定積分及其應(yīng)用

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1、第六章第六章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用本章將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問(wèn)題本章將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問(wèn)題定積分定積分. .定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問(wèn)題定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問(wèn)題. .本本章將從兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出定積分的概念，然后討論章將從兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出定積分的概念，然后討論它的性質(zhì)與計(jì)算方法，最后介紹定積分的應(yīng)用它的性質(zhì)與計(jì)算方法，最后介紹定積分的應(yīng)用. . 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念abxyo一、引例一、引例 1、曲邊梯形的面積、曲邊梯形的面積 設(shè)設(shè) y = f ( x ) 在在 a , b 上非負(fù)、連續(xù)上非負(fù)、連續(xù), 由直線由直線 x = a, x

2、= b , y = 0 及曲線及曲線 y = f ( x ) 所圍成的圖形所圍成的圖形, 見(jiàn)圖見(jiàn)圖5 1 , y = f (x)AOxy稱為曲邊梯形稱為曲邊梯形, 其中其中 x 軸稱為底邊軸稱為底邊, 曲線曲線 y = f ( x ) 稱稱為曲邊為曲邊. 現(xiàn)在討論一般的曲邊梯形的面積現(xiàn)在討論一般的曲邊梯形的面積. (1) 大化小大化小(分割分割): 在在 a , b 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) 0121,nnaxxxxxb把把 a , b 分成分成 n 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 x 0 , x 1 , x 1 , x 2 , , x n-1 , x n , 這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別為這些小區(qū)

3、間的長(zhǎng)度分別為 1102211,.nnnxxxxxxxxx 經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于 y 軸的直線段軸的直線段, 把曲把曲邊梯形分成邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形, 見(jiàn)圖見(jiàn)圖5 3 . 設(shè)每個(gè)小設(shè)每個(gè)小曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 S i ( i = 1 , 2 , , n ) . 任取任取 i xi-1, xi , 以以 xi-1, xi 為底為底, xOyy = f (x)abxi-1xi if ( I ) 為高的小矩形的面積近似代替以為高的小矩形的面積近似代替以 x i - 1 , x i 為底的小曲邊梯形的面積為底的小曲邊梯形的面積, 則則 Si f

4、( i) xi ( i = 1, 2, , n). (2) 常代變常代變: 將這將這 n 個(gè)小矩形的面積相加個(gè)小矩形的面積相加, 則則1( ).niiiSfx記記 = maxx1, x2, , xn , 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí), 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度 x i 0, 這時(shí)這時(shí), 1( )niiifx充分接近于精確值充分接近于精確值 S , 即即 01lim( ).niiiSfx所求面積的近似值為所求面積的近似值為 (3) 近似和近似和:(4) 取極限取極限:2、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí), 其運(yùn)動(dòng)的距離等于速度其運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以

5、時(shí)間乘以時(shí)間. 現(xiàn)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度現(xiàn)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度 v 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 而變化而變化, 即即 v = v ( t ) , 求此物體在時(shí)間區(qū)間求此物體在時(shí)間區(qū)間 T 1 , T 2 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程. (1) 大化小大化小: 在在 T 1 , T 2 內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn) 101212,nnTtttttT把把T1, T2分成分成 n 個(gè)小時(shí)間段個(gè)小時(shí)間段 t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn,各個(gè)小時(shí)間段的長(zhǎng)度依次為各個(gè)小時(shí)間段的長(zhǎng)度依次為 1102211,.nnntttxttttt設(shè)物體在設(shè)物體在ti-1, ti內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程依次為內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程依次

6、為 S1, S2, , Sn . 任取任取 i ti-1, ti, 將物體在將物體在ti-1, ti時(shí)時(shí)將這個(gè)將這個(gè) n 個(gè)小區(qū)間段內(nèi)路程的近似個(gè)小區(qū)間段內(nèi)路程的近似值值相加相加, 則得到所求路程的近似值則得到所求路程的近似值 1( ).niiiSt 記記 =maxt1, t2, , tn , 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)時(shí), 在在T1, T2時(shí)間段物體的運(yùn)動(dòng)路程為時(shí)間段物體的運(yùn)動(dòng)路程為 01lim( ).niiiSt 上面兩個(gè)例子雖然問(wèn)題不同上面兩個(gè)例子雖然問(wèn)題不同, 但解決的方法是但解決的方法是相同的相同的, 都?xì)w結(jié)為求同一問(wèn)題的和的極限都?xì)w結(jié)為求同一問(wèn)題的和的極限. 間段內(nèi)看成以速度間段內(nèi)看成以速度 v(

7、 i) 做勻速運(yùn)動(dòng)做勻速運(yùn)動(dòng), 則這段時(shí)間路則這段時(shí)間路程的近似值為程的近似值為 Si v( i) ti ( i = 1, 2, , n). (2) 常代變常代變: (3) 近似和近似和:(4) 取極限取極限:二、定積分的定義二、定積分的定義 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在a, b上有界上有界, 在在a, b中任意插中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)入若干個(gè)分點(diǎn) a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b, 把區(qū)把區(qū)間間a, b分成分成 n 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn, 各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為 1102211,.nnnxxxx

8、xxxxx在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) i , 作函數(shù)值作函數(shù)值 f ( i) 與與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積 f ( i) xi (i = 1, 2, , n), 并求和并求和 1( ).nniiiSfx記記 = maxx1, x2, , xn , 定積分定積分(簡(jiǎn)稱積分簡(jiǎn)稱積分), 記做記做 ( ),baf x dx即即1( )lim( )nbiiaxif x dxfx其中其中 f ( x ) 叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù), f ( x ) dx 叫做叫做被積表達(dá)式被積表達(dá)式, x 叫做叫做積分變量積分變量, a 叫做叫做積分下限積分下限, b 叫做叫做積

9、分上限積分上限, a , b 叫做叫做積分區(qū)間積分區(qū)間. 怎么分怎么分, 也不論對(duì)點(diǎn)怎么取也不論對(duì)點(diǎn)怎么取, 只要當(dāng)只要當(dāng) 0 時(shí)時(shí), 和和 sn 的的如果不論對(duì)區(qū)間如果不論對(duì)區(qū)間a, b極限總存在極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上的上的1()niiifx通常稱為通常稱為 f (x) 的積分和的積分和. f ( x ) 在在 a , b 上定積分存在上定積分存在, 就說(shuō)就說(shuō) f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上可積上可積. 前面所討論的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題中前面所討論的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題中, 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積可表示為可表示為( );baSf

10、 x dx變速直線運(yùn)動(dòng)的路程可表示為變速直線運(yùn)動(dòng)的路程可表示為 21( ).TTsv t dt 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值(如面積、路程如面積、路程), 定積分只與定積分只與被積函數(shù)被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間及積分區(qū)間a, b有關(guān)有關(guān), 而與積分變量而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)的記號(hào)無(wú)關(guān), 如如 ( )( )( ).bbbaaaf x dxf t dtf u du如果如果下面給出兩個(gè)定積分存在的充分條件下面給出兩個(gè)定積分存在的充分條件. 定理定理1 設(shè)設(shè) f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f ( x ) 在在 a , b 上可積上可積. 定理定理2 如果函數(shù)

11、如果函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上最多有有上最多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)限個(gè)第一類間斷點(diǎn), 則則 f ( x ) 在在 a , b 上可積上可積. 若若在區(qū)間在區(qū)間a, b上上 f (x) 連續(xù)、連續(xù)、非負(fù)非負(fù), 則定積分則定積分 ( )baf x dx在幾何上表示由曲線在幾何上表示由曲線 y = f (x), 若若在區(qū)間在區(qū)間a, b上上 f (x) 連續(xù)連續(xù), 正非正非, 由曲線由曲線 y = f (x), 直直線線x = a, x = b與與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于軸所圍成的曲邊梯形位于x 軸的下軸的下方方, 則定積分則定積分( )baf x dx若若在區(qū)間在區(qū)間a,

12、 b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù) f (x) 既取得正值又取得負(fù)值既取得正值又取得負(fù)值, 函數(shù)函數(shù) f (x) 的圖形某些部分在的圖形某些部分在 x 軸的上方軸的上方, 而其他部分而其他部分在幾何上表示上述面積的負(fù)值在幾何上表示上述面積的負(fù)值; 在在 x 軸的下方軸的下方, ( )baf x dx圖形面積減去圖形面積減去 x 軸下方圖形面積所得的差軸下方圖形面積所得的差, 見(jiàn)下頁(yè)圖見(jiàn)下頁(yè)圖. 表示表示 x 軸上方軸上方直線直線 x = a, x = b 與與 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積;三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義:此時(shí)定積分此時(shí)定積分 Oyy = f (x)abx+-o1 xyni例例1. 利用定義計(jì)算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(則32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy