二重積分高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件PPT

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1、1I、 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)II、 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法二重積分二重積分2I I、二重積分的概念與性質(zhì)、二重積分的概念與性質(zhì) ),(yxfz D一、二重積分的概念一、二重積分的概念 1曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體，它的底是設(shè)有一立體，它的底是xOy面面上的閉區(qū)域上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以，它的側(cè)面是以D的的邊界為準(zhǔn)線而母線平行于邊界為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱軸的柱面，它的頂是曲面面，它的頂是曲面z=f (x，y)，這，這里里f (x，y)0且在且在D上連續(xù)（如上連續(xù)（如圖）。這種立體叫做曲頂柱體。圖）。這種立體叫做曲頂柱體。3步驟如下：步驟如下：（2

2、）近似：用小平頂）近似：用小平頂柱體體積之近似表示小柱體體積之近似表示小曲頂柱體的體積，曲頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii（1）分割：先分割曲頂柱）分割：先分割曲頂柱體的底，分成體的底，分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域 1, 2, n。.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積（3）求和）求和 niiiifV1),( （4）取極限）取極限 4設(shè)設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將區(qū)域任是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將區(qū)域任意分割成意分割成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域12,nii 其其中中表表示示第第 個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域, ,也也表表示示它它的的面面積積。 如果當(dāng)

3、各小區(qū)域直徑的最大值如果當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值 趨于零時(shí)，上趨于零時(shí)，上述和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)述和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在在閉區(qū)域閉區(qū)域D上的二重積分，記作上的二重積分，記作01( , )lim( ,)niiiDf x y df i i( , ),Df x y d 即即2二重積分的定義二重積分的定義 niiiiiiiffni1),(),(), 2 , 1(),( 并求和并求和，作積作積，任取任取5 niiiiDfdyxf10),(lim),( 注：注： 如果用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域如果用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域D，則除邊界上的一些小區(qū)域外其余小閉區(qū)域都

4、是小矩則除邊界上的一些小區(qū)域外其余小閉區(qū)域都是小矩形。形。dxdyd -直角坐標(biāo)系中的面積元素直角坐標(biāo)系中的面積元素 6 (2) 由定義由定義 ,),( DdxdyyxfV (3) 幾何意義幾何意義:3幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論f (x, ,y)在在D上可積上可積(1) 可積性可積性 f (x, ,y)在在D上連續(xù)上連續(xù) f (x,y)0時(shí)時(shí),二重積分表示曲頂柱體的體積的負(fù)值。二重積分表示曲頂柱體的體積的負(fù)值。 f (x，y)在在D上變號(hào)時(shí)，上變號(hào)時(shí)，二重積分表示曲頂柱體的二重積分表示曲頂柱體的體積的代數(shù)和。體積的代數(shù)和。f (x,y)0時(shí)時(shí),二重積分表示曲頂柱體的體積。二重積分表示曲頂柱體的體積。7二

5、、二、二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)(1)1DDdd(2) (關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若 、 為常為常數(shù)，則數(shù)，則( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d 表示表示D的面積的面積（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）1212,DDDDD 若若且且與與無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y d8(4)（積分不等式）如果在（積分不等式）如果在D上有上有f(x,y) g

6、(x,y) ,則則( , )( , )DDf x y dg x y d 特別地，有特別地，有( , )( , )DDf x y df x y d (5)（估值定理）設(shè)（估值定理）設(shè)M、m分別是分別是f(x,y)在有界閉在有界閉區(qū)域區(qū)域D上的最大值和最小值，上的最大值和最小值， 表示表示D的面積，的面積，則則( , )Dmf x y dM (6)（中值定理）設(shè)函數(shù)（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連上連續(xù)，續(xù)， 表示表示D的面積，則至少存在一點(diǎn)的面積，則至少存在一點(diǎn)( , )，使，使( , )( , )Df x y df 9 Ddyx 2)(的大小，其中的大小，其中與與

7、Ddyx 3)(D：x軸、軸、y軸及軸及x+y=1所圍所圍例例1 比較比較 xyo11解：解： 因?yàn)樵趨^(qū)域因?yàn)樵趨^(qū)域D上上 1123)()(DDdyxdyx。 0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)4，得，得10例例2 利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。1:,)14(2222 yxDdyxD 解解,cos ,sin (02 ),Dxy 在在 的的邊邊界界上上12222 14),( yxyxyxf因?yàn)橐驗(yàn)?fx=2x，fy=8y，所以有駐點(diǎn)所以有駐點(diǎn)(0,0) 。先求先求f (x,y)=x2+4y2+1在在D上上的最大值、最小值。的最大值、

8、最小值。 2sin32 1sin4cos22 )( xyof(0,0)=1。11 顯然，在邊界上顯然，在邊界上f(x,y)的最小的最小值為值為2，最大值，最大值5。 Ddyx 5)14(22 于是于是f (x,y)在在D上的最小值為上的最小值為1，最大值為最大值為5，積分區(qū)域的面積為，積分區(qū)域的面積為 。所以有所以有xyo 2sin32,( yxf)( 12IIII、二重積分的計(jì)算、二重積分的計(jì)算)(2xy abD)(1xy 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 1、第一種情況：、第一種情況： bxaxyxD)()(:21 .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfd

9、xdyxf X型區(qū)域：型區(qū)域： 13.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf )(2yx )(1yx Dcd2、第二種情況：、第二種情況： dycyxyD)()(:21 143、其它：分割成若干個(gè)、其它：分割成若干個(gè)X型或型或Y型區(qū)域。型區(qū)域。 若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.yox2D3D1D15二重積分計(jì)算的步驟：二重積分計(jì)算的步驟： (1) 畫(huà)積分區(qū)域的草圖；畫(huà)積分區(qū)域的草圖； (2) 選定積分順序；選定積分順序； (3) 定出積分上下限；定出積分上下限； (4)

10、計(jì)算定積分。計(jì)算定積分。典型題型典型題型1、計(jì)算二重積分、計(jì)算二重積分 通常要依被積函數(shù)及積分區(qū)域兩方面的情通常要依被積函數(shù)及積分區(qū)域兩方面的情況選定積分順序。況選定積分順序。16例例1. 計(jì)算計(jì)算, Ddyx 其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2及直線及直線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解 首先畫(huà)出積分區(qū)域首先畫(huà)出積分區(qū)域D的圖形。的圖形。 O 1 x- 221 y(1，1)(4 ,-2)1D2D,21DDD (1) 如先積如先積y后積后積x，則有則有 ,10:1xxyxD 。412:2xxyxD17O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)1D2D Dxyd dxxydx

11、xx 241210210 xxxydydx10 xxxydydx241 4123)45(21dxxxx。845 21DDxydxyd 18O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)D(2) 如先積如先積x后積后積y，則有則有 yyxydxdyI2122 125324421dyyyyy1263326434221 yyyy。845 dyyyy4212)2(2 19D例例2解解圍成圍成由由其中其中計(jì)算計(jì)算2,1,.22 xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD20 dyey2無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)

12、法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 212、交換積分順序、交換積分順序由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出D的不等式的不等式表示并畫(huà)出積分區(qū)域的草圖表示并畫(huà)出積分區(qū)域的草圖由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。 例例4 交換以下積分的積分順序交換以下積分的積分順序 yydxyxfdyI),()1(101110(1)( , )yyIdyf x y dx 解解 xxdyyxfdx2),(101yxxy xy 2

13、2ln210(2)( , )exIdxf x y dy 120( , )yeeIdyf x y dx 23 xxdyyydxsin510計(jì)算計(jì)算例例解解 積分區(qū)域如圖所示。積分區(qū)域如圖所示。應(yīng)先積應(yīng)先積x，后積后積y yydxyydy2sin10 102)(sindyyyyy 1010coscos1cos1ydyyy。1sin1 1010sinsinydyyydy DdyyI sin1yxyx 2yx 24注：有關(guān)二重積分的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用注：有關(guān)二重積分的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),( ,),(2),(),( , 0),(1yxfyxfdyxfyxfyxfdyxfDD (1). 若若

14、D關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即當(dāng)軸對(duì)稱(chēng)，即當(dāng)(x，y)D時(shí)，時(shí)， 必有必有(x，y) D，則，則其中其中D1是是D的右半?yún)^(qū)域的右半?yún)^(qū)域 (2)若若D關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則軸對(duì)稱(chēng)，則 ),(),( ,),(2),(),( , 0),(1yxfyxfdyxfyxfyxfdyxfDD若若若若 D1是是D的上半部分區(qū)域的上半部分區(qū)域 25dxdyyxID 9636計(jì)算計(jì)算例例),(222RyxyxD 解：解： 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性D關(guān)于關(guān)于x軸，軸，y軸對(duì)稱(chēng)，于是有軸對(duì)稱(chēng)，于是有0 dxdyxD0 dxdyyDdxdyydxdydxdyxIDDD 96329 R 26二、二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算

15、二重積分 1、極坐標(biāo)系下的二重積分的形式、極坐標(biāo)系下的二重積分的形式我們用下面方法分割我們用下面方法分割(2)從極點(diǎn)出發(fā)的一族從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：射線：=常數(shù)常數(shù)，(1)以極點(diǎn)為中心的一族以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：同心圓：r =常數(shù)常數(shù)，,rdrd 公公式式中中的的稱(chēng)稱(chēng)為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的面面積積元元素素 記記作作。 rdrdd drrr rr d ox rdrdd .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 則則272、如何化為兩次單積分、如何化為兩次單積分積分順序：一般是先積積分順序：一般是先積r后積后積 。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd AD

16、o)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(1) 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,: D).()(21 rAoD)(2r)(1r28AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd(2) 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖,: D).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd(3) 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r 20: D29(1) Ddyxf ),(2222:D axybabxyo 20)sin,cos(bardrrrfd(1, ),Df x y dD 將將二二重重積積分分化化為

17、為極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的二二次次積積分分 其其積積分分區(qū)區(qū)域域 如如下下例例圖圖所所示示。D閉閉區(qū)區(qū)域域 用用不不等等式式表表示示 20,: braD3022:2Dxyax(2) Ddyxf ),(a2xyo 22cos20)sin,cos( ardrrrfdD閉閉區(qū)區(qū)域域 用用不不等等式式表表示示 Drdrdrrf )sin,cos( 22cos20: arD31(3) Ddyxf ),(xyo24 0sin4sin2)sin,cos(rdrrrfd:2sin4sin ,0DryyxyD42:22 D閉閉區(qū)區(qū)域域 用用不不等等式式表表示示 Drdrdrrf )sin,cos(32,2 將將

18、下下列列積積分分化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式 并并計(jì)計(jì)算算例例積積分分值值。2222(1),:2Dxy dxdyDxyx 其其中中。xyo2 Ddxdyyx22 22cos20 rdrrd 223cos38 d3238I 132238 :02cos ,22Dr。932 33 Ddxdyxyyx,arctan)()2(22 Ddxdyxyyxarctan)(22:D積積分分區(qū)區(qū)域域 的的圖圖形形為為rdrrd 21240 drrd 21340 。212815 22:14 ,0Dxyyxy 所所圍圍成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。40 , 21: rDxyo1234223,xyDedxd

19、yDa 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是由由中中心心在在原原點(diǎn)點(diǎn) 半半徑徑為為的的圓圓周周所所圍圍成成例例的的閉閉區(qū)區(qū)域域。解解 積分區(qū)域積分區(qū)域D的圖形的圖形 Dyxdxdye22 200221dear。)1(2ae D：0 r a, 0 2 2201(1)2aed 2002drdrearxyoa35例例4 求球體求球體 x2+y2+z2=4a2被圓柱被圓柱x2+y2=2ax(a0)所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。 解解 由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性知知D cos2ar yxoaa22axyozD DdxdyyxaV,44222 20 ,cos20: arD22

20、44Darrdrd 2 cos2220044adar rdr 332032(1sin)3ad DdxdyyxaV,44222。 3223323 a36注：極坐標(biāo)系的選取方法：注：極坐標(biāo)系的選取方法：)()(),(222ryxyxf )()(arctan xy2：被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，如：被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，如1：如果積分區(qū)域：如果積分區(qū)域D的邊界用極坐標(biāo)表示比較方便的邊界用極坐標(biāo)表示比較方便, ,如如 圓形域，扇形域等則選用極坐標(biāo)。圓形域，扇形域等則選用極坐標(biāo)。ar 222) 1(:ayx 如如邊邊界界曲曲線線為為axyx2)2(22 cos2ar sin2ar ayyx2)3(22