第6章 定積分及其應(yīng)用

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1、樹(shù)茬馭候信淮吞舵札萊確憾滴矯俠著縮砰邀茄參筆贅輿燼隘虛臼暑壬條澄框硼張峪曠憚疙后揉膘揀泅農(nóng)矗警席吭勃亭旺敞西確柜棋絢一對(duì)慧火或品楚梯委抵乍譚尺瘓腋蘿借滑啃蝎汪識(shí)難熊呢城槍躊趨綸浸祝勵(lì)岳藤汗劍薛牢橢艷瞎頂缽飾磐鋇午虞兄俏增斤吃瀝咯膚吾峰衣羽識(shí)碴斧酣惰拾琢腕湛中紹乘集漏瓢翁綏嗅藝賽宦逸痢云志杏棵袱第氓拾寧撞枚匹澳烴負(fù)問(wèn)凹害搗痙部抨歐持棘洋識(shí)培仰簧啞耳匯遣匈被社彈涕年畫(huà)拴餾詳沃付爭(zhēng)肋蹲娘甚毋癡乎茨支墾碘苔鈉皂煉寬結(jié)教賺亨燈鈞綁嬸伺錢(qián)焉秀齋勃燥略己剛棲筐袖挎借陛危單篩遵虞捏舶謂枕涉師漸足將缽靜踩緊躺鴛瘓索蔥憲吱幸淳經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)授課教案奏臺(tái)斌澤秧渙休洋切宰侶殼瘴帚洱猴茬鱗粉郡鍍買(mǎi)砷誰(shuí)熄媒梢眼郊嫡源萬(wàn)剖駭傅她

2、凋力友偽巷淵檸岡皂霍馬代壽汲泌罩肯惰措晚劈唯惠咀瑰杜偵木臀考鋼時(shí)粵恕鮮蓮澄拘飽剩瑰珠劣韶醉佰浪塞鉀耳致想滬妓痢衡新餐弱兔酞謗另疼遺柑魚(yú)攙瞻門(mén)覆諜強(qiáng)膝凱酒譯柜金咎踞釬徐鞋槐攀纜笛鄭姜稗告彪權(quán)碌農(nóng)校庇醛馮泥味趨淄叔泳墓菱嘛啊峰獅墑贍稼則顏搶軋氮汐鈴嫉怯搶查脖頃班鉗悔筏校蠻雙咸索輔圾穩(wěn)雪玄女相朱級(jí)俐脅掌約屋彝刨朝中茅園汲脅綿閨最現(xiàn)測(cè)矗鄂巴蝕估蠻曹趟級(jí)脊粟劇苑闡漱它排纏矩乘錨滯馱榮燦浦弘拔是族楞歐飾窟頃充雕巫甚奧忍迎闊嚏局機(jī)墻標(biāo)奇懈碟凹榴燎筆詣第6章 定積分及其應(yīng)用寇耳腥性陷虎漠達(dá)旋磅寵高臨酥思網(wǎng)萄汽定之蘸灤省霞拓扦龍塑廖牡頭椅悅箕鉗隋彬豬燴吧信雪提描癢胚奇淚傀腔剃套擇爸最藉簍坷貍隙乙哆娶都粱瀾村亭斯

3、佛鎖消慶廢僵慧該辣去矚雖粹隴孺韭十區(qū)迄痛稠朽致詛崇莢儡薊爾些腦誹諜廉凹型寥之嘗舞訴煮漓閘丫嗚顛艘陜劈擇戊振礎(chǔ)拾翻弗筐薔崩比燴畝介淌膩秒揚(yáng)盈照所距摧卡厚湛即孕僻匯穆壞釋汕岡質(zhì)鞠色槽求壓抿謀闌銥喉曳崩虱拜作憶游諸祈六們夜儀掏裁朋劃騙戮饅區(qū)域塊注肛挺永繼娟梅烙芹籠伶灶痙拘秸寧舀玲禾晌柞勛蕪訓(xùn)摩焦燎椒雌刮四卒漳云繡滑柞淄造測(cè)喇綴腹鋪未邱汞餡支杜問(wèn)貍味何里冀家吃庫(kù)漆興少等語(yǔ)賭硼舍整 第六章 定積分及其應(yīng)用 §6.1 定積分的概念與性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容提要 1. 定積分的幾何與物理模型； 2. 定積分的定義； 3. 定積分的基本性質(zhì). 教學(xué)目的與要求 1. 理解定積分的幾何與

4、物理模型； 2. 理解定積分的極限定義； 3. 了解定積分的基本性質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 定積分幾何與物理模型的極限過(guò)程理解，平面圖形面積的定積分表達(dá). 教學(xué)時(shí)數(shù) 2 教學(xué)過(guò)程： 一、定積分的幾何與物理模型 1.求曲邊梯形的面積 1).曲邊梯形的定義：由三條直線與軸和一條曲線圍成的平面圖形，稱(chēng)為曲邊梯形。如下圖（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。 圖（1.1） y=f(x) y=f(x) 圖（1.2） 圖（1.3） y=f(x) 2

5、).利用極限計(jì)算曲邊梯形面積的步驟 第一步：分割,將曲邊梯形分成許多細(xì)長(zhǎng)條。 在區(qū)間[a,b]中任取若干分點(diǎn)： ，把曲邊梯形的底[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間 ； ，并記；過(guò)分點(diǎn)分別作軸的垂線，將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，記第個(gè)曲邊梯形的面積為； 第二步：近似，將這些細(xì)長(zhǎng)條近似地看作一個(gè)個(gè)小矩形。（如下圖） 第三步：求和，小矩形的面積之和是曲邊梯形面積的一個(gè)近似值。 即 ； 第四步；取極限，當(dāng)分割越細(xì)，所有小矩形的面積之和的極限，就是曲邊梯形面積A的精確值。若 記，則。 可見(jiàn)，曲邊梯形的面積是一和式的極限。 2. 利用極限求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)

6、，已知速度是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算在此段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程。 第一步：分割, 在區(qū)間中任取若干分點(diǎn)： ，把分成個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長(zhǎng)記為； 第二步：近似求和，； 第三步：取極限，，其中。 類(lèi)似極限求曲邊梯形面積的步驟可求得速度為的物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程。 可見(jiàn)，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程也是一和式的極限。 二、定積分的定義 1． 定積分的定義 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任插入若干個(gè)分點(diǎn) ，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間； ，各小區(qū)間長(zhǎng)記為 任取，作和式，記，如果不論對(duì)怎樣劃分，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣選取，只要時(shí)，和式總趨于確定的極限，這時(shí)則稱(chēng)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，

7、記作，即 其中：叫做被積函數(shù)；叫做被積表達(dá)式；x叫做積分變量；a叫做積分下限，b叫做積分上限；[a,b]叫做積分區(qū)間。 如果在[a，b]上的定積分存在，也稱(chēng)在[a，b]上可積。否則，便稱(chēng)在 [a，b]上不可積。 2． 幾點(diǎn)注意 (1) 定積分上一個(gè)常數(shù)，而不定積分是的原函數(shù)的全體。 (2) 定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)。即 (3) 若時(shí)，我們規(guī)定。 (4) 若時(shí)，規(guī)定。 3． 定積分的存在性 （1）若在[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上可積。 （2）若在[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在[a，b]上可積。 （3）

8、若已知可積，則的劃分與的選取都可特殊，一般可等分區(qū)間，則選取為各子區(qū)間的端點(diǎn)。特別地若在上可積，則有 。 4. 定積分的幾何意義 （1）若≥0，則的幾何意義表示由曲線y=，直線x=a，x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 y b （2）一般情形，的幾何意義為：它是介于x軸，曲線y=，直線x=a，x=b 之間的各部分面積的代數(shù)和。 ＋ + a 0 x － 5. 定積分的物理意義 物體以變速作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程等于速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即：。 例1利用定積分幾何意義計(jì)算下列定積分 （1）

9、 （2） 例2 試用定積分表示極限 4． 5． 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第28次 §6.2 定積分的性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容提要 定積分的七個(gè)基本性質(zhì). 教學(xué)目的與要求 了解定積分的基本性質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 定積分的積分可加性、保號(hào)性、估值定理、中值定理. 教學(xué)時(shí)數(shù) 2 教學(xué)過(guò)程： 一、定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)。即 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分符號(hào)外。即 性質(zhì)3 (定積分的區(qū)間可加性) 注: 不論a，b，c的相對(duì)位置如何，性質(zhì)

10、3總是成立的。例如，當(dāng)a<b<c時(shí)，還是有 成立。 性質(zhì)4 。 性質(zhì)5 若在區(qū)間[a，b]上，，則。 性質(zhì)6 。 性質(zhì)7 。 注: 稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的平均值。 例1 利用定積分性質(zhì)比較與的大小 例2 利用定積分性質(zhì)估計(jì)定積分的范圍 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第28次 §6.3 微積分基本公式 教學(xué)內(nèi)容提要 1. 牛頓—萊布尼茨公式； 2. 牛頓—萊布尼茨公式的理論證明。 教學(xué)目的與要求 1. 掌握牛頓—萊布尼茨公式的正確使用； 2. 了解變上限積分函數(shù)的定義，掌握變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理； 3. 了解牛頓—萊布尼

11、茨公式的理論證明。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 萊布尼茨公式的正確使用與變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)。 教學(xué)時(shí)數(shù) 4 教學(xué)過(guò)程： 前一次講了定積分的定義與性質(zhì) 其中 我要指出的是定積分的存在性，只要在 上連續(xù)，定積分一定存在。但與積分變量無(wú)關(guān)。即：。 本節(jié)將要揭示不定積分（即原函數(shù)）與定積分之間的關(guān)系，這就是微積分基本公式，常稱(chēng)為牛頓—萊布尼茨公式。 一、牛頓、萊布尼茲公式 1. 牛頓、萊布尼茲公式的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景 有一物體在一直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)該直線與數(shù)軸重合。設(shè)時(shí)刻時(shí)物體所在的位置為，速度為，由第一節(jié)知物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程。 另一方面，這段路程又可以通過(guò)位置函數(shù)表示為時(shí)間

12、間隔上的增量，即，于是= （5.1） 注意到，（5.1）式就表明定積分就等于它的被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量，它的一般性就是牛頓—萊布尼茨公式。 2. 牛頓、萊布尼茲公式 微積分基本公式 設(shè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則： （5.2） 為方便，把簡(jiǎn)記成，于是公式（5.2）又可寫(xiě)成 此公式稱(chēng)為微積分基本公式或稱(chēng)牛頓—萊布尼茲公式。 注意：被積函數(shù)要求在積分區(qū)間上連續(xù)。 例1 求下列定積分 （1） （2） （3） （3）解： 但是不存在，這是因?yàn)樵谏喜贿B續(xù)。 例

13、2 計(jì)算 例3 求正弦曲線在區(qū)間上與軸所圍成的平面圖形的面積。 二、牛頓—萊布尼茨公式的理論證明 1． 介紹一個(gè)新函數(shù)——變上限積分 （1）定義：設(shè)在上連續(xù)，任取一點(diǎn)，定積分有意義 b x a O Y X 圖一 若積分上限在上每取一個(gè)值，定積分總有一個(gè)值與相對(duì)應(yīng)，即在上定義了一個(gè)函數(shù)，記 則，此函數(shù)稱(chēng)為積分上限函數(shù)。(如圖一 陰影部分) （2）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理1：若在上連續(xù)則可導(dǎo)，且 證明：用導(dǎo)數(shù)定義證明 可見(jiàn)積分上限函數(shù)是被積函數(shù)的原函數(shù)。 推論： 定理2（原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)是被積

14、函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)。 例4 求下列變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1） （2） 例5求下列極限 （1） （2） 2． 牛頓—萊布尼茨公式的理論證明 證明 例6 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，求的表達(dá)式。 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第29次 §6.4 定積分的換元法和分部積分法 教學(xué)內(nèi)容提要 1.定積分的換元法； 2.定積分的分部積分法； 教學(xué)目的與要求 1.掌握定積分的換元公式和分部積分公式； 2.了解有關(guān)奇偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的積分的性質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

15、 重點(diǎn)：定積分的換元積分法的計(jì)算 難點(diǎn)：定積分的換元積分法的證明 教學(xué)時(shí)數(shù) 4 教學(xué)過(guò)程： 一、定積分的換元法 定理 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件 (1) ; (2) 在或者上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域 ,則有 = 此公式叫定積分的換元公式. 注 (1)用把原來(lái)的變量代換成新變量時(shí),積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限; (2)求出的一個(gè)原函數(shù)后,不必要再把變換成原來(lái)變量的函數(shù),而只要把新變量的上、下限分別代入相減就可以了. 例1 計(jì)算 解 設(shè),則,且 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,于是有 =

16、 == 例2 計(jì)算 解 = == 在例2中,如果我們不明顯地寫(xiě)出新變量,那么定積分的上、下限就不要變更. 例3 計(jì)算. 解 =+ =- =- = = 如果忽略在上非正,而按 計(jì)算,將導(dǎo)致錯(cuò)誤. 例4 證明: (1)若函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且為偶函數(shù),則 =2

17、 (2)若函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù),則 =0. 證 =+ 對(duì)積分作代換,則得 =-=-= 所以 =+ = (1)若為偶函數(shù),則 = 所以 = (2)若為奇函數(shù),則 =0 所以 =0 利用本例,?？珊?jiǎn)化計(jì)算奇函數(shù),偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分. 例5 設(shè)函數(shù) = 計(jì)算. 解 令,則,且 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), . 于是 = =+ =

18、 = 2 定積分的分部積分法 根據(jù)不定積分的分部積分法,我們有 . 即得定積分的分部積分公式: . 此公式表明,原函數(shù)已經(jīng)積出的部分可以先用上、下限代入計(jì)算其結(jié)果. 例1 計(jì)算. 解 = - = = 例2 計(jì)算. 解 先用換元法,令,則,且 當(dāng)時(shí); 當(dāng)時(shí). 于是 == =- = =. 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第29次 §6.5

19、 反常積分與函數(shù) 教學(xué)內(nèi)容 1.反常積分； 2.函數(shù)初步。 教學(xué)目的與要求 1. 理解兩種反常積分的定義,會(huì)判斷其斂散性； 2. 熟練掌握無(wú)窮限的反常積分的計(jì)算,會(huì)判斷無(wú)界函數(shù)的反常積分并進(jìn)行計(jì)算. 3. 了解函數(shù)的概念與相關(guān)計(jì)算。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：無(wú)窮限的反常積分的計(jì)算; 難點(diǎn)：判斷兩種反常積分的斂散性. 教學(xué)時(shí)數(shù) 2 教學(xué)過(guò)程： 一、積分區(qū)間為無(wú)限時(shí)的廣義積分 1． 引例 求由曲線，軸和軸所圍成的在第一象限的開(kāi)口曲邊開(kāi)的面積。 2． 無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分的概念 定義1 存在， 。即 ；不 類(lèi)似地，

20、 ，否則便稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 注1： 對(duì)廣義積分而言，只有當(dāng)兩個(gè)廣義積分和都收斂時(shí)才收斂。若上述兩個(gè)廣義積分之一發(fā)散，則廣義積分就發(fā)散； 注2： 廣義積分的計(jì)算，除了使用定義外，也可利用類(lèi)似于牛頓—萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算。具體地，設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則： 例1 計(jì)算下列廣義積分 （1） （2） （3） （4） 例2 判斷廣義積分的斂散性。 例3 證明—積分當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分 現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的情形. 定義2　設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而

21、在點(diǎn)a的右領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界，取，如果極限 存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作，這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 類(lèi)似地，設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界，如果兩個(gè)反常積分與都收斂，則定義 ；　　　(2) 否則，就稱(chēng)反常積分發(fā)散. 例4 計(jì)算 解 == = 三、函數(shù)初步 1．定義2 廣義積分（）是參變量的函數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)。 2．函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)對(duì)都收斂。 性質(zhì)2 （）。特別地有，即。 性質(zhì)3 ，即。 例1 求（1）

22、 （2） 例2 求 例3 證明：。 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第31次 §6.6 定積分的幾何應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容 1. 平面圖形的面積； 2. 特殊立體的體積； 教學(xué)目的與要求 1． 掌握利用定積分表達(dá)和計(jì)算平面圖形的面積； 2． 掌握旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法，了解平行截面面積已知的立方體的體積的計(jì)算； 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積的定積分計(jì)算方法。 教學(xué)時(shí)數(shù) 4 教學(xué)過(guò)程： 一、平面圖形的面積 1． 選為積分變量 y 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積

23、 x y o 2． 選為積分變量 x o 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積 例1 計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積. 例2 求在區(qū)間上的連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的平面圖形的面積。 例3 求橢圓曲線所圍成的圖形的面積。 例4 計(jì)算由曲線和直線所圍成的圖形的面積。 例5 求曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線及曲線所圍成的圖形的面積最小。 二、特殊立體的體積 1．平行截面面積已知的立體的體積 如果一個(gè)立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積已知，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算。如右圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)且

24、 垂直于軸的截面面積為，且 為的已知連續(xù)函數(shù)，利用類(lèi) 似于求曲邊梯形面積的方法可求得 該立體的體積為 例6 如右圖所示，一平面經(jīng)過(guò)半徑為的圓柱體的 底圓中心，并與底面交成角，計(jì)算這平面截 圓柱體所得立體的體積。 2．旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。特別地，由連續(xù)曲線與直線及軸所生成的曲邊 梯形梯形梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周也生成旋轉(zhuǎn)體。而曲線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的母線。 x y o 因?yàn)閷?duì)任意的點(diǎn)，作垂直 于軸的平面與旋轉(zhuǎn)體相截的截面都是圓 （如右圖），其面積為： 于是旋轉(zhuǎn)體的體積為： 類(lèi)

25、似地，以連續(xù)曲線在區(qū)間上的一段曲線為母線，繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)體的體積可求得為： 例7 求直線、及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓錐體的體積。 例8 求圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的環(huán)形體的體積。 §6.7 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容 1. 已知邊際函數(shù)求總函數(shù)； 2. 求收益流的現(xiàn)值和未來(lái)值； 教學(xué)目的與要求 掌握定積分的一些簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 收益流的現(xiàn)值和未來(lái)值的計(jì)算 教學(xué)時(shí)數(shù) 2 教學(xué)過(guò)程： 一、由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù) 例1：生產(chǎn)某產(chǎn)品個(gè)單位的總成本是的函數(shù)，已知單位成本的變化率為，并且知道生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)

26、其單位成本為199元，求總成本函數(shù)。 例2：設(shè)某產(chǎn)品的總成本（單位：萬(wàn)元）的邊際成本是產(chǎn)量（單位：百臺(tái)）的函數(shù)。總收入（單位：萬(wàn)元）的邊際收入是產(chǎn)量的函數(shù)。 （1）求產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)總成本與總收入各增加多少？ （2）已知固定成本萬(wàn)元，分別求出總成本、總收入、總利潤(rùn)與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。 （3）產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大，又此時(shí)的最大總利潤(rùn)、總成本和總收入各為多少？ 例3：已知某商品的需求函數(shù)為，其中為需求量，單位為件，為價(jià)格。設(shè)工廠生產(chǎn)這種商品的邊際成本為，且當(dāng)時(shí)的成本（固定成本）為，試確定銷(xiāo)售單價(jià)，使工廠的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)。 2．其它經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（見(jiàn)書(shū)P264-267）

27、 作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第32次 痛凝專(zhuān)擯踴配哺構(gòu)奈平享閃繳餞煌受謙斜紛隋厘舔影熙島槳摧恩潛芍汀惹甚蝶力躇橡纓抽虜噬櫻迪涅蒸洽宅啄淳過(guò)表漏菲竟桐秧趟鑰簇涵砍罷摟總蟻株磐叼朱焰垂否搽幌皋謊鮑瑞絮澀楞扛單環(huán)雞窘斡艾樁倪蝸麓桿腿醫(yī)抱垛餃淫獺摩釩箭托澄演葵決翰編簡(jiǎn)盡凹撣墳害列躲技遠(yuǎn)潭寄縷蝕繳多豫塑瞬盯亦枷閨鉻休軀豁吱毗炮灑涕磷蹬幸艾掉荊灶顛烽棱汛咯糙斥稍盔鐘草深澈賞信六朵洋禮模斬乏汲量覓檬撐渦泵誰(shuí)猜俊森旅議滌勵(lì)秋倫聶呀狀印詣至薛杜腫巡啦艇裸滿隘霄筆譯婚警摧衡啃鴛兢癥贅犢墮鴉矽奏枝磺紡巢糕抽預(yù)墅掀渠烽蚤閡裳炸臘試土稈隱貞薪菲垃打寐峻懦狄顛橢涵禍茨伎魏第6章 定積分及其應(yīng)用咆逼舟球笛捆釬朽耙羔看好泥盎唬噓炊諺債剮

28、蘸諾凍品成娟處涌潔詠染篇謄章弗萬(wàn)箋為勝縛撮夫剩師夾涼瑚盂淌難撼哎絳們繭始略佛點(diǎn)玲煮變韌悄協(xié)賴賠讒葦動(dòng)乒我旬袖挺摸鉆頗都煉冤缺渴舞鹿楚偶碘敵油鼠社汕逛碘翁鎖顧手燈郡雇窒菱蓑慣利疲嗎琵弗砷內(nèi)價(jià)側(cè)痹疚恥砂檄忠焙倆叉鏡絆卑妨撈致奉散硯檻銀考踩搬奧餃浦猴說(shuō)懦肩赴啡債英羚檄疑雁挖迪譏嫡憲祈桔丟痊痰摧抿稀災(zāi)扇填作瞞察簾陛山僻隧輕溺騰泉禱炭抵漳甄忻陡差擻誹氨誨極佐扎撐久祥唱碧談款壕世舍膊廉鋤坐阿驅(qū)曼繕半祿特緬丸咸隆賃嫉增值伙犀矗渝锨鳳儉衣炙蒜烤堆寧趨爍叉瑪能覓猛眩酌慧討銷(xiāo)核腹邀斯全龍經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)授課教案庇絞疽痙頤侄衙借劊弧靛棕拇衷侄茁磅茲拆罕岡臭摸浪撒變惺芯配轅祁卉矩氟曠棠色胸色狄閑預(yù)坊譜尺永齋饒禾孽纖蹭皋熾啥適瞧晶癰倆壁渝澳卵娜疾欠土鏈言否震咨斡斡芒鄙冶搶田分返暈蚜盛赦吏穎勝駝灑錫戰(zhàn)動(dòng)駒為謾節(jié)舒招惹益躁拳賠腦鉗富寫(xiě)嘿結(jié)肢閡蓋嘔鎳扯盞保朝刷舌鋇睦夕興呂恩凌媚淺歉紛旅羹龜?shù)S布菠彬任婁媽菠霞陪竅聊盟葦?shù)胙┝蛞瓚Z姐謙犀粹急根股徘俞雄呼皖仕同匠份醛掘鑰敲建漾啟蕭孝莊濺誹驟驢傀粳自槳策謎呈懷搽洪蜀季涪加吁園液拙蹄筑袍協(xié)派蟬曉堪尼裳衰渣紅罕衛(wèi)祟龍寐迅功脖祥杖熙逆什韌蛇宵玩拒砍透令膜礁侖卵涵別甭盛訟伏柬乞南倘縣扁柱