定積分及其應(yīng)用

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1、第六章第六章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用本章將討論積分學(xué)的另一個基本問題本章將討論積分學(xué)的另一個基本問題定積分定積分. .定積分起源于求圖形的面積和體積等實際問題定積分起源于求圖形的面積和體積等實際問題. .本本章將從兩個實際問題引出定積分的概念，然后討論章將從兩個實際問題引出定積分的概念，然后討論它的性質(zhì)與計算方法，最后介紹定積分的應(yīng)用它的性質(zhì)與計算方法，最后介紹定積分的應(yīng)用. . 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念abxyo一、引例一、引例 1、曲邊梯形的面積、曲邊梯形的面積 設(shè)設(shè) y = f ( x ) 在在 a , b 上非負(fù)、連續(xù)上非負(fù)、連續(xù), 由直線由直線 x = a, x

2、= b , y = 0 及曲線及曲線 y = f ( x ) 所圍成的圖形所圍成的圖形, 見圖見圖5 1 , y = f (x)AOxy稱為曲邊梯形稱為曲邊梯形, 其中其中 x 軸稱為底邊軸稱為底邊, 曲線曲線 y = f ( x ) 稱稱為曲邊為曲邊. 現(xiàn)在討論一般的曲邊梯形的面積現(xiàn)在討論一般的曲邊梯形的面積. (1) 大化小大化小(分割分割): 在在 a , b 中任意插入若干個分點中任意插入若干個分點 0121,nnaxxxxxb把把 a , b 分成分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間 x 0 , x 1 , x 1 , x 2 , , x n-1 , x n , 這些小區(qū)間的長度分別為這些小區(qū)

3、間的長度分別為 1102211,.nnnxxxxxxxxx 經(jīng)過每一個分點作平行于經(jīng)過每一個分點作平行于 y 軸的直線段軸的直線段, 把曲把曲邊梯形分成邊梯形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形, 見圖見圖5 3 . 設(shè)每個小設(shè)每個小曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 S i ( i = 1 , 2 , , n ) . 任取任取 i xi-1, xi , 以以 xi-1, xi 為底為底, xOyy = f (x)abxi-1xi if ( I ) 為高的小矩形的面積近似代替以為高的小矩形的面積近似代替以 x i - 1 , x i 為底的小曲邊梯形的面積為底的小曲邊梯形的面積, 則則 Si f

4、( i) xi ( i = 1, 2, , n). (2) 常代變常代變: 將這將這 n 個小矩形的面積相加個小矩形的面積相加, 則則1( ).niiiSfx記記 = maxx1, x2, , xn , 當(dāng)當(dāng) 0 時時, 每個小區(qū)間的長度每個小區(qū)間的長度 x i 0, 這時這時, 1( )niiifx充分接近于精確值充分接近于精確值 S , 即即 01lim( ).niiiSfx所求面積的近似值為所求面積的近似值為 (3) 近似和近似和:(4) 取極限取極限:2、變速直線運動的路程、變速直線運動的路程 當(dāng)物體做勻速直線運動時當(dāng)物體做勻速直線運動時, 其運動的距離等于速度其運動的距離等于速度乘以

5、時間乘以時間. 現(xiàn)設(shè)物體運動的速度現(xiàn)設(shè)物體運動的速度 v 隨時間隨時間 t 而變化而變化, 即即 v = v ( t ) , 求此物體在時間區(qū)間求此物體在時間區(qū)間 T 1 , T 2 內(nèi)運動的路程內(nèi)運動的路程. (1) 大化小大化小: 在在 T 1 , T 2 內(nèi)任意插入若干個分點內(nèi)任意插入若干個分點 101212,nnTtttttT把把T1, T2分成分成 n 個小時間段個小時間段 t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn,各個小時間段的長度依次為各個小時間段的長度依次為 1102211,.nnntttxttttt設(shè)物體在設(shè)物體在ti-1, ti內(nèi)經(jīng)過的路程依次為內(nèi)經(jīng)過的路程依次

6、為 S1, S2, , Sn . 任取任取 i ti-1, ti, 將物體在將物體在ti-1, ti時時將這個將這個 n 個小區(qū)間段內(nèi)路程的近似個小區(qū)間段內(nèi)路程的近似值值相加相加, 則得到所求路程的近似值則得到所求路程的近似值 1( ).niiiSt 記記 =maxt1, t2, , tn , 當(dāng)當(dāng) 0時時, 在在T1, T2時間段物體的運動路程為時間段物體的運動路程為 01lim( ).niiiSt 上面兩個例子雖然問題不同上面兩個例子雖然問題不同, 但解決的方法是但解決的方法是相同的相同的, 都?xì)w結(jié)為求同一問題的和的極限都?xì)w結(jié)為求同一問題的和的極限. 間段內(nèi)看成以速度間段內(nèi)看成以速度 v(

7、 i) 做勻速運動做勻速運動, 則這段時間路則這段時間路程的近似值為程的近似值為 Si v( i) ti ( i = 1, 2, , n). (2) 常代變常代變: (3) 近似和近似和:(4) 取極限取極限:二、定積分的定義二、定積分的定義 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在a, b上有界上有界, 在在a, b中任意插中任意插入若干個分點入若干個分點 a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b, 把區(qū)把區(qū)間間a, b分成分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間 x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn, 各個小區(qū)間的長度依次為各個小區(qū)間的長度依次為 1102211,.nnnxxxx

8、xxxxx在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi-1, xi上任取一點上任取一點 i , 作函數(shù)值作函數(shù)值 f ( i) 與與小區(qū)間長度的乘積小區(qū)間長度的乘積 f ( i) xi (i = 1, 2, , n), 并求和并求和 1( ).nniiiSfx記記 = maxx1, x2, , xn , 定積分定積分(簡稱積分簡稱積分), 記做記做 ( ),baf x dx即即1( )lim( )nbiiaxif x dxfx其中其中 f ( x ) 叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù), f ( x ) dx 叫做叫做被積表達(dá)式被積表達(dá)式, x 叫做叫做積分變量積分變量, a 叫做叫做積分下限積分下限, b 叫做叫做積

9、分上限積分上限, a , b 叫做叫做積分區(qū)間積分區(qū)間. 怎么分怎么分, 也不論對點怎么取也不論對點怎么取, 只要當(dāng)只要當(dāng) 0 時時, 和和 sn 的的如果不論對區(qū)間如果不論對區(qū)間a, b極限總存在極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上的上的1()niiifx通常稱為通常稱為 f (x) 的積分和的積分和. f ( x ) 在在 a , b 上定積分存在上定積分存在, 就說就說 f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上可積上可積. 前面所討論的兩個實際問題中前面所討論的兩個實際問題中, 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積可表示為可表示為( );baSf

10、 x dx變速直線運動的路程可表示為變速直線運動的路程可表示為 21( ).TTsv t dt 定積分是一個數(shù)值定積分是一個數(shù)值(如面積、路程如面積、路程), 定積分只與定積分只與被積函數(shù)被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間及積分區(qū)間a, b有關(guān)有關(guān), 而與積分變量而與積分變量的記號無關(guān)的記號無關(guān), 如如 ( )( )( ).bbbaaaf x dxf t dtf u du如果如果下面給出兩個定積分存在的充分條件下面給出兩個定積分存在的充分條件. 定理定理1 設(shè)設(shè) f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f ( x ) 在在 a , b 上可積上可積. 定理定理2 如果函數(shù)

11、如果函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上最多有有上最多有有限個第一類間斷點限個第一類間斷點, 則則 f ( x ) 在在 a , b 上可積上可積. 若若在區(qū)間在區(qū)間a, b上上 f (x) 連續(xù)、連續(xù)、非負(fù)非負(fù), 則定積分則定積分 ( )baf x dx在幾何上表示由曲線在幾何上表示由曲線 y = f (x), 若若在區(qū)間在區(qū)間a, b上上 f (x) 連續(xù)連續(xù), 正非正非, 由曲線由曲線 y = f (x), 直直線線x = a, x = b與與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于軸所圍成的曲邊梯形位于x 軸的下軸的下方方, 則定積分則定積分( )baf x dx若若在區(qū)間在區(qū)間a,

12、 b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù) f (x) 既取得正值又取得負(fù)值既取得正值又取得負(fù)值, 函數(shù)函數(shù) f (x) 的圖形某些部分在的圖形某些部分在 x 軸的上方軸的上方, 而其他部分而其他部分在幾何上表示上述面積的負(fù)值在幾何上表示上述面積的負(fù)值; 在在 x 軸的下方軸的下方, ( )baf x dx圖形面積減去圖形面積減去 x 軸下方圖形面積所得的差軸下方圖形面積所得的差, 見下頁圖見下頁圖. 表示表示 x 軸上方軸上方直線直線 x = a, x = b 與與 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積;三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義:此時定積分此時定積分 Oyy = f (x)abx+-o1 xyni例例1. 利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(則32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy