經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分

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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 2.1 極限概念 研究函數(shù)是利用極限的方法來進(jìn)行;極限是一個(gè)變量在變化過程中的變化趨勢. 例1 圓的周長的求法.早在公元263年,古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形……等的邊長近似圓的周長,顯然隨著邊數(shù)的增加,正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長. 例2 討論當(dāng)時(shí),的變化趨勢. 例3 討論一個(gè)定長的棒,每天截去一半,隨著天數(shù)的增加,棒長的變化趨勢。 “一尺之棰,日截其半,萬世不竭”——莊子?天下 定義2.3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域(點(diǎn)可以除外)內(nèi)有定義,如果當(dāng)無限趨于(但)時(shí),無限趨近于某個(gè)常數(shù),則稱趨

2、于時(shí),以為極限,記為 或 若自變量趨于時(shí),函數(shù)沒有一個(gè)固定的變化趨勢,則稱函數(shù)在處沒有極限. 在理解極限定義時(shí)要注意兩個(gè)細(xì)節(jié): 1.時(shí),() 2.(包括這兩種情況) 例1 討論時(shí), =? 解:求極限時(shí),可以利用極限的概念和直觀的了解,我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出,當(dāng)時(shí),,即=4 例2討論函數(shù),當(dāng)時(shí)的極限 解:此函數(shù)在處沒有定義,可以借助圖形求極限.由 圖形得到 2.1.3 左極限和右極限 考慮函數(shù),依照極限的定義,不能考慮的極限. 因?yàn)樵谔師o定義. 又如函數(shù),如果討論是的極限,則函數(shù)分別在和時(shí)不是同一個(gè)表達(dá)式,必須分別考慮.由此引出左

3、右極限的概念. 定義2.4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域(點(diǎn)可以除外)內(nèi)有定義, 如果當(dāng)且x無限于(即x從的左側(cè)趨于,記為)時(shí),函數(shù)無限地趨近于常數(shù)L,則稱當(dāng)x趨于時(shí),以L為左極限,記作 = L; 如果當(dāng)且x無限趨于(即x從的右側(cè)趨于,記為)時(shí),函數(shù)無限地趨近于常數(shù)R,則稱當(dāng)x趨于時(shí),以R為右極限,記作= R . 極限存在的充分必要條件: 極限存在的充分必要條件是:函數(shù)在處的左,右極限都存在且相等.即 例3 , 求 解:注意到此函數(shù)當(dāng)x=0的兩側(cè)表達(dá)式是不同,在0點(diǎn)處分別求左、右極限. , 可見左右極限都存在但不相等;由幾何圖形易見,由極限的定義知,函數(shù)在某點(diǎn)處有極限存在需在該點(diǎn)處

4、的左右端同趨于某個(gè)常數(shù),因此此函數(shù)在0點(diǎn)處極限不存在. 2.1.4 無窮小量 稱當(dāng)時(shí),為無窮小量,簡稱無窮小. 補(bǔ)充內(nèi)容: 無窮小量是一個(gè)特殊的變量,它與有極限變量的關(guān)系是: 變量y以為A極限的充分必要條件是:y可以表示成A與一個(gè)無窮小量的和,即 無窮小量的有以下性質(zhì): 性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小量的和是無窮小量; 性質(zhì)2 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量; 性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量. 無窮大量:在某個(gè)變化過程中,絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實(shí)數(shù)的變量稱為無窮大量. 例如 因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關(guān)系”: 定理

5、:當(dāng)(或)時(shí),若是無窮?。ǘ?,則是無窮大;反之,若是無窮大,則是無窮小. 例4,當(dāng)時(shí), 解: 由圖形可知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),是無窮小量. 2.2 極限的運(yùn)算 2.2.1 極限的四則運(yùn)算法則 在某個(gè)變化過程中,變量分別以為極限,則 , 例1 求 解: 例2 求 解: 例3 求 解: 例4 求 解: 2.2.2 兩個(gè)重要極限 1. 幾何說明: 如圖,設(shè)為單位圓的圓心角,則對應(yīng)的小三角形的面積為,對應(yīng)的扇形的面積為,對應(yīng)的大三角形的面積為當(dāng)時(shí),它們的面積都是趨于0的 ,即之比的極限是趨于1的. 例1 解:= 2. 例2 求極限 解: 例3

6、求極限 解 2.3 函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義,若滿足,則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn). 函數(shù)間斷、間斷點(diǎn)的概念 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù),則稱在點(diǎn)處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點(diǎn),稱為的間斷點(diǎn) 例如 函數(shù),, 在定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 例1 ,問在處是否連續(xù)? 注意:此函數(shù)是分段函數(shù),是函數(shù)的分段點(diǎn). 解: , 不存在,在處是間斷的. 例2 ,問在處是否連續(xù)? 解: (無窮小量有界變量=無窮小量)在處是連續(xù)的. 結(jié)論:(1)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的; (2)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算在其有定義處連續(xù); (3)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是

7、連續(xù)的. 例3 解: 注意: 是初等函數(shù),在處有定義,利用 結(jié)論有極限值等于函數(shù)值. 2.4 導(dǎo)數(shù)與微分的概念 本節(jié)的主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分的概念. 三個(gè)引例 邊際成本問題 瞬時(shí)速率問題 曲線切線問題 引例1: 邊際成本問題 C—總成本,—總產(chǎn)量 已知 (當(dāng)自變量產(chǎn)生改變量,相應(yīng)的函數(shù)也產(chǎn)生改變量) ),(成本平均變化率),(邊際成本) 引例2: 瞬時(shí)速率問題 路程是時(shí)間的函數(shù),當(dāng)從時(shí),從 (平均速率) (在時(shí)刻的瞬時(shí)速率) 引例3:曲線切線問題 考慮曲線在處的切線斜率. 當(dāng)時(shí),對應(yīng)的,曲線上和兩點(diǎn)間割線的斜率為 (當(dāng)時(shí)),稱為切線的斜率

8、. 關(guān)于函數(shù) ,,考慮極限 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量時(shí),函數(shù)取得相應(yīng)的改變量. 若當(dāng)時(shí),兩個(gè)改變量之比的極限 存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱此極限值為 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記為或或或 即 = 若極限不存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo). 在理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)要注意:導(dǎo)數(shù)也是逐點(diǎn)討論的. 導(dǎo)數(shù)定義的意義 數(shù)量意義 變化率 經(jīng)濟(jì)意義 邊際成本 幾何意義 切線的斜率 例1 ,求 思路:先求,再求. 解:因?yàn)? 所以, 例2 ,求 解: 因?yàn)? 所以 導(dǎo)數(shù)公式 求導(dǎo)步驟 1、求; 2、求. 注意:是的導(dǎo)函數(shù),

9、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值 微分的概念 設(shè),導(dǎo)數(shù),兩邊同乘,得到函數(shù)的微分. 微分 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 由導(dǎo)數(shù)公式可以得到微分公式 2.5 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 導(dǎo)數(shù)的加法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo),且 (為常數(shù)) 加法公式證明 證:設(shè),則 , 由已知條件,均可導(dǎo). 導(dǎo)數(shù)的乘法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo),且 導(dǎo)數(shù)除法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo),且 () 例1 設(shè)函數(shù),求 析:現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

10、 解: (利用加法法則) =(利用導(dǎo)數(shù)公式) 例2 設(shè),求. 解: (提示 ) 例3 設(shè),求. 解:(提示) 例4 , 解:因?yàn)椋ㄓ蓪?shù)的性質(zhì):) 所以 (其中常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0) 例5 設(shè),求. 解:利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則,(利用導(dǎo)數(shù)公式) 例6 ,求. 解:<方法1>由導(dǎo)數(shù)基本公式 <方法2> 利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則 說明無論用哪種方法其結(jié)果是唯一的. 例7 ,求. 解:<方法1> 將函數(shù)看成,利用乘法法則求導(dǎo). <方法2> 利用導(dǎo)數(shù)的除法法則求導(dǎo) 其中.兩個(gè)結(jié)果是完全一樣的. 例8 求 解: (利用三角公式)同理可求. 2.5

11、.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 問題:,求 ,則 解:第一個(gè)問題,求導(dǎo)數(shù)沒有直接公式可用. 方法1:將函數(shù)展開 利用加法法則有 方法2:將函數(shù)寫成兩個(gè)因式乘積的形式 ,利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù). 第二個(gè)問題,展開?共101項(xiàng),求導(dǎo)很麻煩. 寫成因式乘積的形式,求導(dǎo)也將很麻煩. 在這節(jié)課我們將介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則. 討論,引進(jìn)中間變量 2.5.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理 設(shè)y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),y=f(u)在點(diǎn)u=j(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(j(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo),且 或 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟 分清函數(shù)的復(fù)合層次,找出所有的中間變

12、量; 依照法則,由外向內(nèi)一層層的直至對自變量求導(dǎo). 多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 對于多層復(fù)合的函數(shù),即 若,則 或 注意:多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對自變量求導(dǎo). 問題: 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)? 解:先將從方程中解出來,得到和 分別求導(dǎo)和 將和分別代入,得 (1) 由(1)解得: (2) 在(2)中隱含 隱函數(shù)求導(dǎo)方法步驟 方程兩邊求導(dǎo),; 整理方程,求出. 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 (1),求 解:方法一: 由 .這是用導(dǎo)數(shù)的乘法法則. 方法二: 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,設(shè) (其結(jié)果是完全一樣的) (2),求 解:利

13、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,設(shè) . (3),求. 解:利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,設(shè) , 例2設(shè),求 解:先求一般點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再將代入求得結(jié)果. 設(shè),利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, , 例3設(shè)函數(shù),求. 解:(首先對函數(shù)進(jìn)行分解,找出所有中間變量) , 例4 求函數(shù),求. 解: 例5 設(shè)函數(shù),求. 解: [] 例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解:方程兩邊對自變量求導(dǎo)數(shù),此時(shí)是中間變量. ,解出(與前面的結(jié)果相同). 例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)? 解:方程兩邊對自變量求導(dǎo)數(shù),此時(shí)是中間變量. ,解得 注意:在隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果中常常含有. 例8 求雙曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率. 分析:此題是求隱函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 解:因?yàn)?所以,且在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率 2.6 高階導(dǎo)數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù) 例1: 一般地,,函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)記為 例1 求函數(shù)的二、三階導(dǎo)數(shù). 解: ,, 例2 求的二階導(dǎo)數(shù) 至導(dǎo)數(shù). 解: ,, …

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