《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》試題及答案解析

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1、完美格式整理版 學(xué)習(xí)好幫手 《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題及答案 一、填空題 1、用最速下降法求f(X)=100(X2-Xi2)2+(Lxi)2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)XGR-0,5Q?5]t,第一 步迭代的搜索方向?yàn)?卜47;-50] o 2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法,其核心一是建立搜索方向 二是計(jì)算最佳步長(zhǎng)因 子 o 3、當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題是一凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應(yīng)用進(jìn)退法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高-低-高 趨勢(shì)。 5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱為_(kāi)n 維優(yōu)化問(wèn)題。 1

2、6、函數(shù)一XWX BTX C的梯度為 HX+B o 2 7、設(shè)G為n>n對(duì)稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d。，d1,滿足(d^GcT=0,則 d。、cP之間存在一共規(guī)■關(guān)系。 8、 設(shè)計(jì)變量 、 約束條件、目標(biāo)函數(shù) 是優(yōu)化 設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。 9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù)f(X*X。，若在Xo(Xio,X2。)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是梯度為 雯 ，充分條件是 海塞矩陣正定 o 10、 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作 用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(xHx2-10x36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間 [a,b] =[-1

3、0,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [236236] 。 12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè) 13、牛頓法的搜索方向dk= ,其計(jì)算量 大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 遜 位置。 14、 將函數(shù) f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60 表示成-XTHX - BTX C 的形 2 式 O 15、 存在矩陣H, 向量di, 向量d2,當(dāng)滿足 ,向量&和向量d2 是關(guān)于H共規(guī)。 16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因 子r數(shù)列，具有 由小到大趨于無(wú)窮 特點(diǎn)。 17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極

4、值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即 求 O 、選擇題 1、下面 方法需要求海賽矩陣。 A、最速下降法 B、 共輾梯度法 C、牛頓型法 D、 DFP法 2、對(duì)于約束問(wèn)題 22 min f X X2 -4X2 4 2 gi X —. Xi—X2— 1 A 0 g2 X ]=3 - Xi —0 g 3 x = x? o 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 K二”]為, X 234 =[MT C只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題 D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題 4對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為[a, b],中間插入兩個(gè)點(diǎn)ai、bi, aivbi,計(jì)算出f(ai) vf(bi),

5、 則縮短后的搜索區(qū)間為 。 A [ai, bi] B[bi, b] C[ai, b] D[a, bi]_ 5 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。 A設(shè)計(jì)變量 B半正定 C負(fù)定 D半負(fù)定 10、下 列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是 假設(shè)要求在區(qū)間[a, b]插入兩點(diǎn)a、a,且ava。 A、其縮短率為0.618 B、 a=b-入（b-a） 22 為 O A ?內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) B.外點(diǎn)；外點(diǎn) G內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn) D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) 3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 化問(wèn)題。 A無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題 B約束條件 C

6、目標(biāo)函數(shù) D最佳步長(zhǎng) 6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk- aHNf(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 O A. Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式 B.擬牛頓條件 C.與海塞矩陣正交 D.對(duì)稱正定 7、函數(shù)f (X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 o 4 最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 &下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中， 構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的 一階或二階導(dǎo)數(shù)。 A梯度法 B牛頓法 C變尺度法 D第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度 D坐標(biāo)輪換法 9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上

7、為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處 o A正定 D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。 11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 ft 方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值工 降方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 丕變 方向。 A、上升 B、下降 C、不變 D、為零 12、二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是 o 4等值線族的一個(gè)共同中心 B、梯度為0的點(diǎn) C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點(diǎn) 13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為 向量。 A相切 B正交 C成銳角 D共挽 14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是 o A可用來(lái)求解含不等

8、式約束和等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。 B懲罰因子是不斷遞減的正值 C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。 D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi) 15、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是 A牛頓法B梯度法C共挽梯度法 D變尺度法 16、一維搜索試探方法一一黃金分割法比二次插值法的收斂速度 A、慢B、快C、一樣D、不確定 17、下列關(guān)于共規(guī)梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是 。A需要求海賽矩陣 B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 C共規(guī)梯度法具有 二次收斂性 、問(wèn)答題 1、 試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū) 答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理 區(qū)別：（1）、試探法

9、：給定的規(guī)定來(lái)確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的 縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法 （2）、插值法：沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的 某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來(lái)函數(shù)的近似值。這種方法 稱為插 值法，又叫函數(shù)逼近法。 2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？ 答，基本原理是將優(yōu)化問(wèn)題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合 形成新的目標(biāo)函數(shù)一一懲罰函數(shù) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極值，以期得到原問(wèn) 題的約束最優(yōu)解 3、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。 答主要用數(shù)值解法，

10、利用計(jì)算機(jī)通過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長(zhǎng)因子的近似值 4、 試述求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到 后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需 要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。 5、寫(xiě)出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義， 并說(shuō)明迭代公式的意義。 四、解答題 1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f （X） =L5xi2+0.5x22.XiX2-2Xi的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x[2, 4]\ 選代精度& =0.02 （迭代一

11、步）。 取初酷直f IT 則初始力i處神敷值尺樣度殳別為 y/（Ar）- 沿如梯皿方向進(jìn)和料睥? fi 2 12 二凡 A 4 O v/(jrt)= 其中嶼為（ESB索晝性步? } = 306aH ISUt?m+ 26 tn\A ) - 612*/” Ifk>- 0 :、iff — 1一 26-I73817 rmnlL 卜 I 打“24 4

12、x卜2X2）2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x（o）=[2,1]T。 3、設(shè)有函數(shù)f（X）=XH2X22-2XiX2-4Xi,試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。 22 4、求目標(biāo)函數(shù)f（ X ）=x i+XiX2+2X2+4X1+6X2+10的極值和極值點(diǎn)。 a 丁 / kacbr. 1 02 102 1 1 -2 Uj5x,曲曲 4盡 + 2TYJ ,IL 10jf：*2曲一血=0,初駐白為兒二 ?.冏 2每*2氐， 冉m戰(zhàn)化的as打第普.刑斷也卜山出音為桃但點(diǎn).由I 創(chuàng)國(guó)耳、的，階主TA>jt . ?階 fA>i： M-l。io -4U>0 -■:階主子

13、咖 5、試證明函數(shù)f(X)=2X2+5X22+X32+2X3X2+2X3Xl-6X2+3在點(diǎn)［1, 1,?2『處具有極小值。 6、 給定約束優(yōu)化問(wèn)題 22 min f(X)=(x 1-3尸+(X2?2)2 22 S.t. gi(X)= — Xi — X2 + 5> 0 g2(X)=- Xi— 2X2+ 4》0 g3(X)= Xi> 0 g4(X)=X 2> 0 驗(yàn)證在點(diǎn)X =[2,i]TKuhn-Tucker條件成立。 7、設(shè)非線性規(guī)劃問(wèn)題 min f (X) =(% -2)2 x； s.t. gjX) =% _0 92 (X) = X2_0 ga(X) -x：

14、 1_0 用K-T條件驗(yàn)證Xa 1,0 1為其約束最優(yōu)點(diǎn)。 10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一 個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu) 化問(wèn)題的數(shù) 學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 這個(gè)簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題可把箱子的容積V表成變量參數(shù) 令其-階導(dǎo)數(shù)為零(即 x的函數(shù),V=v(6-2a)2, 得極大點(diǎn)ml、函數(shù)極 大值匕.二16,從而獲 得四角截去邊長(zhǎng)1m的 止方形使折轉(zhuǎn)的箱子 容積最大(16m3)最優(yōu) 方案。 11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材

15、料 最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長(zhǎng)I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)?鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 4.設(shè)以2的比例截取鉛絲，能使問(wèn)題達(dá)到皿優(yōu)煙, 如圖眇示：其中竺二力，解得:AC = — , Cfi =— CB 1 +2 14Z 折成的同形和方形的血積之和為： 則這個(gè)問(wèn)題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為： ）》（JL + 八?）->niin 16 4zr sA2>0 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面 積最大。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫(xiě)出M 文件和求解命令）。 判斷題 1,二元函數(shù)等值線密集的區(qū)域函數(shù)值變化慢 x 2海塞矩陣正定的充要條件是它的各階主子式大于零 x 3;當(dāng)?shù)c(diǎn)接近極小點(diǎn)時(shí)，步長(zhǎng)變得很小，越走越慢v 4二元函數(shù)等值線疏密程度變化 5變尺度法不需海塞矩陣v 6梯度法兩次的梯度相互垂直v