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1、 課程目標 1雙基目標 1理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運算的性質(zhì)，會運用上述知識熟練地進行空間向量的運算 2理解共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理，會用所學知識解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題 3掌握空間的向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運算律，會用它解決立體幾何中的簡單問題 4理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算，會判斷兩個向量平行或垂直；掌握兩個向量的夾角公式和向量長度的坐標計算公式，并會用這些公式解決有關(guān)問題 5理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系 6能用向量方法證明有關(guān)線
2、、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)，能夠用向量方法解決線線、線面、面面的夾角及距離問題 7在運用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題中，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力 2情感目標 讓學生經(jīng)歷由平面向量向空間向量推廣的過程，感悟運算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用，感受理性思維的力量，提高學生的數(shù)學素養(yǎng) 重點難點 本章重點：空間向量及其運算，以空間向量為工具通過空間向量的運算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個平面的平行和垂直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間點到平面的距離 本章難點：用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行
3、關(guān)系，能用向量方法證明有關(guān)線、面關(guān)系的一些定理，并能解決線線、線面、面面的夾角及距離的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用 學法探究 空間向量與平面向量沒有本質(zhì)區(qū)別，都是表示具有大小和方向的量，它們的運算：加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積也完全相同因此，利用空間向量解決立體幾何問題，也是先利用空間向量表示空間點、直線、平面等元素，建立立體幾何與空間向量的聯(lián)系，進行空間向量的運算；作出運算結(jié)果的幾何解釋，進而得出幾何結(jié)論。在學習過程中，我們要注意空間向量與平面向量的類比，體會空間向量在立體幾何中的作用 31空間向量及其運算空間向量及其運算 1知識與技能 通過本節(jié)的學習，理解向量的概念掌握空間向量
4、的加法、減法和數(shù)乘運算 2過程與方法 通過與平面向量的類比、學習空間向量的運算，探究它們的共同與不同之處 3情感態(tài)度與價值觀 激發(fā)學生善于發(fā)現(xiàn)，勇于探索的精神 重點：向量的概念及其運算 難點：向量的運算 1空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運算律與平面向量類似，這些運算不但適合中學里的代數(shù)運算律，而且有很多性質(zhì)與實數(shù)性質(zhì)完全相同 空間任意兩個向量都可以(通過平移)轉(zhuǎn)化為平面向量，兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立 此即為空間向量和的多邊形法則 用折線作向量的和時，有可能折線的終點恰恰重合到起點上，這時的和向量就為零向量 3空間向量的加法和數(shù)乘向量運算與平面向量一樣，滿足如下運算律
5、(1)加法交換律：abba； (2)加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)； (3)分配律：()aaa，(ab)ab. 1. 在空間，具有_的量叫做向量 2同向且等長的有向線段表示_ 3表示向量a的有向線段的長度叫做向量的_，記作|a|. 4有向線段所在的直線叫做_ 5如果空間向量的基線互相平行或重合，則這些向量叫做_，a平行于b，記作_ 6 空 間 向 量 的 加 法 與 數(shù) 乘 向 量 滿 足_以及數(shù)乘分配律 答案1.大小和方向 2同一向量或相等的向量 3長度或模 4向量的基線 5共線向量或平行向量ab 6加法交換律、結(jié)合律 例1給出以下命題： 若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp. 若a
6、0，則0或a0. 若空間向量a，b，c滿足ab，bc，則ac. 其中正確命題的序號是_ 解析正確mn， m與n的長度相等，方向相同 又np，n與p的長度相等，方向相同， m與p的長度相等，方向相同，即mp. 正確由數(shù)乘向量的定義知 |a|a|0|， |a|0，|0或|a|0， 即0或a0. 錯誤0與任何空間向量平行， a0，0c，但a與c有可能不平行 所以正確 答案 說明數(shù)學概念是數(shù)學體系的基礎(chǔ)，準確掌握數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延是進一步學好數(shù)學的前提，空間向量的相關(guān)概念也是如此熟練掌握空間向量的有關(guān)概念是解決這類問題的關(guān)鍵 給出以下命題： 零向量無方向； (a)()a； a，b，c為空間向量，則有
7、|abc|a|b|c|. 其中命題正確的序號為_ 答案 例2如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是上底面A1C1的中心，化簡下列向量表達式， 并在圖中標出化簡結(jié)果的向量 分析由加法法則直接化簡 說明化簡向量表達式一定要觀察立體圖形，運用向量的三角形法則或平行四邊形法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決 已知正方體ABCDABCD的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有() 答案C 解析如圖所示 分析要想用a、b、c表示出所給向量，只需結(jié)合圖形，充分運用空間向量的加法和數(shù)乘向量的運算律即可 解析如圖所示 說明用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關(guān)鍵 設(shè)四面體
8、ABCD的三條棱b，c，d.求四面體其他各棱，以及面BCD上的中線和向量，其中Q是三角形BCD的重心 例4如圖所示，ABCD ABCD中，點E是上底面ABCD的中心，求下列各式的x、y、z的值： 說明用不共面的向量表示空間的其他向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運算法則，包括加法的平行四邊形法則及加法、減法的三角形法則 例5給出下列命題： 兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同； 若空間向量a，b滿足|a|b|，是ab； 若向量a是向量b的相反向量，則|a|b|； 空間向量的減法滿足結(jié)合律； 在四邊形ABCD中，一定有； 在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有； 若空間向量m、n
9、、p滿足mn，np，則mp； 空間中任意兩個單位向量必相等 其中正確的命題序號為_ 誤解 辨析根據(jù)空間向量的基本概念，加、減法和數(shù)乘運算法則，以及性質(zhì)判斷 正解根據(jù)向量的平移知錯誤； 向量的模相等，只是表示空間向量的有向線段長度相等，而體現(xiàn)不出方向間關(guān)系，故錯誤； a，b是相反向量，則ab，|a|b|，正確； 向量只定義加法且有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律，錯誤； 一般的四邊形不具有，只有平行四邊形才能成立錯誤； 顯然正確； 空間中任意兩個單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故錯 答案 一、選擇題 1空間四邊形ABCD中() AabcBcab Cabc Dbac 答案B 2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，與向量相等的向量共有() A1個B2個 C3個D4個 答案C 3空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，則下列各式中成立的是() 答案B 三、解答題 6已知ABCD為正方形，P是ABCD所成平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值：
高中數(shù)學 311空間向量的線性運算課件 新人教B版選修21
