層次分析法 論文

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1、歐洲五大足球俱樂(lè)部的數(shù)學(xué)建模分析論文 統(tǒng)計(jì)學(xué) 楊子清 101201010117 前言： 縱觀當(dāng)今歐洲足壇，風(fēng)起云涌，豪強(qiáng)并起。巴薩皇馬，稱雄西甲；德甲拜仁，一枝獨(dú)秀；藍(lán)黑軍團(tuán)國(guó)際米蘭，逐鹿意甲之天下；英超一霸切爾西，竟然也能在高手如林的歐冠賽場(chǎng)捧杯。歐洲的足球水平為何如此之高？五大豪強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)又帶給了我們什么樣的啟示呢？這便是本文要探討的問(wèn)題。本文引用了數(shù)學(xué)建模的思想，采用了層次分析法對(duì)歐洲五大足球俱樂(lè)部的綜合實(shí)力進(jìn)行理性而深入的分析。所謂數(shù)學(xué)建模，就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的某一特定現(xiàn)象，為了某一特定的目的，做的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而層次分析法，是建模中常用的方法之一。通過(guò)層

2、與層之間的對(duì)比分析，得出實(shí)際問(wèn)題中的某些結(jié)論。 本文所研究的問(wèn)題是關(guān)于五大足球俱樂(lè)部的綜合實(shí)力排名情況。現(xiàn)實(shí)的足球世界中，影響一支球隊(duì)的綜合能力有許多。例如進(jìn)攻能力、防守能力、球員能力、 教練的執(zhí)教能力、裁判的執(zhí)法能力等。這些因素都是對(duì)于一支的球隊(duì)綜合實(shí)力有著或多或少的影響。但他們各自的權(quán)重并不一樣，所以，如何篩選這些因素是本文分析的關(guān)鍵所在。 眾所周知，當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立之后，還不能馬上用于實(shí)際分析，必須對(duì)模型做進(jìn)一步的檢驗(yàn)。由于本文數(shù)據(jù)分析過(guò)程較為繁瑣，所以檢驗(yàn)部分并非人工完成，而是運(yùn)用電腦軟件R來(lái)完成的。采用了Satty的檢驗(yàn)方法對(duì)模型進(jìn)行分析，使模型分析的可信度大大提高。

3、 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型、層次分析法、歐洲足球 一、 數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程： 如下圖所示 實(shí)際問(wèn)題 抽象、簡(jiǎn)化假設(shè)、設(shè)定參數(shù)、變量 數(shù)學(xué)建模 模型求解 參數(shù)估計(jì) 模型檢驗(yàn) 符合否? 模型應(yīng)用 圖1：數(shù)學(xué)建?；玖鞒虉D 層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。這一方法的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜決策問(wèn)題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后, 構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型, 然后利用較少的定量信息, 把決策的思維過(guò)程數(shù)學(xué)化

4、, 從而為求解多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無(wú)結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問(wèn)題提供一種簡(jiǎn)便的決策方法 , 尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對(duì)決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場(chǎng)合。 二、問(wèn)題重述 本文將對(duì)歐洲五大足球俱樂(lè)部（巴塞羅那、皇家馬德里、國(guó)際米蘭、切爾西、拜仁慕尼黑）的綜合實(shí)力進(jìn)行分析。利用層次分析法，把問(wèn)題分成三個(gè)層次，即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層。其基本思想是：通過(guò)準(zhǔn)則層各因素對(duì)目標(biāo)層的重要程度比較的量化，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，得出前述的各權(quán)系數(shù)。 三、問(wèn)題分析 首先本文的研究目的是為了評(píng)價(jià)歐洲五大球隊(duì)（巴薩、皇馬、拜仁、國(guó)米、切爾西）的綜合實(shí)力。對(duì)于一支球隊(duì)來(lái)說(shuō)，球員是組成球隊(duì)的重要部分，因此，球員能力高

5、低將直接影響球隊(duì)的實(shí)力。 其次，球隊(duì)在比賽的過(guò)程中是通過(guò)進(jìn)球來(lái)獲得比賽的勝利的，而要想進(jìn)球，就要攻破對(duì)手的防線，所以進(jìn)攻能力也是綜合實(shí)力的體現(xiàn)。 最后，球隊(duì)的防守的效果，是決定球隊(duì)立于不敗之地的關(guān)鍵所在，也是球隊(duì)綜合實(shí)力的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。 四、 做出假設(shè)，畫出層次分析圖 基于以上的分析： 1、 假設(shè)球隊(duì)的綜合實(shí)力主要體現(xiàn)在自身的進(jìn)攻實(shí)力、防守實(shí)力已經(jīng)球員能力。 2、 假設(shè)影響一支球隊(duì)獲勝的其他因素均視為隨機(jī)誤差。 3、 假設(shè)足球比賽中獲勝、平局、落敗的概率相等（沒(méi)有暗箱操作）。 故層次分析圖如下所示： 五支歐洲俱樂(lè)部足球隊(duì)綜合實(shí)力A 的綜合實(shí)力 進(jìn)攻指數(shù) B1 防守指數(shù)

6、 B2 球員身價(jià)總值 B3 巴 薩 C1 皇 馬 C2 拜 仁 C3 國(guó) 米 C4 切爾西C5 圖2：層次分析圖 五、方案說(shuō)明 1、符號(hào)說(shuō)明： 表1：符號(hào)說(shuō)明圖 Ａ 五支球隊(duì)的綜合實(shí)力 B1 進(jìn)攻指數(shù) B2 防守指數(shù) B3 球員的身價(jià)總值 C1 巴薩羅那 C2 皇家馬德里 C3 拜仁慕尼黑 C4 國(guó)際米蘭 C5 切爾西 六、 兩兩比較、建立判別矩陣 構(gòu)建層次分析結(jié)構(gòu)之后，將問(wèn)題歸結(jié)為各支俱樂(lè)部球隊(duì)三個(gè)體現(xiàn)綜合實(shí)力的指標(biāo)進(jìn)行排序。所以，我們要在各層中對(duì)元素進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)建判別矩陣。層次分析法主要是

7、人們對(duì)每一層次中各因素相對(duì)重要性給出的判斷, 這些判斷通過(guò)引入合適的標(biāo)度, 用數(shù)值表示出來(lái), 寫成判斷矩陣。判別矩陣表示針對(duì)上一層次因素, 本層次與之有關(guān)因素之間的相對(duì)重要性的比較。 因此，首先判斷B1、B2、B3對(duì)于A的重要性。眾所周知，每一支球隊(duì)都是由每一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員組成的。所以，球隊(duì)實(shí)力的體現(xiàn)最重要的部分，應(yīng)該是球員的身價(jià)總值；其次，評(píng)價(jià)一支球隊(duì)的強(qiáng)弱，應(yīng)該看球隊(duì)的進(jìn)攻能力，倘若一支球隊(duì)進(jìn)球多，那么它獲勝的可能性也就比較大：同樣球隊(duì)的防守能力也很重要，只要簡(jiǎn)單地設(shè)想一下就知道，如果這支球隊(duì)失球數(shù)越少，那么它獲勝的可能性也就大。 接著就是確定各元素的權(quán)重，考慮都各元素對(duì)目標(biāo)元素的影響，

8、可用下表數(shù)值表示： 表2：權(quán)重的對(duì)應(yīng)的數(shù)值 Xi/Xj 相等 較強(qiáng) 強(qiáng) 很強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng) aij 1 3 5 7 9 若介于上述二者之間，則取2、4、6、8，由此得到的矩陣A為正互反矩陣。 依據(jù)上文的分析，球員身價(jià)的權(quán)重應(yīng)該是最大的。其次是球隊(duì)的進(jìn)攻指數(shù)。權(quán)重最小的應(yīng)該是防守指數(shù)。所以，基于上表的數(shù)據(jù)，我們確定A-B矩陣為： A B1 B2 B3 B1 1 3 1 /3 B2 1/3 1 1/5 B3 3 5 1 各球隊(duì)數(shù)據(jù)如下，通過(guò)對(duì)一下數(shù)據(jù)的粗步分析: 表3：五支球隊(duì)的具體數(shù)據(jù) 巴薩羅那的進(jìn)球數(shù)（主要指標(biāo)）最多，傳球成功

9、率也最高，其次是拜仁、皇馬、國(guó)米、切爾西。失球數(shù)最多的是巴薩和國(guó)米，其次是皇馬和切爾西、最后是拜仁。所以我們可以做出如下矩陣：B1-C B1 C1 C2 C3 C4 C5 C1 1 3 2 4 5 C2 1/3 1 1/2 2 3 C3 1/2 3 1 3 4 C4 1/4 1/2 1/2 1 2 C5 1/5 1/3 1/4 1/2 1 從數(shù)據(jù)上看，巴薩和國(guó)米失球最多，17場(chǎng)比賽共失球19個(gè)，其次是皇馬和切爾西，共失球17個(gè)，而拜仁失球最少，只有7個(gè)。以此建立B2-C矩陣為： B2-C B2 C1 C2 C3

10、 C4 C5 C1 1 1/3 1/5 1 1/3 C2 3 1 1/3 3 1 C3 5 3 1 5 3 C4 1 1/3 1/5 1 1/3 C5 3 5 1/3 3 1 從體育網(wǎng)站上獲得的數(shù)據(jù)：目前，各支球員身價(jià)總值為（歐元）：巴薩5.4 億、皇馬5.245億、國(guó)米3.6725億、切爾西3.62億、拜仁3.031億。所以B3-C矩陣： B3 C1 C2 C3 C4 C5 C1 1 3 9 5 7 C2 1/3 1 7 3 5 C3 1/9 1/7 1 1/5 1/3

11、 C4 1/5 1/3 5 1 3 C5 1/7 1/5 3 1/3 1 七、一致性檢驗(yàn) 對(duì)于判別矩陣的一致性檢驗(yàn)，本文采用Saaty提出的平均隨機(jī)一致性檢。若某矩陣為一致性矩陣，其最大特征根為n，其余特征根為0。通常用CI來(lái)衡量一致性。如果CI越小，則一致性越好。但這種方法用缺陷，所以，Saaty提出平均隨機(jī)，引入了RI概念，并用CR=CI/RI來(lái)衡量矩陣的一致性，當(dāng)CR<0.1時(shí)，則認(rèn)為矩陣有較滿意的一致性。其中： 注：Satty給出的RI標(biāo)準(zhǔn)為 N 1 2 3 4 5 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 運(yùn)用R軟

12、件可以求的矩陣的特征值和特征向量。并可從中確定最大特征根，將其代入公式，就可以求的CR的取值。 運(yùn)用R軟件計(jì)算得： A-B矩陣的CR≈0.07<0.1,所以矩陣A通過(guò)一致性檢驗(yàn)。 B1-C矩陣的CR=2.232143e-0.8<0.1,∴B1-C也通過(guò)檢驗(yàn)。 B2-C矩陣的CR=0<0.1∴B2-C矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)。 B3-C矩陣的CR=-2.232143e-0.8<0.1∴B3-C矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)。 八、 模型的優(yōu)缺點(diǎn) 該模型主要運(yùn)用了層次分析法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其優(yōu)點(diǎn)是： 1、 通過(guò)層與層之間的對(duì)比分析，使讀者對(duì)于這五大足球俱樂(lè)部的綜合實(shí)力有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)(主要通過(guò)判別矩陣

13、)。 2、 從過(guò)層次分析法得到五支球隊(duì)的綜合實(shí)力評(píng)價(jià)，要比根據(jù)自己的主觀分析得都的綜合實(shí)力評(píng)價(jià)顯得客觀一些。 3、 通過(guò)建模分析實(shí)際問(wèn)題可以達(dá)到深入簡(jiǎn)出的效果。 其缺點(diǎn)是： 1、由于本人學(xué)藝不精，沒(méi)能完全掌握層次分析法的精髓，故在做一致性 別時(shí)沒(méi)能采用最好的方法。導(dǎo)致分析的結(jié)果與實(shí)際的結(jié)果有所不同。 2、判別矩陣中的各元素自己全是本人憑經(jīng)驗(yàn)臆測(cè)得出的。沒(méi)有經(jīng)過(guò)專業(yè)人士的認(rèn)證。所以得出的判別矩陣可能與真實(shí)的判別矩陣略有不同。 九、結(jié)論 基于模型本身，通過(guò)以上的分析可以得出最終的綜合實(shí)力排名情況為： 巴薩、拜仁、皇馬、切爾西、國(guó)米。在這五大俱樂(lè)部球隊(duì)中，巴薩羅那隊(duì)擁有豪華的球員陣

14、容，進(jìn)攻能力是五支球隊(duì)當(dāng)中最強(qiáng)的，但防守的能力比較弱；皇馬同樣擁有豪華的球員陣容，但進(jìn)攻能力稍弱，防守能力也稍弱（或許是因?yàn)檫@幾場(chǎng)比賽是狀態(tài)低迷的原因）；拜仁雖然沒(méi)有豪華的球員陣容，但進(jìn)攻能力比較強(qiáng)，而防守能力又是這五支球隊(duì)中最好的，歷來(lái)都是歐冠的一支勁旅。因此，個(gè)人認(rèn)為拜仁擁有很強(qiáng)的實(shí)力；國(guó)米最近幾場(chǎng)比賽中所體現(xiàn)的進(jìn)攻能力和防守能力都偏弱，可以說(shuō)球隊(duì)正處于下滑期，但就此判斷國(guó)米的真實(shí)實(shí)力為時(shí)尚早，再怎么說(shuō)，畢竟也是當(dāng)年叱咤綠茵場(chǎng)的米蘭雙雄中的一員；切爾西也是沒(méi)有豪華的球員陣容，所以進(jìn)攻能力偏弱是可以理解的，但切爾西的防守能力還是可以跟五大球隊(duì)抗衡的。2012年，切爾西正是憑借自己的防守能力擊敗各路豪強(qiáng)，奪得歐冠聯(lián)賽的冠軍。因此，切爾西的實(shí)力也不容小覷。 十、附錄 [1]、陳汝棟 于延榮 《數(shù)學(xué)某型與數(shù)學(xué)建?！?國(guó)防工業(yè)出版社 2009 [2]、王宗軍 《 綜合評(píng)價(jià)的方法、問(wèn)題及其研究趨勢(shì)理科學(xué)學(xué)報(bào)》 高等教育出版社 2009 [3]、李虎 《足球天下》 第五頻道出版社 2012 [4]、陶路 《歐洲五大聯(lián)賽球隊(duì)排行榜》 新浪體育 R軟件運(yùn)行結(jié)果如下： 圖3：A-B矩陣運(yùn)行結(jié)果 圖4：B1-C矩陣運(yùn)行結(jié)果 圖5：B2-C矩陣運(yùn)行結(jié)果 圖6：B3-C矩陣運(yùn)行結(jié)果 10