《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》習(xí)題及答案1

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1、精品文檔，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案 1-1.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。 答：優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計(jì)變量向量使 且滿足約束條件 2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義？ 答：二元函數(shù)f(x1,x2)在x0點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫(xiě)成下面的形式： 令， 則稱它為函數(shù)f（x1，x2）在x0點(diǎn)處的梯度。 （1）梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。 （2）梯度與切線方向d垂直

2、，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函數(shù)f（x1，x2）=2x12+x22-2x1+x2在處函數(shù)變化率最 大的方向和數(shù)值。 解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模。求f（x1，x2）在x0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下： 2-3.試求目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)X0=[1,0]T 處的最速下降方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。 解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在X0=[1,0]T處的最速下

3、降方向是 這個(gè)方向上的單位向量是： 新點(diǎn)是 新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖） 答：一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn)x1、x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。 函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對(duì)任何的及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2，存在如下不等式： 稱f（x）是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。 對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題 若 都是凸函數(shù)，則稱此問(wèn)題為凸規(guī)劃。 3-1.簡(jiǎn)述一維搜索區(qū)間消去法原理。（要配圖） 答：搜索區(qū)間（a，b）確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。

4、假設(shè)搜索區(qū)間（a，b）內(nèi)任取兩點(diǎn)a1，b1 ，a1《b1，并計(jì)算函數(shù)值f（a1），f（b1）。將有下列三種可能情形； 1）f（a1）《f（b1）由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間（a，b1）內(nèi) 2）f（a1）》f（b1），同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間（a1，b）內(nèi) 3）f（a1）=f（b1），這是極小點(diǎn)應(yīng)在（a1，b1）內(nèi) 3-2.簡(jiǎn)述黃金分割法搜索過(guò)程及程序框圖。 其中，為待定常數(shù)。 3-3.對(duì)函數(shù)，當(dāng)給定搜索區(qū)間時(shí)，寫(xiě)出用黃金 分割法求極小點(diǎn)的前三次搜索過(guò)程。（要列表） 黃金分割法的搜索過(guò)程 序號(hào) a a1 a2 b Y1 比較 Y2 0 -5 -1.18

5、1.18 5 -0.9676 < 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ？ 1.686 > -0.967 2 ？ -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 < -0.48 3 -2.639 -1.737 -1.181 ？ -0.457 > -0.482 3-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間[2,6]的極小點(diǎn)，寫(xiě)出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn)x1=2，x2=4，x3=6， ε=10-4。 解： 1 2 3 4 x1 2 4 4.55457 4.55457 x2 4

6、4.55457 4.73656 4.72125 x3 6 6 6 4.73656 y1 0.909297 -0.756802 -0.987572 -0.987572 y2 -0.756802 -0.987572 -0.999708 -0.999961 y3 -0.279415 -0.279415 -0.279415 -0.999708 xp 4.55457 4.73656 4.72125 4.71236 yp -0.987572 -0.999708 -0.999961 -1 迭代次數(shù)K= 4 ，極小點(diǎn)為 4.71236

7、 ，最小值為 -1 收斂的條件： 4-1.簡(jiǎn)述無(wú)約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。 答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過(guò)程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛

8、盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。 共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軛的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱作共軛梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。 鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)的極小化問(wèn)題時(shí)形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)

9、數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次生成共軛方向。 4-2.如何確定無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題最速下降法的搜索方向？ 答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法 （k=0，1,2，…） 由于最速下降法是以負(fù)梯

10、度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-能獲得最大的下降值，其步長(zhǎng)因子應(yīng)取一維搜索的最佳步長(zhǎng)。即有 根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得； 或?qū)懗? 由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程。 4-3. 給定初始值x0=[-7,11]T，使用牛頓法求函數(shù)的極小值點(diǎn)和極小值。 解： 梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 （2分） （4分） 假設(shè)初始值x0=[-7,11]T 則

11、 （1分） （2分） 則 （1分） x1滿足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn) 。 （2分） 4-4.以二元函數(shù)為例說(shuō)明單形替換法的基本原理。 答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)x1，x2，x3，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。 計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f（x1）>f（x2）>f（x3），這說(shuō)明x3點(diǎn)最好，x1點(diǎn)最差。 為了尋找極小點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對(duì)稱方向進(jìn)行搜索，即通過(guò)x1并穿過(guò)x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5 使 x5=x4+（x4-x1） x5稱作x

12、1點(diǎn)相對(duì)于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f（X5），可能出現(xiàn)以下幾種情形； 1）f（x5）f(x1)，反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說(shuō)明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在x1x4之間 5) f(x)>f(x1)，說(shuō)明x1x4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)

13、行搜索。 5-1.簡(jiǎn)述約束優(yōu)化方法的分類。（簡(jiǎn)述約束優(yōu)化問(wèn)題的直接解法、間接解法的原理、特點(diǎn)及主要方法。） 答: 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問(wèn)題，它的基本思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向d，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿d方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。 直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1）由于整個(gè)求解過(guò)程在

14、可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占丛谟薪缈尚杏騼?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。 直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡(jiǎn)約梯度法等。 間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成

15、一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解。 間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是：1）由于無(wú)約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，已經(jīng)研究出不少有效的無(wú)約束最優(yōu)化方法和程序，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。2）可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題。3）間接算法存在的主要問(wèn)題是，選取加權(quán)因子比較困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。 間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。 5-2.用內(nèi)點(diǎn)法求下列問(wèn)題的最優(yōu)解： （提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù) ，然后用解析法求解。） [解] 構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)： 令懲罰函數(shù)對(duì)x的極值等于零： 得： 舍去負(fù)根后，得 當(dāng) 。 【精品文檔】第 6 頁(yè)