【小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)】小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))16共(8頁)

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（三年級(jí)） 本教程共30講 第16講數(shù)陣圖（ 在神奇的數(shù)學(xué)王國中，有一類非常有趣的數(shù)學(xué)問題，它變化多端，引 人入勝，奇妙無窮。它就是數(shù)陣，一座真正的數(shù)字迷宮，它對(duì)喜歡探究數(shù) 字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研 究它的變化，就連大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)它都有著濃厚的興趣。 那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個(gè)圖： 左上圖中有3個(gè)大圓，每個(gè)圓周上都有四個(gè)數(shù)字，有意思的是，每個(gè) 圓周上的四個(gè)數(shù)字之和都等于13。右上圖就更有意思了， 1?9九個(gè)數(shù)字 被排成三行三列，每行的三個(gè)數(shù)字之和與每列的三個(gè)數(shù)字之和， 以及每條 對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于1

2、5,不信你就算算 上面兩個(gè)圖就是數(shù)陣圖。準(zhǔn)確地說，數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求 排列而成的某種圖形，有時(shí)簡稱數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是 一件容易的事情。我們還是先從幾個(gè)簡單的例子開始。 例1把1?5這五個(gè)數(shù)分別填在左下圖中的方格中， 使得橫行三數(shù)之和與 豎列三數(shù)之和都等于9。 同學(xué)們可能會(huì)覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答 案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理， 只有 弄懂其中的道理，才可能解出復(fù)雜巧妙的數(shù)陣問題。 分析與解：中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個(gè)數(shù)有它，豎列的三個(gè)數(shù)也 有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說，橫行的三個(gè)數(shù)之和加上

3、豎列 的三個(gè)數(shù)之和，只有重疊數(shù)被加了兩次，即重疊了一次，其余各數(shù)均被加 了一次。因?yàn)闄M行的三個(gè)數(shù)之和與豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于 9,所以 (1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=9+9, 重疊數(shù)=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。 重疊數(shù)求出來了，其余各數(shù)就好填了 (見右上圖)。 例2把1?5這五個(gè)數(shù)填入下頁左上圖中的。里(已填入5),使兩條直線 上的三個(gè)數(shù)之和相等。 分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數(shù)”為5,而不知道兩條直線上 的三個(gè)數(shù)之和都等于什么數(shù)。所 以，必須先求出這個(gè)“和”。根據(jù)例1的分析知，兩條直線上的三個(gè) 數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍，其余各數(shù)均被加了一遍，所以兩

4、條直線 上的三個(gè)數(shù)之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5] +2=10。 因此，兩條直線上另兩個(gè)數(shù)(非“重疊數(shù)”)的和等于10-5=5。在剩 下的四個(gè)數(shù)1, 2, 3, 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。 例3把1?5這五個(gè)數(shù)填入右圖中的。里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相 等。 O-U-O 6 分析與解：例1是知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；例2是知 道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和；本例是這兩樣什么都不知道。 但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重疊數(shù) =每條直線上三數(shù)之和X 2, 所以，每條直線上三數(shù)之和等于(15+

5、重疊數(shù))+2。 因?yàn)槊織l直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)只可能是 1, 3或5 若“重疊數(shù)” =1,則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+1) +2=8。 填法見左下圖； 若“重疊數(shù)” =3,則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+3) +2=9。 填法見下中圖； 若“重疊數(shù)” =5,則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+5) +2=10。 填法見右下圖。 (5) ? 由以上幾例看出，求出重疊數(shù)是解決數(shù)陣問題的關(guān)鍵。 為了進(jìn)一步學(xué) 會(huì)掌握這種解題方法，我們?cè)倏磧衫? 例4將1?7這七個(gè)自然數(shù)填入左下圖的七個(gè)。內(nèi)， 使得每條邊上的三個(gè) 數(shù)之和都等于10 分析與解：與例1類似，知道

6、每條邊上的三數(shù)之和，但不知道重疊數(shù)。因 為有3條邊，所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次。于是得到 (1+2+ - +7)+重疊數(shù) X 2=10X 3。 由此得出重疊數(shù)為 [10 X3-(1+2+ …+7)] +2=1。 剩下的六個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于 9的有2, 7; 3, 6; 4, 5?？傻糜?上圖的填法。 如果把例4中“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于 10”改為“每條邊上 的三個(gè)數(shù)之和都相等"，其他不變，那么仿照例 3,重疊數(shù)可能等于幾？ 怎樣填？ 例5將10?20填入左下圖的。內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三 個(gè)數(shù)字之和都相等。 解：與例2類似，中間。內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且

7、重疊了四次，所以每條 邊上的三個(gè)數(shù)字之和等于 [(10+11+ - +20)+15X4] -5=45。 剩下的十個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10, 20; 11, 19; 12, 18; 13, 17; 14, 16。于是得到右上圖的填法。 例1?5都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這 樣的數(shù)陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射 型3-3圖；例5有五條邊每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射型 5-3圖。 般地，有m條邊，每邊有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型 m- 輻射型數(shù)陣圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)” -1 ,即m-1

8、對(duì)于輻射型數(shù)陣圖，有 已知各數(shù)之和+重疊數(shù)x重疊次數(shù) =直線上各數(shù)之和x直線條數(shù)。 由此得到： （1）若已知每條直線上各數(shù)之和，則重疊數(shù)等于 （直線上各數(shù)之和X直線條數(shù)-已知各數(shù)之和）+重疊次數(shù)。 如例1、例4。 （2）若已知重疊數(shù)，則直線上各數(shù)之和等于（已知各數(shù)之和+重疊數(shù)X重疊 次數(shù)）一直線條數(shù)。如例2、例5。 ⑶若重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道，則要從重疊數(shù)的可能取 值分析討論，如例3。 練習(xí)16 1 .將1?7這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖中的。里，使每條直線上的三個(gè) 數(shù)之和都等于12。 如果每條直線上的三個(gè)數(shù)之和等于 10,那么又該如何填？ 2 .將1?

9、9這九個(gè)數(shù)分別填入右上圖中的。里（其中9已填好），使每 條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 如果中心數(shù)是5,那么又該如何填？ 3 .將1?9這九個(gè)數(shù)分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個(gè) 數(shù)之和相等。（至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法） 4 .將3?9這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖的。里，使每條直線上的三個(gè)數(shù) 之和等于20。 5 .將1?11這十一個(gè)數(shù)分別填入右上圖的。里，使每條直線上的三個(gè) 數(shù)之和相等，并且盡可能大。 6 .將1?7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖的。里，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之 和與每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 答案與提示練習(xí)16  和為為 和

10、為黑 和力25 和為28 和為27 5.提示：中心數(shù)是重疊數(shù)，并且重疊4次。所以每條直線上的三數(shù)之 和等于 [(1 +2+---+ 11)+重疊數(shù)X 4] +5 = (66+重疊數(shù)X 4) +5。 為使上式能整除，重疊數(shù)只能是1, 6或11。顯然，重疊數(shù)越大，每 條直線上的三數(shù)之和越大。所以重疊數(shù)是 11,每條直線上的三數(shù)之和是 22。填法見右圖。 6.解：所有的數(shù)都是重疊數(shù)，中心數(shù)重疊兩次，其它數(shù)重疊一次。所 以三條邊及兩個(gè)圓周上的所有數(shù)之和為 (1 +2+…+ 7) X2+中心數(shù)=56+中心數(shù)。 因?yàn)槊織l邊及每個(gè)圓周上的三數(shù)之和都相等，所以這個(gè)和應(yīng)該是 5 的倍數(shù)，

11、再由中心數(shù)在1至7之間，所以中心數(shù)是4。每條邊及每個(gè)圓周 上的三數(shù)之和等于(56+4) -5= 12。 中心數(shù)確定后，其余的數(shù)一下還不好直接確定。我們可以試著先從輻 射型3-3圖開始。中心數(shù)是4,每邊其余兩數(shù)之和是12-4=8,兩數(shù)之和是 8的有1, 7; 2, 6; 3, 5。于是得到左下圖的填法。 對(duì)于左上圖，適當(dāng)調(diào)整每條邊上除中心數(shù)外的兩個(gè)數(shù)的位置， 便得到 本題的解（見右上圖）。 豎式計(jì)算 370+7= 784-685= 76X 15 = 486 e= 607 55= 900-807= 915 3= 560 + 458+542= 423 3= 87X19=

12、 362+6= 525+ 3= 254+5= 192 + 4 = 602+7 = 839+ 9= 726+6= 51 X 16 = 78 X 22 = 416+4= 823+8= 63X43= 367 + 795 與= 2 >53= 79 >97= 28X 32 = 54X 25 = 48X61= 39X42 = 168 3= 370 與= 640 ^7= 1944=  470 %= 522 -6= 312^7= 570 七= 810+9= 660 + 5= 804 + 7= 462 + 3 = 780+4 = 729+ 9 = 624 + 6 = 2500+300= 156-97= 386+479= 321 X 12 = 125X 23 = 18X 250 = 52 X 49= 34 X 54= 106X 51 = 48 X 34 = 82 X 16= 45 X 93= 66 X 65= 55 X 18= 75X 26= 816+ 8=