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1、1知識與技能結(jié)合實例的間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點2過程與方法了解反證法的特點、增強應(yīng)用反證法證明的能力3情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力本節(jié)重點：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟本節(jié)難點：應(yīng)用反證法解決問題 用反證法證明問題，一般由證明pq，轉(zhuǎn)向證明qrt，t與假設(shè)矛盾或與某個真命題矛盾，從而到判斷q為假，得出q為真反證法，不是從已知條件去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進行演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟： (1)分清命題的條件與結(jié)論 (2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè) (3
2、)由假設(shè)出發(fā)應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果 (4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真 明確反證法的證題步驟，掌握一些常見命題的否定形式，熟悉推出矛盾的幾種常見類型，是用好反證法的關(guān)鍵 1一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：qrt，t與假設(shè)或題設(shè)條件矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定q為假，推出q為真的方法，叫做 2在反證法中，得出矛盾，所得矛盾主要是指： 3反證法的一般步驟是：反證法與假設(shè)矛盾，與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾，與公認的簡單事實矛盾否定結(jié)論，推理論證，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論例1求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于
3、60.證明假設(shè)ABC的三個內(nèi)角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60.相加得ABC0，且(x1)2(y1)2(z1)20.abc0，這與abc0矛盾，因此a，b，c中至少有一個大于0.例2求證：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行證明已知：點P在直線a外求證：過點P與直線a平行的直線有且只有一條證明：點P在直線a外，點P和直線a確定一個平面，設(shè)該平面為，在平面內(nèi)，過點P作直線b，使得ba，則過點P有一條直線與a平行假設(shè)過點P還有一條直線c與a平行ab，ac，bc，這與b、c相交于點P矛盾，故假設(shè)不成立說明證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性當證明結(jié)論以“
4、有且只有”、“只有一個”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性較簡單明了 已知直線m與直線a和b分別相交于A，B，且ab，求證：過a、b、m有且只有一個平面證明ab，過a、b有一個平面.又maA，mbB，Aa，Bb，A，B，又Am，Bm，m.即過a、b、m有一個平面，假設(shè)過a、b、m還有一個平面異于平面.則a，b，a，b，這與ab，過a、b有且只有一個平面相矛盾因此，過a、b、m有且只有一個平面.規(guī)律方法當結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為
5、已知條件推導(dǎo)出矛盾例4用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多只有一個實根誤解證明：假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有兩個實根，.因為，不妨設(shè)，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，f()f()這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間上至多只有一個實根辨析至多只有一個實根的反面是“至少有兩個實根”，而不是“有兩個實根”正解假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，設(shè)，為其中的兩個實根因為，不妨設(shè)，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()f()這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多只有一個實根一、選
6、擇題1實數(shù)a、b、c不全為0的條件為()Aa、b、c均不為0Ba、b、c中至多有一個為0Ca、b、c中至少有一個為0Da、b、c中至少有一個不為0答案D解析實數(shù)a、b、c不全為0就是a、b、c中至少有一個不為0.答案D 3異面直線在同一個平面的射影不可能是()A兩條平行直線B兩條相交直線C一點與一直線 D同一條直線答案D解析舉反例的方法如圖正方體ABCDA1B1C1D1中A1A與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是點A和直線BC，故排除C，BA1與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和BC，故排除B，BA1與C1D1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和CD，故排除A.二、填空題4有下列命題：空間四點中有三點共線，則這四點必共面；空間四點，其中任何三點不共線，則這四點不共面；垂直于同一直線的兩直線平行；兩組對邊相等 的 四 邊 形 是 平 行 四 邊 形 其 中 真 命 題 是_答案5和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是_答案異面
高中數(shù)學(xué) 2、222反證法課件 新人教B版選修12
