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1、
§5.3 Lindeloff空間
本節(jié)重點(diǎn):
掌握Lindeloff空間的定義；
掌握Lindeloff空間與第一(二)可數(shù)性公理空間、可分空間的關(guān)系；
掌握Lindeloff空間的遺傳性、關(guān)于連續(xù)映射的是否可保持性．
我們先引進(jìn)一些術(shù)語．
定義5.3.1 設(shè)A*是一個(gè)集族，B是一個(gè)集合．如果則稱集族A*是集合B的一個(gè)覆蓋，并且當(dāng)A*是可數(shù)族或有限族時(shí)，分別稱集族A*是集合B的一個(gè)可數(shù)覆蓋或有限覆蓋．
設(shè)集族A是集合B的一個(gè)覆蓋．如果集族A的一個(gè)子族也是集合B的覆蓋，則稱集族是覆蓋A（關(guān)于集合B）的一個(gè)子覆蓋．
設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果由X中
2、開（閉）子集構(gòu)成的集族A是X的子集B的一個(gè)覆蓋，則稱集族A是集合B的一個(gè)開（閉）覆蓋．
在數(shù)學(xué)分析中讀者所熟知的Heine－Borel定理告訴我們：實(shí)數(shù)空間R的子集A是一個(gè)有界閉集當(dāng)且僅當(dāng)A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋．因而具有“每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋”的拓?fù)淇臻g自有其重要性．對(duì)于這類拓?fù)淇臻g我們將要在第七章中稱之為“緊致空間”并且用整章的篇幅加以討論．但是另一方面，正如所知，連實(shí)數(shù)空間本身都不能包容在這類拓?fù)淇臻g之中．這使我們有必要放松一點(diǎn)限制．
定義5.3.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)Lindeloff空間．
包
3、含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不是一個(gè)Lindeloff空間．這是因?yàn)檫@個(gè)拓?fù)淇臻g中的所有單點(diǎn)子集構(gòu)成它的一個(gè)開覆蓋，這個(gè)開覆蓋沒有任何可數(shù)子覆蓋．
定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都是Lindeloff空間．
證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個(gè)可數(shù)基．
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設(shè)A是X的一個(gè)開覆蓋(注意,證這類問題的開頭)．對(duì)于每一個(gè)A∈A，由于A是一個(gè)開集，所以存在，使得AB令由于是B的一個(gè)子族，所以是一個(gè)可數(shù)族．并且
這就是說，也是X的一個(gè)覆蓋．如果B∈，則存在A∈A使得B∈，因此BA．于是對(duì)于每一個(gè)B∈；我們可
4、以選定某一個(gè)記，它是A的一個(gè)子族，并且
所以是A的一個(gè)子覆蓋．此外由于是可數(shù)的，所以也是可數(shù)的．于是開覆蓋A有一個(gè)可數(shù)子覆蓋．這證明X是一個(gè)Lindefoff空間．
推論5.3.2 滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個(gè)子空間都是Lindeloff空間．
特別，n維歐氏空間的每一個(gè)子空間都是Lindeloff空間．
例5.3.1，定理5.3.1和推論5.3.2的逆命題都不成立．
考慮包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間X．例5.1.1中已經(jīng)指出它不滿足第一可數(shù)性公理，所以它也不滿足第二可數(shù)性公理．
以下證明它是一個(gè)Lindeloff空間．設(shè)A是它的一個(gè)開覆蓋．
5、任意在A中取定一個(gè)非空集合A．對(duì)于每一個(gè)x∈在A中選取一個(gè)是一個(gè)可數(shù)集，所以A的子族也是可數(shù)的，易見它也覆蓋X．因此，包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間是定理5.3.1的逆命題不成立的例子．
也不難證明X的每一個(gè)子空間都是Lindefoff空間．（請(qǐng)讀者自補(bǔ)證明）因此，包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間也是推論5.3.2的逆命題不成立的例子．
定理5.3.3 每一個(gè)Lindeloff的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理．
證明 設(shè)（X，d）是一個(gè)Lindeloff的度量空間．
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對(duì)于每一個(gè)k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一個(gè)開覆蓋．由于X是一個(gè)Lindel
6、off空間，所以有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，設(shè)為,從而開集族是一個(gè)可數(shù)族．以下證明它是X的一個(gè)基．
x∈X和x的任何一個(gè)鄰域U，令k為任何一個(gè)大于2/ε的正數(shù)．由于 是X的一個(gè)覆蓋，
根據(jù)定理2.6.2可見B是X的一個(gè)基．因此X滿足第二可數(shù)性公理．
例5.3.2 Lindeloff 空間的子空間可以不是Lindeloff空間的例子．
設(shè)X是一個(gè)不可數(shù)集，z∈X．令=X-{z}，
T 是一個(gè)可數(shù)集}
容易驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌ㄕ?qǐng)讀者自己驗(yàn)證．）
拓?fù)淇臻g（X，T)是一個(gè)Lindeloff空間．因?yàn)槿绻鸄是X的一個(gè)開覆蓋，則存在A∈A使得z∈A．于
7、是是一個(gè)可數(shù)集．對(duì)于每一個(gè)x∈，選取∈A使得x∈．易見是A的一個(gè)可數(shù)子覆蓋．
另外，容易驗(yàn)證T ．這也就是說作為X的子空間是一個(gè)包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間．所以不是一個(gè)Lindeloff空間．
此外，兩個(gè)Lindeloff空間的積空間也可以不是Lindeloff空間．有關(guān)的例子可見習(xí)題第4題．
盡管Lindeloff性質(zhì)不可遺傳，但它對(duì)于閉子空間卻是可遺傳的．我們證明：
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定理5.3.4 Lindeloff空間的每一個(gè)閉子空間都是Lindeloff空間．
證明 設(shè)Y是Lindeloff空間X的一個(gè)閉子空間，A是子空間Y的一個(gè)開覆蓋．則對(duì)于每一個(gè)A∈
8、A存在X中的一個(gè)開集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，設(shè)為（即使可以找到一個(gè)子覆蓋不包含，但添上一個(gè)元素也無何不可．）這時(shí)易見，{,…},其中
，便是A的一個(gè)（關(guān)于子空間Y的）可數(shù)子覆蓋．
定理5.3.5 設(shè)拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子空間都是Lindeloff空間．如果AX是一個(gè)不可數(shù)集，則A中必定包含A的某一個(gè)凝聚點(diǎn)，即 ．
特別，如果X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，則X的每一個(gè)不可數(shù)子集A中都包含著A的某一個(gè)凝聚點(diǎn)．
證明 設(shè)AX是一個(gè)不可數(shù)集．如果A中沒有A的凝聚點(diǎn)，則對(duì)于每一個(gè)a∈A，存在a在X中的一個(gè)鄰域，這說明單點(diǎn)集{a
9、}是子空間A中的一個(gè)開集．從而子空間A便是一個(gè)包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間，它必然不是一個(gè)Linde1off空間，這與定理的條件矛盾．
我們將本章中討論過的各類拓?fù)淇臻g之間的關(guān)系列為圖表
作業(yè):
P149 1．
本章總結(jié)：
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?。?），Lindeloff空間是重點(diǎn)．
?。?）掌握，Lindeloff，可分是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的性質(zhì)．
?。?）掌握這些空間之間的關(guān)系（上述關(guān)系圖）．
?。?）掌握空間中序列的性質(zhì)及定理5.1.8的內(nèi)容與作用．
（注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝!）
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