2、，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為 90。；
(2) k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求 得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。
(3)直線方程
①點斜式：y y1 k(X x1)直線斜率k,且過點 沏y1
注意：當(dāng)直線的斜率為0。時，k=0,直線的方程是y=y1。
當(dāng)直線的斜率為 90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因 l
上每一點的橫坐標(biāo)都等于 X1,所以它的方程是 X=X1O
②斜截式：y kx b ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為 b
③兩點式： ——巴 ——Xl
3、(x x2,y1 y2)直線兩點 x,y1 , x2, y2
V2 y X2 X1
④截矩式：x y 1 a b
其中直線l與x軸交于點(a,0)，與y軸交于點(0, b) ,IP l與x軸、y軸的截距分別為a,b。
⑤一般式：Ax By C 0 (a, b不全為0)
注意：d各式的適用范圍 ②特殊的方程如:
平行于x軸的直線：y b (b為常數(shù))； 平行于y軸的直線：x a (a為常數(shù))；
(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線
(一)平行直線系
平行于已知直線 AoX Boy Co 0 (Ao,B0是不全為 0的常數(shù))的直線系：
AoX B0y C 0 (C 為常數(shù)
4、)
(二)過定點的直線系
(i )斜率為k的直線系：y y k X X。，直線過定點X0,y ；
(ii )過兩條直線11 : A1x &y C1 0, 12：A，x B2y C2 0的交點的直線系方程
為
Ax Biy Ci A2X B2y C2 0 (為參數(shù))，其中直線12不在直線系中。
(6)兩直線平行與垂直
當(dāng) 11 : y k1x b1, 12 : y k2x b2 時，
l1//l2 k1 k2,b1 b2; 11 12 k1k2 1
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
(7)兩條直線的交點
Ii：Aix Biy Ci 0 I2 :
5、A>x B2y C2 0相交
交點坐標(biāo)即方程組 AlX Biy Cl 0的一組解。 A2X B2y C2 0
方程組無解 li //I2 ； 方程組有無數(shù)解 ll與％重合
(8)兩點間距離公式： 設(shè)A(xi,y1)，B X2, y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，
則 |AB| .(X2 Xi)2 (y2 yi)2
(9)點到直線距離公式：一點P X0,y0到直線11 ： Ax By C 0的距離d lAx0 By c| d 2 2
A B
(i0)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。
、圓的方程
1、圓的定義:
平面內(nèi)到一定點的距離
6、等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心,
定長為圓的
半徑。
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程
,圓心a,b ,半徑為r；
(2) 一般方程
Dx Ey
當(dāng) D2 E2
4F
0時，方程表示圓,
此時圓心為
半徑為
當(dāng) D2 E2
4F
0時，表示一個點;
當(dāng)D2
E2
4F
。時,
方程不表不任何圖
形。
(3)求圓方程的方法:
若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件,
需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出 D, E, F;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，
7、以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關(guān)系：
直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷:
(1)設(shè)直線l:Ax By C 0,圓C：x a 2 y b 2 r2 ,圓心C a,b到l的距離
為d 1Aa Bb 則有d r l與C相離；d r l與C相切；d r l與C相交
,A2 B2
2 2 2
⑵設(shè)直線l : Ax By C 0,圓C: x a y b r ,先將方程聯(lián)立消元，得到
一個一元二次方程之后，令其中的判別式為 ，則有
0 l與C相離； 0 l與C相切； 0 l與C相交
注：如果圓心的位置在原點，可使用公式
2 一，
8、
xx0 vy r去解直線與圓相切的問題，其中
x, y0表不切點坐標(biāo)，r表小半徑。
(3)過圓上一點的切線方程：
①圓x2+y2=r2,圓上一點為(xO, y0),則過此點的切線方程為 xx0 打0 「2 (課本命題).
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x, y。)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b尸r
（課本命題的推廣）.
4、圓與圓的位置關(guān)系： 通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
2 22. 2 .2—2
設(shè)圓 Ci : x ai y bi r , C2 : x a? y b2 R
兩圓的
9、位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差）
,與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當(dāng)d R r時兩圓外離，此時有公切線四條；
當(dāng)d R r時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；
當(dāng)R r d R r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;
當(dāng)d R r時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；
當(dāng)d |R r|時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d 0時，為同心圓。
三、立體幾何初步
（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共
邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱
10、、四棱柱、五棱柱等。
表不：用各頂點字母，如五棱枉 ABCDE A B C D E或用對角線的端點字母，如五棱柱
） AD
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形； 側(cè)面、對角面都是平行四邊形； 側(cè)棱平行且
相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
⑵棱錐
定義：有一個面是多邊形， 其余各面都是有一個公共頂點的三角形， 由這些面所圍成的幾何
體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐 p abcde
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形； 平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到
截面距離與高的比的平方。
11、
(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺 p abcde
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) ，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾
何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行； ③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖
是一個矩形。
(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸 ，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何
體
幾何特征：①底面是一個圓；②
12、母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點； ③側(cè)面展開圖是一個弓形。
(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影) ；側(cè)視圖(從左向右)、
俯視圖(從上向下)
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，
13、即反映了物體的長度和寬度；
3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與
②原來與y軸平行的線段仍然與
x平行且長度不變；
y平行，長度為原來的一半。
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
(2)特殊幾何體表面積公式
c為底面周長,
h為高,
h為斜高,
l為母線)
S直棱柱側(cè)面積
ch
S圓柱側(cè)
2 rh
SE棱錐側(cè)面積
-ch 2
S圓錐側(cè)面積
rl
S正棱臺側(cè)面積
C2)h’
S圓臺側(cè)
14、面積
(r
R)
Sa柱表 2
SH錐表
S圓臺表
rl
Rl R2
(3)
柱體、錐體、
臺體的體積公式
Sh
%柱Sh
r2h
、， i?
V錐-Sh
V圓錐
r 2h
1 ‘
—(S S S
3
S)h V圓臺
-(S bs S)h 3
(r2
3
E血/小
I上旗雄示1
［上憂|
V n
-—■7
R2)h
rR
(4)球體的表面積和體積公式： V球=4 R3 ； S球面=4 R2
3
4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系
(1)平面
① 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的；
15、
② 平面的表示：通常用希臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫在一個銳角內(nèi)) ；
也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面 BC。
③點與平面的關(guān)系： 點A在平面 內(nèi)，記作A ；點A不在平面 內(nèi)，記作A 點與直線的關(guān)系： 點A的直線l上，記作：AC l； 點A在直線l外，記作A l；
直線與平面的關(guān)系：直線l在平面a內(nèi)，記作l a；直線l不在平面a內(nèi)，記作l a。
(2)公理1 :如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面 內(nèi)。
(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線) 應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理 1: A l,B l,A
16、 ,B l
(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定
平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù)
(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點 ，那么它們有且只有一條過該點的公共直
線
符號：平面”和3相交，交線是 a,記作a A3= a。
符號語言：P AI B AI B l,P l
公理3的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共
17、線的重要依據(jù)。
(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行
(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系
①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。
③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點 O,分別引直線a//a, b
//b,則把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a和b所成的角。兩條異面直線
所成角的范圍是(0。，90。］,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這 兩條異面直線
互相垂直。
說明：(1)判定空間直線是異面直線方
18、法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理
(2)在異面直線所成角定義中，空間一點 O是任取的，而和點 O的位置無關(guān)。
②求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點
選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。
(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點.
直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個公共點.
(或直線在平面外) (平行一一沒有公共點.
三種位置關(guān)系的符號表不 ： a a aid
19、 a = A a // a
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系： 平行一一沒有公共點；a // 3
相交—有一■條公共直線。a n 3 = b
5、空間中的平行問題
（ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理 ：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行
,則該直線與此平面平行。
線線平行 線面平行
線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，
那么這條直線和交線平行。線面平行 線線平行
（ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個平面平行的判定定理
（ 1 ）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
20、
（線面平行f面面平行），
（ 2 ）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。
（線線平行—面面平行），
（ 3 ）垂直于同一條直線的兩個平面平行，
兩個平面平行的性質(zhì)定理
（1）如果兩個平面平行， 那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。 （面面平行f線面平
行）
（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交， 那么它們的交線平行。（面面平行f線線平行）
7、空間中的垂直問題
（ 1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直： 如果兩條異面直線所成的角是直角， 就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直
21、線垂直， 就說這條直線和這個平面垂
直。
③平面和平面垂直： 如果兩個平面相交， 所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組
成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說這兩個平面垂直。
（ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線垂直這個平面。
性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂
22、直于另 個平面。
9、空間角問題
(1)直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點 O,分別作與兩條異面直線 a, b平行的直線
a, b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所
成的角。
(2)直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角： 規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角： 規(guī)定為90。
③平面的斜線與平面所成的角： 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角， 叫做這條
直線和這個平面所成的角。
23、
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角： “一作，二證，三計算”。
在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，
在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息： (1)斜線上一點到面的垂線；(2)過斜線上的一
點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角， 這條直線叫做二
面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點， 在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射
? ? ? ? ?
線，這兩條射線所成的角叫二
24、面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平
面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時,
二面角的平面角
過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為
7、空間直角坐標(biāo)系
(1)定義：如圖，OBCD D, ABC是單位正方體.以A為原點，
分別以O(shè)D,OA,ob的方向為正方向，建立三條數(shù)軸 x軸.y軸.z軸。
這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.
1) O叫做坐標(biāo)原點 2 ) x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3 )過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐 標(biāo)面。
(2)右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指
向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間 的相位置。
(3)任意點坐標(biāo)表示： 空間一點 M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組
(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 M(x,y,z) (x叫做點M的橫坐標(biāo), y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo))
(4)空間兩點距離坐標(biāo)公式：d m xi)2 (y2 yi)2% 乙)2
數(shù)學(xué)必修 2 知識點總結(jié)
