(cè))對(duì)于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)as”類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題是：“________”． 【解析】　首先，需要類比寫(xiě)出b1＝1，然后寫(xiě)出

6、bt＝qt－1，bs＝qs－1，即可發(fā)現(xiàn)：b＝b. 【答案】　若{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有b＝b. 二、解答題 9．如圖2110，在三棱錐S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1，α2，α3，三側(cè)面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個(gè)猜想． 圖2110 【解】　在△DEF中， 由正弦定理， 得＝＝. 于是，類比三角形中的正弦定理， 在四面體SABC中， 猜想＝＝成立． 10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥

7、BC于D，求證：＝＋.那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由． 【解】　證明：如圖所示，由射影定理，AD2＝BDDC，AB2＝BDBC，AC2＝BCDC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. 猜想四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD. 則＝＋＋. 證明：如圖，連接BE并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. ∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋. [能力提升] 1．下面使用類比推

8、理恰當(dāng)?shù)男蛱?hào)是________．(填序號(hào)) ①“若a3＝b3，則a＝b”類推出“ac＝bc，則a＝b”； ②“(ab)c＝a(bc)”類推出“(ab)c＝a(bc)”； ③“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“＝＋(c≠0)”； ④“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”． 【解析】?、佗冖芫e(cuò)． 【答案】?、? 2．(2016溫州高二檢測(cè))如圖2111所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于________． 圖2111 【解析】　如圖所示，設(shè)雙曲線方程為－

9、＝1(a>0，b>0)， 則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， 所以＝(c，b)，＝(－a，b)． 又因?yàn)椤停? 所以＝b2－ac＝0， 所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0， 所以e＝或e＝(舍去)． 【答案】　 3．在平面幾何里，由勾股定理：設(shè)△ABC的兩條邊BC，AC互相垂直，則BC2＋AC2＝AB2. 拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積和底面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩垂直，則________”． 【解析】　線的關(guān)系類比到面的關(guān)系，猜測(cè)S＝S＋S＋S.證明如下：

10、 如圖作AE⊥CD連接BE，則BE⊥CD， S＝CD2BE2＝CD2(AB2＋AE2)＝(AC2＋AD2)(AB2＋AE2)＝(AC2AB2＋AD2AB2＋AC2AE2＋AD2AE2) ＝(AC2AB2＋AD2AB2＋CD2AE2)＝S＋S＋S 【答案】　S＝S＋S＋S 4．我們知道三角形的性質(zhì)：如圖2112，過(guò)△ABC的底邊AB上任一點(diǎn)O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC，AC于A1，B1，則＋為定值1.那么你能類比此性質(zhì)，猜想四面體中所具有的性質(zhì)嗎？試證明你的猜想是否正確． 圖2112 【解】　猜想的性質(zhì)為：如圖①，過(guò)四面體V－ABC的底面ABC上任一點(diǎn)O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面的交點(diǎn)，則＋＋為定值1. ① 證明如下： 設(shè)平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，則△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV. 所以＋＋＝＋＋. ② 如圖②，在底面△ABC中，由于AM，BN，CL相交于一點(diǎn)O，用面積法易證得＋＋＝1. 所以＋＋為定值1.