高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和課件 理

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1、第二節(jié)等差數(shù)列及其前第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和項和第五章數(shù)第五章數(shù) 列列考考 綱綱 要要 求求1理解等差數(shù)列的概念理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項公式與前掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理一、等差數(shù)列的概念一、等差數(shù)列的概念1定義：如果一個數(shù)列從第二項開始，每一項與前一項的定義：如果一個數(shù)列從第二項開始，每一項與前一項的差都是同一個常數(shù)，那么這樣

2、的數(shù)列叫做等差數(shù)列，記作數(shù)差都是同一個常數(shù)，那么這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，記作數(shù)列列 ，首項記作，首項記作a1，公差記作，公差記作d.2符號表示：符號表示： an1and(nN*)二、通項公式二、通項公式若數(shù)列若數(shù)列 為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，則ana1(n1)dam(nm)d.三、前三、前n項和公式項和公式Sn na1 . na na12nn aa12n nd 四、等差中項四、等差中項如果三數(shù)如果三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則A叫做叫做a和和b的等差中項，即的等差中項，即A .五、等差數(shù)列的判定方法五、等差數(shù)列的判定方法1定義法：定義法： an1and (常數(shù)常數(shù))(nN*) 是等

3、差數(shù)列是等差數(shù)列2中項公式法中項公式法 : 2an1anan2(nN*) 是等差數(shù)是等差數(shù)列列3通項公式法：通項公式法： anknb(k，b是常數(shù)是常數(shù))(nN*) 是等是等差數(shù)列差數(shù)列4前前n項和公式法：項和公式法：SnAn2Bn(A，B是常數(shù)是常數(shù))(nN*) 是等差數(shù)列是等差數(shù)列2a b na na na na六、用函數(shù)觀點認(rèn)識等差數(shù)列六、用函數(shù)觀點認(rèn)識等差數(shù)列1andna1d，d0時是關(guān)于時是關(guān)于n的一次函數(shù)的一次函數(shù)2Sn n2 ，d0時是關(guān)于時是關(guān)于n的常數(shù)項為零的常數(shù)項為零的二次函數(shù)的二次函數(shù)七、等差數(shù)列的重要性質(zhì)七、等差數(shù)列的重要性質(zhì)1在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，若中，若pqmn

4、，則有，則有apaqaman；若；若2mpq，則有，則有2amapaq(p，q，m，nN*，簡稱，簡稱為下標(biāo)和性質(zhì)為下標(biāo)和性質(zhì))2在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等差數(shù)列，公差為為等差數(shù)列，公差為kd.3若數(shù)列若數(shù)列 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，Sn是其前是其前n項的和，項的和，kN*，那，那么么Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差數(shù)列，公差為也成等差數(shù)列，公差為k2d.2d12dan na na na基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1(2012重慶卷重慶卷)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a21，a4

5、5則則an的前的前5項和項和S5()A7B15C20D25解析：解析：a21，a45，a1a5a2a46.數(shù)列的數(shù)列的前前5項和為項和為S5 615.故故選選B.答案：答案：B1552aa2452aa522(2012大連、沈陽聯(lián)考大連、沈陽聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，若若a2，a4是方程是方程x2x20的兩個實數(shù)根，則的兩個實數(shù)根，則S5的值是的值是()A. B5C D5 5252解析：解析：因為因為a2a41，所以，所以S5 .故選故選A.答案：答案：A1552aa2452aa523(2012湖南師大附中模擬湖南師大附中模擬)各項不為零的等差數(shù)列各項不為零的等差

6、數(shù)列an中，中，2a3 2a110，則，則a7的值為的值為_27a解析：解析：由由2a3 2a110，得，得 2(a3a11) 04a7 0，a7(4a7)0，a70，a74.答案：答案：427a27a27a4(2012南京市二模南京市二模)設(shè)設(shè)Sn是等差數(shù)列是等差數(shù)列an的前的前n項項和若和若 ，則，則 _.36SS1367SS考考 點點 探探 究究考點一考點一等差數(shù)列基本量的計算等差數(shù)列基本量的計算【例【例1】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列an中，中，a11，a33.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前k項和項和Sk35，求，求k的值的值思路點撥：思路點

7、撥：先運用等差數(shù)列的通項公式求出公差，進而先運用等差數(shù)列的通項公式求出公差，進而求得通項公式及前求得通項公式及前n項和公式，再將項和公式，再將n用用k代換，得到關(guān)于代換，得到關(guān)于k的的方程，解方程即可求得項數(shù)方程，解方程即可求得項數(shù)k.解析：解析：(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為d，則，則ana1(n1)d.由由 a11，a33可得可得12d3，解得，解得d2.從而從而an1(n1)(2)32n.(2)由由(1)可知可知an32n，所以所以Sn 2nn2.由由Sk35可得可得2kk235，即即k22k350，解得，解得k7或或k5.又又kN*，故，故k7為所求為所求1322nn

8、點評：點評：解決等差數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：解決等差數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：(1)基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和和d的方程；的方程；(2)巧妙運用巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡等差數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡變式探究變式探究1(1)(2012唐山市三模唐山市三模)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，已，已知知S721，S11121，則該數(shù)列的公差，則該數(shù)列的公差d()A5 B4 C3 D2(2)(2012江西卷江西卷)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則，則a5b5_.解析解析：(1)依

9、題意有依題意有7a121d21,11a155d121，解解得得a19，d4.故選故選B.(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為的公差分別為d，b，則由，則由a3b321，得，得a1b12(bd)21，即，即2(bd)21714，bd7.a5b5a1b14(bd)74735.答案：答案：(1)B(2)35考點二考點二等差數(shù)列性質(zhì)的運用等差數(shù)列性質(zhì)的運用【例【例2】(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a4a6a8a10a12120，則，則2a10a12的值為的值為_ (2)已知數(shù)列已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若a42a6a812，則該，則該數(shù)列前數(shù)列前11項的和為項的和為_解

10、析：解析：(1)a4a12a6a102a8，由由a4a6a8a10a12120得得5a8120，a824，于是，于是2a10a122(a82d)(a84d)a824.(2)由由a42a6a812，得得4a612，a63.S11 11333.答案答案：(1)24(2)33111112aa611 22a變式探究變式探究2(1)(2012汕頭市教學(xué)質(zhì)量測評汕頭市教學(xué)質(zhì)量測評)已知正項組成的等差數(shù)已知正項組成的等差數(shù)列列an的前的前20項的和為項的和為100，那么，那么a6a15的最大值為的最大值為()A25 B50 C100 D. 不存在不存在(2)(2012凱里市二模凱里市二模)等差數(shù)列等差數(shù)列a

11、n中，中，an0，且，且a1a2a1a4a2a5a4a536，則，則a3_.點評：點評：本題根據(jù)題設(shè)條件巧妙運用了等差數(shù)列的下標(biāo)和本題根據(jù)題設(shè)條件巧妙運用了等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，通項公式的變式，使解答過程很簡捷性質(zhì)，通項公式的變式，使解答過程很簡捷考點三考點三求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n項和的各種方法項和的各種方法【例【例3】(1)已知已知an為等差數(shù)列，前為等差數(shù)列，前10項的和項的和S10100，前前100項的和項的和S10010，求前，求前110項的和項的和S110.(2)數(shù)列數(shù)列an中，中，a18，a42，且滿足，且滿足an22an1an0，nN*.求數(shù)列求數(shù)列an的通項；的通項；設(shè)設(shè)S

12、n|a1|a2|an|，求，求Sn.思路點撥：思路點撥：對于題對于題(1)，常用的思路有三條思路一：運，常用的思路有三條思路一：運用方程的思想，將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項用方程的思想，將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項a1與公差與公差d的兩個方程；思路二：運用前的兩個方程；思路二：運用前n項和公式項和公式 SnAn2Bn去求去求(先求出待定系數(shù)先求出待定系數(shù)A，B)；思路三：巧妙運用前；思路三：巧妙運用前n項和、等差數(shù)項和、等差數(shù)列的性質(zhì)列的性質(zhì)(下標(biāo)和的性質(zhì)下標(biāo)和的性質(zhì))，可化繁為簡，可化繁為簡對于題對于題(2)，易知，易知an為等差數(shù)列，先求出通項為等差數(shù)列，先求出通項an，然后再，然

13、后再由通項由通項an判斷哪些項為正，哪些項為負(fù)，進而可將判斷哪些項為正，哪些項為負(fù)，進而可將 的絕對的絕對值符號去掉，將求數(shù)列值符號去掉，將求數(shù)列 的前的前n項和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列項和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列 的的前前n項和的問題項和的問題nan|a | na(2)由由an22an1an0，得得2an1anan2，an1anan2an1，所以數(shù)列所以數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，d 2，an2n10，nN*.4141aa點評：點評：(1)解決等差解決等差(比比)數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：法：基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和和d(q)的方程；的

14、方程；巧妙運用等差巧妙運用等差(比比)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)(如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)的性質(zhì)、和的性質(zhì))，可化繁為簡，可化繁為簡(2)數(shù)列數(shù)列 求和問題先由求和問題先由an的正負(fù)去掉絕對值符號，的正負(fù)去掉絕對值符號，然后分類討論轉(zhuǎn)化成然后分類討論轉(zhuǎn)化成an的求和問題的求和問題n|a |變式探究變式探究3(1)(2012海南嘉積中學(xué)期末海南嘉積中學(xué)期末)等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項公式為的通項公式為an2n1，其前，其前n項和為項和為Sn，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前10項和為項和為()A. 70 B. 75 C. 100 D. 120(2)(2012南昌市調(diào)研南昌市

15、調(diào)研)等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是數(shù)列的前是數(shù)列的前n項的和，則下列正確的是項的和，則下列正確的是 ()AS1，S2，S3均小于均小于0, S4，S5，S6，均大于均大于0 BS1，S2，S5均小于均小于0, S6，S7，均大于均大于0CS1，S2，S9均小于均小于0, S10，S11，均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13，均大于均大于0nSn解析：解析：(1)等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項公式為的通項公式為an2n1，Snn22n. n2，3451275.故選故選B.nSn答案：答案：(1)B(2)C考點四考點四等差數(shù)列的證明等差數(shù)列的證

16、明點評：點評：判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：(1)定義法：定義法：an1and(常數(shù)常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列(2)中項公式法：中項公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)是等差數(shù)列列(3)通項公式法：通項公式法：anknb(k，b是常數(shù)是常數(shù))(nN*)an是等是等差數(shù)列差數(shù)列(4)前前n項和公式法：項和公式法：SnAn2Bn(A，B是常數(shù)是常數(shù))(nN*) an是等差數(shù)列是等差數(shù)列變式探究變式探究考點五考點五等差數(shù)列中的最值問題等差數(shù)列中的最值問題【例【例5】(2012北京市東城區(qū)期末北京市東城區(qū)期末)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，

17、若中，若a5a74，a6a82，則數(shù)列，則數(shù)列an的公差等于的公差等于_；其前；其前n項和項和Sn的最大值為的最大值為_(法三法三)將已知兩式相減，得將已知兩式相減，得2d4(2)，d3，又由中項公式得又由中項公式得a620，a710，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性知，該數(shù)列的前性知，該數(shù)列的前6項都大于項都大于0，從第，從第7項起都是負(fù)值，項起都是負(fù)值，前前6項和最大，又可得項和最大，又可得a117，S6 57. 1662aa點評：點評：由于公差不等于零的等差數(shù)列不是單調(diào)遞增的就由于公差不等于零的等差數(shù)列不是單調(diào)遞增的就是單調(diào)遞減的，求其前是單調(diào)遞減的，求其前n項和項和Sn的最值時

18、，可以建立的最值時，可以建立Sn關(guān)于項關(guān)于項數(shù)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系，用二次函數(shù)的方法求解，如法一；也可以通的函數(shù)關(guān)系，用二次函數(shù)的方法求解，如法一；也可以通過數(shù)列中的項的正負(fù)變化過數(shù)列中的項的正負(fù)變化(也要考慮可能等于零的項也要考慮可能等于零的項)確定何時確定何時Sn取得最值，如法二、法三取得最值，如法二、法三變式探究變式探究5. (2012廈門市模擬廈門市模擬)設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項和為項和為Sn，若，若S410，S515，則，則a4的最大值為的最大值為_考點六考點六與等差數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新問題與等差數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新問題變式探究變式探究6(2012上海五校聯(lián)合調(diào)研上海五校聯(lián)合調(diào)研)對于實數(shù)對于

19、實數(shù)x，用，用x表示不超表示不超過過x的最大整數(shù)，如的最大整數(shù)，如0.980，1.21.若若nN*，an ，Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和，則項和，則S4n等于等于()A2n2n B2n22n C2n2n D2n22n4n解析：解析：當(dāng)當(dāng)n1,2,3時，數(shù)列的前時，數(shù)列的前3項都為項都為0；當(dāng)；當(dāng)n4,5,6,7時，時，數(shù)列的第數(shù)列的第4到第到第7項都為項都為1；當(dāng)；當(dāng)n8,9,10,11時，數(shù)列的第時，數(shù)列的第8到第到第11項都為項都為2；以此類推，；以此類推，a4n4a4n3a4n2a4n1n1，a4nn，S4n30412(n1)n，即，即S4n2n2n.故選故選A.答案：答案：A課時

20、升華課時升華 1理解等差數(shù)列的定義與特征確定等差數(shù)列通項、前理解等差數(shù)列的定義與特征確定等差數(shù)列通項、前n項和解析式的關(guān)鍵是確定首項項和解析式的關(guān)鍵是確定首項a1和公差和公差d. 2通項的拓展：通項的拓展：anam(nm)d. 3等差數(shù)列中的巧妙設(shè)元：三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為等差數(shù)列中的巧妙設(shè)元：三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為ad，a，ad；四個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為；四個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d.4等差數(shù)列等差數(shù)列an中，若能靈活運用以下性質(zhì)中，若能靈活運用以下性質(zhì)(即下標(biāo)和性即下標(biāo)和性質(zhì)質(zhì))：“若若pqmn，則有，則有apaqaman；若；若2mpq，則有則有2amapaq(p，q，

21、m，nN*)”，可使解題過程簡潔明，可使解題過程簡潔明快快5方程思想的應(yīng)用：利用公式列方程方程思想的應(yīng)用：利用公式列方程(組組)，解決，解決“知三求知三求二二”(即知道即知道an，a1，n，d，Sn這五個量中的任意三個就可以求這五個量中的任意三個就可以求出其余的兩個出其余的兩個)問題，要求選用公式要恰當(dāng)問題，要求選用公式要恰當(dāng)特別要注意運用函數(shù)、方程的觀點和方法，揭示等差數(shù)列特別要注意運用函數(shù)、方程的觀點和方法，揭示等差數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系的特征及基本量之間的關(guān)系.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2(2012湖北卷湖北卷)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an前三項的和為前三項的和為3，前

22、，前三項的積為三項的積為8.(1)求等差數(shù)列求等差數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前的前n項和項和所以由等差數(shù)列通項公式可得所以由等差數(shù)列通項公式可得an23(n1)3n5或或an43(n1)3n7.故故an3n5或或an3n7.記數(shù)列記數(shù)列|an|的前的前n項和為項和為Sn.當(dāng)當(dāng)n1時，時，S1|a1|4；當(dāng)當(dāng)n2時，時，S2|a1|a2|5；當(dāng)當(dāng)n3時，時，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)高考預(yù)測高考預(yù)測1已知已知an為等差數(shù)列，其公差為為等差數(shù)列，其公差為2，且，且a7是是a3與與a9的的等比中項，等比中項，Sn為為an的前的前n項和，項和，nN*，則，則S10的值為的值為()A110 B. 90 C. 90 D. 110解析：解析：a7是是a3 與與a9的等比中項，公差為的等比中項，公差為2，所以，所以 a3a9，所以，所以 (a78)(a74)，解得，解得 a78，所以，所以a120，所以所以S10102010 (2)110.故選故選D.答案：答案：D27a27a92