高二數(shù)學(xué) 簡單的線性規(guī)劃1 課件必修5

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1、漢壽三中 艾鎮(zhèn)南 2008.10.241一一.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1.在同一坐標(biāo)系上作出下列直線在同一坐標(biāo)系上作出下列直線:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行平行的直線與的直線與形如形如結(jié)論結(jié)論 yxttyxxYo55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy問題問題1 1：x 有無最大（?。┲?？有無最大（小）值？問題問題2 2：y 有無最大（小）值？有無最大（小）值？問題問題3 3：2 2x+y 有無最大（?。┲担坑袩o最大（?。┲担?25

2、5334xyxyx2.作出下列不作出下列不等式組的所表等式組的所表示的平面區(qū)域示的平面區(qū)域二二.提出問題提出問題把上面兩個問題綜合起來把上面兩個問題綜合起來:1255334xyxyx設(shè)設(shè)z=2x+y,求滿足求滿足時時,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的區(qū)域所表示的區(qū)域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直線作直線Rttyxll ,2:. 30直線直線平行的平行的作一組與直線作一組與直線直線

3、直線L L越往右平越往右平移移,t,t隨之增大隨之增大. .以經(jīng)過點以經(jīng)過點A(5,2)A(5,2)的的直線所對應(yīng)的直線所對應(yīng)的t t值值最大最大; ;經(jīng)過點經(jīng)過點B(1,1)B(1,1)的直線所對應(yīng)的的直線所對應(yīng)的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ 可以通過比較可行域邊界頂可以通過比較可行域邊界頂點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。思考：還可以運用怎樣的方法得到目標(biāo)函數(shù)思考：還可以運用怎樣的方法得到目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值？的最大、最小值？線性規(guī)劃問題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足下列條件： 求z的最大值與最小值。 1255334xyxyx 目標(biāo)函數(shù)（線

4、性目標(biāo)函數(shù)）線性約束條件象這樣關(guān)象這樣關(guān)于于x,yx,y一一次不等式次不等式組的約束組的約束條件稱為條件稱為線性約束線性約束條件條件Z=2x+yZ=2x+y稱為目標(biāo)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù),( ,(因因這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,yx,y的的一次式一次式, ,又稱為又稱為線性目標(biāo)函線性目標(biāo)函數(shù)數(shù)線性規(guī)劃線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 可行解 ：滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解組成的集合叫做可行域； 最優(yōu)解 ：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(

5、1,1)(5,2)1255334xyxyx設(shè)設(shè)z=2x+y,求滿足求滿足時時,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.線性目線性目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)線性約線性約束條件束條件線性規(guī)線性規(guī)劃問題劃問題任何一個滿足任何一個滿足不等式組的不等式組的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最優(yōu)解最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)所表目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義示的幾何意義在在y軸上軸上的截距或其相的截距或其相反數(shù)。反數(shù)。線性規(guī)劃例例1 解下列線性規(guī)劃問題： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：11yyxxy解線性規(guī)劃問題的一般步驟：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解所

6、對應(yīng)的點；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。探索結(jié)論2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：當(dāng)x=-1,y=-1時，z=2x+y有最小值3.當(dāng)x=2,y=-1時，z=2x+y有最大值3. 也可以通過比較可行域邊界也可以通過比較可行域邊界頂點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。頂點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。線性規(guī)劃例例2 解下列線性規(guī)劃問題： 求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：探索結(jié)論x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：當(dāng)x=0,y=0時，z=300 x+900y有最小值0.當(dāng)x=0,y=125時，z=300

7、x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyx例例3: 某工廠用某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲兩種配件生產(chǎn)甲, ,乙兩種產(chǎn)品乙兩種產(chǎn)品, ,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品使用品使用4個個A配件耗時配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用4個個B配件耗時配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得該廠每天最多可從配件廠獲得16個個A配件和配件和12個個B配件配件, ,按每天工作按每天工作8小時小時計算計算, ,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么? 若生產(chǎn)若生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品獲利件甲種產(chǎn)品獲利2萬元萬元,生產(chǎn)生產(chǎn)1 件乙件乙種產(chǎn)品獲利種產(chǎn)

8、品獲利3萬元萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?把例把例3的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下:32利潤利潤( (萬元萬元) )821所需時間所需時間1240B種配件種配件1604A種配件種配件資源限額資源限額 乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品 (1件件)甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品 (1件件)產(chǎn)產(chǎn)品品消消 耗耗 量量資資 源源2841641200 xyxyxy 0 xy4348將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域?qū)⑸厦娌坏仁浇M表示成平面上的區(qū)域, ,區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點所有坐標(biāo)為整數(shù)的點P(x,y),安排生產(chǎn)任務(wù)安排生產(chǎn)任務(wù)x,y都是有意義的都是有意義的.解：設(shè)甲解：設(shè)甲, ,乙兩種產(chǎn)品分別生

9、產(chǎn)乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件件, ,由己知條件可得由己知條件可得:問題：問題：求利潤求利潤2x+3y的最大值的最大值.線性約束條件線性約束條件若設(shè)利潤為若設(shè)利潤為z,則則z=2x+3y,這樣上述問題轉(zhuǎn)化為這樣上述問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)當(dāng)x,y在滿足上述約束條件時在滿足上述約束條件時,z的最大值為多少的最大值為多少?,2z22z2把把z=2x+3yz=2x+3y變變形形為為y=-x+,y=-x+,這這是是斜斜率率為為- -333333z z在在y y軸軸上上的的截截距距為為的的直直線線, ,3 3當(dāng)點當(dāng)點P在可允許的取值范圍變化時在可允許的取值范圍變化時,z z求求截截距距的的最最值值, ,即即可可得得

10、z z的的最最值值. .3 32841641200 xyxyxy 0 xy4348233zyx M（4，2）142yx 問題：問題：求利潤求利潤z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z變式：變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬元萬元，生產(chǎn)一件乙生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利產(chǎn)品獲利3萬元萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？2841641200 xyxyxy 0 xy4348133zyx N N（2 2，3 3）142yx 變式：變式：求利潤求利潤z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：2

11、）設(shè)好變元并列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)）設(shè)好變元并列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)3）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；4）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解1）理清題意，列出表格：）理清題意，列出表格：5)還原成實際問題還原成實際問題( (準(zhǔn)確作圖，準(zhǔn)確計算準(zhǔn)確作圖，準(zhǔn)確計算)畫出線性約束條件所表示的可行域，畫圖力保準(zhǔn)確；畫出線性約束條件所表示的可行域，畫圖力保準(zhǔn)確；法法1 1：移在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的：移在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；方法找出與

12、可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線； 法法2 2：算線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處：算線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得（當(dāng)兩頂點的目標(biāo)函數(shù)值相等時最優(yōu)取得，也可能在邊界處取得（當(dāng)兩頂點的目標(biāo)函數(shù)值相等時最優(yōu)解落在一條邊界線段上）。此法可彌補作圖不準(zhǔn)的局限。解落在一條邊界線段上）。此法可彌補作圖不準(zhǔn)的局限。例例4 4、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1 1車車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t4t、硝酸鹽、硝酸鹽18t18t；生產(chǎn)；生產(chǎn)1 1車皮乙種肥料需要的主要原料是

13、磷酸鹽車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t1t、硝酸鹽、硝酸鹽15t15t。現(xiàn)庫存磷酸鹽?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t10t、硝酸鹽、硝酸鹽66t66t，在此基礎(chǔ)上生，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？分析：設(shè)分析：設(shè)x x、y y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo4 4 x x y

14、y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 0解：解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x x車皮、乙種肥料車皮、乙種肥料y y車皮，車皮， 能夠產(chǎn)生利潤能夠產(chǎn)生利潤Z Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為萬元。目標(biāo)函數(shù)為Z Zx x0.5y0.5y，約束條件為下例不等式組，可行域如圖紅色陰影部分約束條件為下例不等式組，可行域如圖紅色陰影部分：把把Z Zx x0.5y0.5y變形變形為為y y2x2x2z2z，它表示斜，它表示斜率為率為2 2，在，在y y軸上的截軸上的截距為距為2z2z的一組直線系。的一組直線系。 xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)由圖可以看出

15、，當(dāng)直線經(jīng)過過可行域上的點可行域上的點MM時，截時，截距距2z2z最大，即最大，即z z最大。最大。 答：答：生產(chǎn)甲種、乙種肥料各生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2 2車皮，能車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3 3萬元。萬元。M容易求得容易求得MM點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為（2 2，2 2），），則則Z Zmaxmax3 34y1018x15y66x0y0 x線性約束條件線性約束條件三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。01y01-yx0y-x551Oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3ma

16、x zmin3z 練習(xí)練習(xí)2、已知、已知求求z=3x+5y的最大值和最小值。的最大值和最小值。153y5x35y-x1xy551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)11;17minmax ZZ練習(xí)練習(xí)3：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲種產(chǎn)品需甲種產(chǎn)品需要要A種原料種原料4t、 B種原料種原料12t，產(chǎn)生的利潤為，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生萬元；生產(chǎn)產(chǎn)1t乙種產(chǎn)品需要乙種產(chǎn)品需要A種原料種原料1t、 B種原料種原料9t，產(chǎn)生的利，產(chǎn)生的利潤為潤為1萬元?，F(xiàn)有庫存萬元?，F(xiàn)有庫存A種原料種原料10t、 B種原料種原料60t，如何，如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？安排生產(chǎn)才能使利潤最大？相關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：相關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：A種原料 B種原料利潤甲種產(chǎn)品4 122 乙種產(chǎn)品1 9 1現(xiàn)有庫存10 60 設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為分別為x、y0060912104yxyxyxyxP2利利潤潤何時達到最大？何時達到最大？