金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語 第三講 不等式及線性規(guī)劃 Word版含解析

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1、 第三講　不等式及線性規(guī)劃 必記公式] 1．a(chǎn)2＋b2≥2ab(取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b)． 2．a(chǎn)b≤2(a，b∈R)． 3. ≥≥≥(a>0，b>0)． 4．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時等號成立)． 重要結(jié)論] 1．不等式的四個性質(zhì) 注意不等式的乘法、乘方與開方對符號的要求，如 (1)a>b，c>0?ac>bc，a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd. (3)a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)． (4)a>b>0?>(n∈N，n≥2)． 2．四類不等式的解法 (1)一元二次不等

2、式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． (2)簡單分式不等式的解法 >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)簡單指數(shù)不等式的解法 當(dāng)a>1時，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)； 當(dāng)0ag(x)?f(x)1時，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)

3、>0； 當(dāng)0logag(x)?f(x)0，g(x)>0. 3．判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法 在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0，y0)，通過Ax0＋By0＋C的符號來判斷Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的區(qū)域． 失分警示] 1．忽略限制條件致誤：應(yīng)用不等式的性質(zhì)時，要注意限制條件． 2．注意符號成立的條件：用基本不等式求最值時，若連續(xù)進(jìn)行放縮，只有各等號成立的條件保持一致時，結(jié)論的等號才成立． 3．忽略基本不等式求最值的條件致誤：利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”，三個條件缺

4、一不可． 4．解分式不等式時，直接把分母乘到另一邊，不注意分母的取值范圍致誤． 5．線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域的邊界斜率大小分不清． 6．y＝－x＋中截距符號弄反，導(dǎo)致平移時上下方向錯誤． 考點(diǎn)　不等式的性質(zhì)及解法　　 典例示法 典例1　　(1)20xx合肥質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0對x∈0,1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－e，＋∞) B．－ln 2，＋∞) C．－2，＋∞) D. 解析]　本題主要考查二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的圖

5、象，由圖象可知，在0,1]上，x2＋1≤2x B．ln (x2＋1)>ln (y2＋1) C．sinx>siny D．x3>y3 解析]　因?yàn)?y.對于選項(xiàng)A，取x＝2，y＝1，則<，顯然A錯誤；對于選項(xiàng)B，取x＝－1，y＝－2，則l

6、n (x2＋1)sinπ，顯然C錯誤；對于選項(xiàng)D，若x>y，則x3>y3一定成立，故選D. 答案]　D 求解不等式的方法 (1)對于一元二次不等式，應(yīng)先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (3)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因，確定

7、好分類標(biāo)準(zhǔn)，有理有據(jù)、層次清楚地求解． 針對訓(xùn)練 1．20xx石家莊質(zhì)檢(二)]函數(shù)f(x)＝ 若f(x0)≤，則x0的取值范圍是(　　) A. B.∪ C.∪ D.∪ 答案　C 解析?、佼?dāng)0≤x0<1時，2x0≤，x0≤log2， ∴0≤x0≤log2. ②當(dāng)1≤x0≤2時，4－2x0≤，x0≥， ∴≤x0≤2，故選C. 2．20xx江蘇高考]已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　要滿足f(x)＝x2＋mx－1<0對于任意x∈m，m＋1]恒成立， 只需即

8、解得－0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時成立，∴ab≥2. 解法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，選C. 答案]　C 題型2　基本不等式的綜合應(yīng)用 典例3　　已知點(diǎn)A(0，－1)，B(3,0)，C(1,2)，平面區(qū)域P是由所有滿足＝λ＋μ(2<λ≤m,2<μ≤n)的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域

9、P的面積為16，則m＋n的最小值為________． 解析]　由題意知＝(3,1)，＝(1,3)，＝(－2,2)， 所以cosA＝＝＝，sinA＝.如圖，延長AB至點(diǎn)G，延長AC至點(diǎn)E，使＝m，＝n，且＝2，＝2，作DK∥AB，EQ∥AB，F(xiàn)T∥AC，GQ∥AC，則四邊形AFHD、四邊形AGQE、四邊形HKQT都是平行四邊形．由題意可知點(diǎn)M組成的區(qū)域P為圖中的陰影部分，即四邊形HKQT及其內(nèi)部，所以四邊形HKQT的面積為|HK||HT|sinA＝(m－2)(n－2)＝16，即(m－2)(n－2)＝2，mn－2m－2n＋2＝0，即2(m＋n)＝mn＋2，因?yàn)?(m＋n)＝mn＋2≤2＋2

10、，所以(m＋n)2－8(m＋n)＋8≥0，所以m＋n≥4＋2或m＋n≤4－2(舍)，即m＋n的最小值是4＋2，此時m＝n＝2＋. 答案]　4＋2 利用基本不等式解題應(yīng)關(guān)注三方面 (1)利用基本不等式求最值的注意點(diǎn) ①在運(yùn)用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵． ②若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯． (2)求條件最值問題的兩種方法 一是借助條件轉(zhuǎn)化為所學(xué)過的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))，借助于函數(shù)單調(diào)性求最值；二是可考慮通過變形直接利用基本不等式解決． (3)結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式 基本不等

11、式在解題時一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù) 已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式，常見的轉(zhuǎn)化方法有 ①x＋＝x－a＋＋a(x>a)． ②若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)1＝(mx＋ny)≥ma＋nb＋2(字母均為正數(shù))． ③分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值.即化為y＝m＋\f(A,g(x))＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值. 考點(diǎn)　簡單的線性規(guī)劃問題　　 典例示法 題型1　知約束條件求目標(biāo)函數(shù)最值 典例4　　20xx天

12、津高考]設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為(　　) A．－4 B．6 C．10 D．17 解析]　解法一：如圖， 已知約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中所示的三角形區(qū)域ABC(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可知當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)B(3,0)時，z取得最小值23＋50＝6. 解法二：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值為6. 答案]　B 題型2　知最值求參數(shù) 典例5

13、　　20xx山東高考]已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析]　畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝ax＋y的最大值為4，即目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域有公共點(diǎn)時，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點(diǎn)D(0,4)的直線，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(2,0)處取得最大值，故有a2＋0＝4，解得a＝2.故選B. 答案]　B 解決線性規(guī)劃問題應(yīng)關(guān)注三方面 (1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，

14、整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決． (2)畫可行域時應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中B的符號，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對應(yīng)，要結(jié)合圖形分析． 提醒：目標(biāo)函數(shù)是線性時，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義與直線的截距有關(guān)；若目標(biāo)函數(shù)形如z＝，可考慮(x，y)與(a，b)兩點(diǎn)連線的斜率；若目標(biāo)函數(shù)形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考慮(x，y)與(a，b)兩點(diǎn)距離的平方． 全國卷高考真題調(diào)研] 1．20xx全國卷Ⅰ]若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 答案　3 解析　作出可行域如圖中陰影部分所示， 由可行域知，在點(diǎn)A(1,3)處，取得最大值3.

15、2．20xx全國卷Ⅰ]某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 答案　216000 解析　由題意，設(shè)產(chǎn)品A生產(chǎn)x件，產(chǎn)品B生產(chǎn)y件，利潤z＝2100x＋900y，線性約束條件為 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由x∈N，y∈

16、N，可知取得最大值時的最優(yōu)解為(60,100)，所以zmax＝210060＋900100＝216000(元)． 其它省市高考題借鑒] 3．20xx山東高考]若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)P(x，y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則x2＋y2表示|OP|2.顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，|OP|2，即x2＋y2取得最大值．由 解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值為32＋(－1)2＝10.故選C. 4．20xx陜西高考]設(shè)f(x)＝ln x,0

17、，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．q＝r

p D．p＝r>q 答案　B 解析　∵0，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f＝p，∴p＝rb>0，c B.< C.> D.< 答案　D 解析　解法一：c0?<<0?<<0??>?<. 解法二：依題意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝

18、－1，代入驗(yàn)證得A、B、C均錯，只有D正確． 6．20xx上海高考]若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________． 答案　2 解析　∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取“＝”，∴x2＋2y2的最小值為2. 一、選擇題 1．20xx青海西寧二模]已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若>，則a>b C．若a3>b3且ab<0，則> D．若a2>b2且ab>0，則< 答案　C 解析　當(dāng)c＝0時，可知A不正確；當(dāng)c<0時，可知B不正確；對于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，

19、所以>成立，C正確；當(dāng)a<0且b<0時，可知D不正確． 2．20xx北京平谷統(tǒng)考]已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題： ①若ab>0，bc－ad>0，則－>0； ②若ab>0，－>0，則bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，則ab>0. 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　對于①，∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正確；對于②，∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正確；對于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正確．故選D. 3．20xx浙江金華期中]若對任意的x∈0,

20、1]，不等式1－kx≤≤1－lx恒成立，則一定有(　　) A．k≤0，l≥ B．k≤0，l≤ C．k≥，l≤ D．k≥，l≤ 答案　D 解析　當(dāng)k＝－1且x∈0,1]時，1－kx＝1＋x∈1,2]，∈，不等式1－kx≤不恒成立，可排除A、B；當(dāng)k＝且x∈0,1]時，1－kx＝1－x∈，∈，不等式1－kx≤不恒成立，排除C，故選D. 4．已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．－2,1] D．－2,0] 答案　D 解析　 由題意作出y＝|f(x)|的圖象： 當(dāng)a>0時，y＝ax與y＝ln (x

21、＋1)的圖象在x>0時必有交點(diǎn)，所以a≤0.當(dāng)x≥0時，|f(x)|≥ax顯然成立；當(dāng)x<0時，|f(x)|＝x2－2x，|f(x)|≥ax恒成立?a≥x－2恒成立，又x－2<－2，∴a≥－2.∴－2≤a≤0，故選D. 5．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≥x2的解集為(　　) A．－1,1] B．－2,2] C．－2,1] D．－1,2] 答案　A 解析　 解法一：當(dāng)x≤0時，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0，① 當(dāng)x>0時，－x＋2≥x2，∴0

22、f(x)≥x2的解集為－1,1]． 6．已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　畫出可行域，如圖所示， 由得A(1，－2a)，則直線y＝z－2x過點(diǎn)A(1，－2a)時，z＝2x＋y取最小值1， 故21－2a＝1，解得a＝. 7．20xx陜西高考]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2

23、12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 答案　D 解析　設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z＝3x＋4y，由題意得x，y滿足：不等式組表示的可行域是以O(shè)(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點(diǎn)的四邊形及其內(nèi)部．根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識，知當(dāng)直線3x＋4y－z＝0過點(diǎn)B(2,3)時，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元． 8．20xx山東濰坊模擬]一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0,1))，已知他投籃一次

24、得分的均值為2，＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意得3a＋2b＝2， ＋＝＝ ≥3＋ ＋＝3＋2＋＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號．故選D. 9．20xx蘭州雙基過關(guān)]已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，)，則四邊形ABCD 面積的最大值為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　A 解析　 如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20. 又AC2＋BD2≥2ACBD，則ACBD≤10，

25、∴S四邊形ABCD＝ACBD≤10＝5，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BD＝時等號成立， ∴四邊形ABCD面積的最大值為5. 10．20xx山東菏澤一模]已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是(　　) A．9 B．8 C．4 D．2 答案　A 解析　圓x2＋y2－2y－5＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得 x2＋(y－1)2＝6， 所以圓心為C(0,1)． 因?yàn)橹本€ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，所以a0＋b1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 因此＋＝(b＋c)＝＋＋5. 因?yàn)閎，c>0， 所以＋≥2 ＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立．

26、 由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝時，＋取得最小值9. 二、填空題 11．已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． 答案　(－7,3) 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)． 又x≥0時，f(x)＝x2－4x， ∴不等式f(x＋2)<5?f(|x＋2|)<5 ?|x＋2|2－4|x＋2|<5?(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0?|x＋2|－5<0?|x＋2|<5?－5

27、約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為10，則a2＋b2的最小值為________． 答案　 解析　因?yàn)閍>0，b>0，所以由可行域得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by過點(diǎn)(4,6)時取最大值，則4a＋6b＝10.a2＋b2的幾何意義是直線4a＋6b＝10上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，那么最小值是點(diǎn)(0,0)到直線4a＋6b＝10距離的平方，即a2＋b2的最小值是. 13．20xx遼寧沈陽質(zhì)檢]若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________． 答案　3＋2 解析　直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.求直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值．由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)1＝(a＋b)＝3＋＋，因?yàn)椋? ＝2，所以a＋b≥3＋2. 14．20xx廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]已知函數(shù)f(x)＝若對任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　∪1，＋∞) 解析　對于函數(shù)f(x)＝ 當(dāng)x≤1時，f(x)＝－2＋≤； 當(dāng)x>1時，f(x)＝logx<0. 則函數(shù)f(x)的最大值為. 則要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，則m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.