小學(xué)四年級(jí)奧數(shù) 容斥問題

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1、精品文檔，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 容斥問題（一） 容斥問題涉及到一個(gè)重要的原理——包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)地計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 這一講我們先介紹容斥原理1對(duì)n個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na+Nb-Nab。 例1．一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有12人，訂閱《今日少年報(bào)》的有9人，兩種報(bào)紙都訂閱的有5人。（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)有多少？（2）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？ 例2．一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語的有2

2、4人，會(huì)俄語的有18人，兩樣都不會(huì)的有4人，兩樣都會(huì)的有多少人？ 例3．在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 例4．藝術(shù)節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展了了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有23幅畫不是五年級(jí)的，有21幅畫不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的畫共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？ 練習(xí)與思考 1.將邊長(zhǎng)分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊，蓋在桌面上（如圖6），已知重疊的部分為9平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？ 2．二（2）班有50名學(xué)生，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人，

3、兩種作業(yè)都做完的有多少人？ 3．有62名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11名，會(huì)吹豎笛的有56名，兩樣都不會(huì)的有4名，兩樣都會(huì)的有多少名？ 4．某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的，兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？ 5．四（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中有25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加航模水組，有19人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？ 6．在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對(duì)第1題的有35人，答對(duì)第2題的有28人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？

4、 7．一個(gè)俱樂部里，會(huì)下中國(guó)象棋的有69人，會(huì)下國(guó)際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂部里有多少人？ 8．某班上體育課，全班排成4行（每行的人數(shù)相等），小芳排的位置是：從前面數(shù)第6個(gè)，從后面數(shù)第7個(gè)。這個(gè)班共有多少名學(xué)生？ 9．在1到200的全部自然數(shù)中，既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 10．科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有114件不是一年級(jí)的，有96件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？ 容斥問題（二） 這一講介紹容斥原理2 n個(gè)事物，如何采用三種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：

5、按性質(zhì)a 分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或b或c的事物的個(gè)數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。 例1．五（1）班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目和人數(shù)如下表： 短跑 游泳 籃球 短跑、游泳 游泳、籃球 籃球、短跑 短跑、游泳、籃球 17人 18人 15人 6人 6人 6人 2人 求全班人數(shù)。 例2．某班有學(xué)生50人，參加無線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人，其中既參加無

6、線電小組又參加航模小組的有4人，既參加航模小組又參加生物小組的有5人，既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個(gè)小組中的某一個(gè)，那么，三個(gè)小組參加的學(xué)生有多少人？ 例3．一個(gè)體育鍛煉小組有35名男生，規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個(gè)球隊(duì)中的一個(gè)。結(jié)果參加籃球隊(duì)的有16人，參加排球隊(duì)的有11人，參加足球隊(duì)的有20人，其中有4人既參加了排球隊(duì)又參加了籃球隊(duì)，有3人既參加了排球隊(duì)又參加了足球隊(duì)，沒有人三個(gè)球隊(duì)都參加。既參加籃球隊(duì)又參加足球隊(duì)的有多少人？ 例4.松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競(jìng)賽。有21人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，15人參加作文競(jìng)賽，其中7人既參加作文

7、競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，3人既參加作文競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽，但沒有一人既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽。 （1）只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人？ （2）只參加作文競(jìng)賽的有多少人？ （3）只參加美術(shù)競(jìng)賽的有多少人？ 練習(xí)與思考 1．有30名運(yùn)動(dòng)員、其中18人會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)，16人會(huì)撐桿跳高，10人三級(jí)跳遠(yuǎn)、撐桿跳高都不會(huì)。既會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)又會(huì)撐桿跳高的運(yùn)動(dòng)員有多少名？ 2．操場(chǎng)上的學(xué)生排成10路縱隊(duì)做操，每路縱隊(duì)的人數(shù)同樣多，小明站在第4路縱隊(duì)，從排頭數(shù)他是第13人，從后往前數(shù)他是第8人。操場(chǎng)上有多少人在做操？ 3．一個(gè)年級(jí)有120人愛好數(shù)學(xué)，100人愛好語文，85人愛好美術(shù)，30人既愛好數(shù)學(xué)又愛好語文，

8、20人既愛好語文又愛好美術(shù)，35人既愛好美術(shù)又愛好數(shù)學(xué)，有18人三個(gè)學(xué)科都愛好。請(qǐng)問：這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個(gè)學(xué)科至少愛好一個(gè)學(xué)科的學(xué)生有多少人？ 4．某班全體學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)、語文、英語三個(gè)科目的測(cè)試，有8名學(xué)生在這三個(gè)科目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)科目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表： 數(shù)學(xué) 語文 英語 數(shù)學(xué)、語文 語文、英語 英語、數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)、語文、英語 20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名學(xué)生？ 5．第三小隊(duì)的學(xué)生有20人，手中分別拿有紅、黃藍(lán)三種顏色的球，已知手中有紅球、黃球、藍(lán)球折學(xué)生人數(shù)分別為10

9、人、10人、6人，其中手中既有紅球又有黃球的有3人，既有黃球又有藍(lán)球的有2人，既有藍(lán)球又有紅球的有4人。已知全隊(duì)每人手里都至少有一種顏色的球，那么，手中三種顏色的球都有多少人？ 6．某班50名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個(gè)課外興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有29人，參加語文小組的有21人，參加美術(shù)小組的有25人，有17人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組，有15人既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組，有10人既參加語文小組又參加美術(shù)小組。三個(gè)小組都參加的有多少人？ 7．有學(xué)生30名，他們中有部分學(xué)生參加了乒乓球，羽毛球、排球三個(gè)訓(xùn)練小組，各組人數(shù)分別為14人、12人、10人，其中既參加羽毛球小組又參加排球小

10、組的有4人，既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人，既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人，三個(gè)小組都參加的有1人。這些學(xué)生中這三個(gè)小組都沒有參加的有幾人？ 8．某外語學(xué)習(xí)班有40名學(xué)員，規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語、日語、德語中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語的有20人，學(xué)習(xí)日語的有12人，學(xué)習(xí)德語的有18人，其中有5人既學(xué)習(xí)了英語又學(xué)習(xí)了日語，有2人既學(xué)習(xí)了日語又學(xué)習(xí)了德語，沒有人同時(shí)學(xué)習(xí)三咱語言。既學(xué)習(xí)英語又學(xué)習(xí)德語的有多少人？ 9．四（1）班有55名學(xué)生參加音樂、美術(shù)、體育興趣組。有22人參加美術(shù)組，有21人參加音樂組，其中15人既參加音樂組又參加美術(shù)組，3人既參加音樂組又參加體育組，但沒有一人既參

11、加美術(shù)組又參加優(yōu)育組。 （1）只參加美術(shù)組的有多少人？ （2）只參加音樂組的有多少人？ （3）只參加音樂組的有多少人？ 能力測(cè)試（三） （滿分100分，90分鐘完成） 一、填空題（每空6分，共54分）。 1．小英有2分、5分的硬幣共35枚，一共是1元1角5分，2分硬幣有（ ）枚，5分硬幣有（ ）枚。 2．從舊舊歷中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（ ）。 3．買5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克，用去71元。5元1千克的糖有（ ）千克，8元1千克的糖有（ ）千克。 4．

12、 圖中共有（ ）個(gè)正方形。圖中菜有（ ）個(gè)三角形。 5．新華小學(xué)四年級(jí)共40個(gè)學(xué)生采集標(biāo)本，采集昆蟲標(biāo)本的有27人，采集植物標(biāo)本的有21人，兩種標(biāo)本都采集的有（ ）人。 6．某班學(xué)生去圖書館借書，每人都借了語文或數(shù)學(xué)課外書，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：借語文書的39人，借數(shù)學(xué)書的32人，語文、數(shù)學(xué)兩種書都借的有26人，全班學(xué)生共（ ）人。 二、應(yīng)用題（第1題10分，其余每題9分，共46分）。 1．英文字母A，B，C，D，按規(guī)則排列為ABAACCDABAACCD…共250個(gè)字母，最后一個(gè)字母是什么？A，B，C，D各有多少個(gè)？ 2．四年級(jí)學(xué)

13、生進(jìn)行數(shù)學(xué)比賽，規(guī)定算對(duì)一題得5分，錯(cuò)一題扣2分。試卷上共有20道題，李華得了86分，他算對(duì)了多少道題？ 3．一個(gè)停車場(chǎng)上共停汽車、三輪摩托車25輛，其中汽車有4個(gè)輪子，三輪摩托車有3個(gè)輪子。這些車共有90個(gè)輪子。三輪摩托車有多少輛？ 4．某班學(xué)生會(huì)打籃球的有40人，會(huì)打排球的有32人，兩種球都會(huì)打的有30人，還有3個(gè)學(xué)生這兩種球都不會(huì)打。這個(gè)班有學(xué)生多少人？ 5．有43位同學(xué)，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)都不相同，每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫片。畫片只有兩種：3分一張和5分一張。如果每人都盡量多買5分一張的畫片，那么，他們所買的3分一張是畫片的總數(shù)是多少張？ 【精品文檔】第 3 頁