高等數(shù)學(xué)第五章 定積分及其應(yīng)用

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1、精品文檔 第五章定積分及其應(yīng)用 定積分是一元函數(shù)微積分的集大成者，是歷年考試的重點(diǎn)。定積分的應(yīng)用題具有非常重要的復(fù)習(xí)價(jià)值，每年研究生考試至少有一張?jiān)嚲硪疾於ǚe分的應(yīng)用。 第一節(jié)定積分的計(jì)算與證明 【考點(diǎn)分析】定積分的計(jì)算非常重要，其中積分上限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題、利用被積函數(shù)奇偶性簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算問(wèn)題、分段函數(shù)的積分等問(wèn)題經(jīng)?？嫉?。而定積分的證明問(wèn)題是考試的難點(diǎn)。 、定積分的計(jì)算問(wèn)題與技巧 定理1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)①⑺=］用"在［a,b］上具有導(dǎo)數(shù)，并且有 定理2 牛頓-萊布尼茲公式 設(shè)函數(shù) 定理3 設(shè)函數(shù) F (x)是連續(xù)函數(shù)f (x)

2、在［a.,b］上的一個(gè)原函數(shù)，則 定積分的換元法 f (x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù)兀二爐⑴滿足 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù); 3o當(dāng)舊值為或正以對(duì)川七反,凡則1 定理4分部積分法 設(shè)函數(shù)u (x) ,v (x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則有 -，武力以《打曲r Jfl 【考點(diǎn)三十九】與變上限或變下限定積分有關(guān)的題型包括：求變限積分的導(dǎo)數(shù)、極限、積分、最值以及包含變限 積分的方程的求解等問(wèn)題，其核心是要掌握變限積分的求導(dǎo)公式： (1) (2) 設(shè)軌止［阿曲/⑶=1州獨(dú)=，6 設(shè)L，一」二則干'」二，一〕：一二」二，,」 (3) 設(shè)小⑸二/枚)式&a則 精品

3、文檔 【例1 ?解答題】設(shè)g (x)在XEjS ［答疑編號(hào)986050101］ 解： 令 u=x-t 中?。踘㈤1 外)小十且⑶五啊到 13上連續(xù)，g(1)=5Ji式2,令g"J式，7)產(chǎn)，求廠①/① 1-目3)0-以r血 2 二！\E.).-2ux+戶)du .一?;_:Jg(u)du-x^g(u)udu+!(g(ti)u2du 用乘法的求導(dǎo)法則得： =了二如血+宗后㈤-砥⑴工 -];g⑻以血+9⑶/U 化簡(jiǎn)得： 」'(幻=R：式玲向-"g?成 /X^)=詔⑴+LgR)的-格③ ../。)二]>3)點(diǎn)=2 ./"W=g(Z) 如孥 ,

4、求 10 ” ..ro)=gci)=5 /(0)=0,網(wǎng)工)=卜，/-門(mén)就 【例2?解答題】設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且‘''一卜八' [答疑編號(hào)986050102] 解：將F(x)湊微分得： 令」： 由上述可得 li m ]tx, -L 」⑻曲 = lim n wO =hm *tD a r /(/) 二 hm 20 2 囂/ 系與鏟小。) ["(2天-?；蚨猘rctanNf2fM^r 【例3?解答題】設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且此2，已知f(1)=1,求Ji」''。 精品文檔 [答疑編號(hào)986050103] 解：令u=2x-t -(2x-u)

5、f(u)du=2K 原方程變形為： 『施「加1 2x1題一]uf(u)du=—arctanx '乙 精品文檔 兩端求導(dǎo)得： 令x=1得 2./,)的二  二7") 戶3 "燦二1 【例4?選擇題】設(shè)"⑴=LbSin^F，則F()為 A.正常數(shù) B.負(fù)常數(shù) C.恒為零 D.不為常數(shù) [答疑編號(hào)986050104] 解：若f(X)以t為周期，則L/⑴以二L，㈤心 F(x)=(嚴(yán)*sin如=[尸'?弘口面 =—ICOSZ=COS￡AJ+Ico總圖皿出 JouM =[COE褊皿*￡ 'o 「'cos%嗎>0 .?.F(x)>0 ，正確

6、答案為：A r1 【例5?選擇題】設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)減少，則"⑵=']//(")一?、榫驮?0,1)內(nèi)() A.單調(diào)增加 B.單調(diào)減少 C.有極小值 D.有極大值 [答疑編號(hào)986050105] 解:I，… =2]㈤曲r-J」(力必 令u=tx得： 精品文檔 F⑷二］；/⑺由一上］：八幻而 ??燦一⑺7⑹”3) 令.?.JU口?：，：「一I ，/(￡)=/?)4=4這個(gè)點(diǎn)為駐點(diǎn) ???f⑴在［Oj乩億1］上連續(xù) 當(dāng)0aMe時(shí) 歐)=%)-/?>。 當(dāng)g《1時(shí) 尸⑹=%)-/?之0 W二4是F(x)的極大值點(diǎn) 正確答案：D 【考點(diǎn)

7、四十】計(jì)算對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分技巧： (1)利用被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算，有公式 設(shè)f(x)在:"］上連續(xù),則 。/(幻Hx=￡［/(x)+/(一幻 Q當(dāng)F⑻二￡&)即齡：)為奇函數(shù)時(shí)， 一’2r」(萬(wàn)以，當(dāng)耳。)二f&)即￡0)為偶函數(shù)時(shí) (2)若被積函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，則可以利用定積分的可加性，以x=0為分界點(diǎn)，分成兩個(gè)定積分，再對(duì)其中一個(gè)積分作負(fù)代換，通常即可達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。 P二|Inx-相0=，卜，cogt"，也r=廣)+”小 【例6?選擇題】令Lir,j,久m…，則巳q,r之間有不 等式()成立 A.PvQ

8、 ［答疑編號(hào)986050106］ P-『InX+J/-1dx Li「被積函數(shù)為奇函數(shù)，且積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。因此P=0 0=J/cosxdx-j，"公 『COSX是奇函數(shù)，且積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。所以L"匚。"而"為0 被積函數(shù)營(yíng)7>0,J-L>0 ???Q<0 精品文檔 精品文檔 同理R>0 Q

9、986050107] E*小 【例8】計(jì)算定積分31+5中彳 w 1+ sin x -71+sinx 令X=T換第一個(gè)積分得 °l+sinx 6 x 二一| 下 I J。1-sinz dx+ 尸——-~dx * 1 + sin^ dx <1+5inx1-sinx； -xsinz-x-jrsinx (1+sinx)(l-sinz)j r]-2zsinx. 1-sinz cos x =-]j 2 Kd 2工^— cos冗 C

10、OS X cos X J-21n sec2;+tan x| J = -[￡-21ng =21n A 7T 【考點(diǎn)四十一】計(jì)算周期函數(shù)的定積分的主要公式: 設(shè)f(x)是周期為T(mén)的連續(xù)周期函數(shù)，a為常數(shù)，則 「〃力飆=F/⑶辦二『(兀心 「」’.一‘['」為自然數(shù). 【例9?解答題】求LJ】Tin2工心;n為正整數(shù) [答疑編號(hào)986050108] 精品文檔 解：由周期函數(shù)的性質(zhì)可得: sin Jsilx+cos2x-2sinxcosx^ =n\-J(sinz-cos)2dx二用|口|sinx-cosx\dx =岡|*(cosx-si

11、nx)dx+[：(sinx-cosx)^x] 4 則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是() 【例10?選擇題】設(shè)函數(shù)f(x)在(1叫依0)內(nèi)是周期為T(mén)的連續(xù)周期函數(shù),[答疑編號(hào)986050109] 1九磔—廣川出C. [/⑥龍+1」(￡)由D. 驗(yàn)證法：」一/1 分析(c)令F⑶=〕；/⑷成域 驗(yàn)證F(x)以T為周期 fx+rfo 以"0二L小區(qū)…以 兩邊同時(shí)減去F(x) 『必口加誡 尸5包7⑶二口⑷由 令u=-t時(shí) F(x+T)-芹⑶二+]；S" J丸￡磔=[心」,」」 rBL+r 代我=[%磔 =f孤)出 解： ? .f(x+T)=f

12、(x) 令「 .二一m.」 rff+Tr0rrrO [JofWt-LJQ)或hJo*)成-[/⑶閡 =「『人)小「人)必 =[：%)威-￡%)曲=0 ? ?.F(x+T)-F(x)=0 ? ?.F(x+T)=F(x) 【考點(diǎn)四十二】(1)求分段函數(shù)的定積分，要按積分區(qū)間將被積函數(shù)進(jìn)行分段積分，然后求和。 (2)求復(fù)合函數(shù)的定積分，一般通過(guò)定積分的變量代換(換元的同時(shí)也要相應(yīng)地變換積分限)，然后再進(jìn)行積分運(yùn)算。 -- 」一.x>0 【例12?解答題】求七其中11+產(chǎn)' [答疑編號(hào)986050110] 解：令t=x-1 -「〃為小+|:共幻公小T?Q =-In1+

13、：+1口|1+M；=ln(l+g) 考考點(diǎn)四十三】綜合應(yīng)用定積分常用的基本計(jì)算方法，是復(fù)習(xí)中必須重點(diǎn)掌握的基本技能，包括：牛頓―萊布尼茲公式，換元積分法和分部積分法. II 【例13?解答題】已知曲線C的方程為y=f(x),點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線”與句分別是曲線C在點(diǎn)(0,0) 與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分 [答疑編號(hào)986050111] 精品文檔 解：1;.「???「-’?「.一［J■I =（/+@/（砌：-|：尸00（2/1）小 =12/（3）-第2科1次?。? =12尸3）-33/3|；十0/。）小 -

14、153A7R+A0）+2/（3）-2/（0） 點(diǎn)（3,2）是y=f（x）的一個(gè)拐點(diǎn) ，f（3）=2一【「 在（0,0）點(diǎn)的切線方程為：工 在（3,2）點(diǎn)的切線方程為：y-2二/'（3）a-3） 由交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）可得： ，包=2/（如-2 f（0）=o 把上面的結(jié)果代入到原方程得：12丁@-7/（3+/（0）+2/02/（0）二20 、廣義積分的計(jì)算問(wèn)題與技巧 i.無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分 定義i 設(shè)函數(shù)J W 在區(qū)間［a,+ 8）上連續(xù)，取b>a,如果極限方口 存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù) /W 在無(wú)窮區(qū)間冏+8）上的廣義積分，記作門(mén)（叫即.門(mén)（初%山>冰。這時(shí)也

15、稱(chēng)廣義積分門(mén)（岫 收斂；如果上述極限不存在，函數(shù) 網(wǎng)在無(wú)窮區(qū)間［a,+8）上廣義積分.I加岫就沒(méi)有意義，這時(shí)稱(chēng)廣義積分 定義2 設(shè)函數(shù) 7在區(qū)間（-8, b］ lim「f（X）dx 上連續(xù)，取a

16、oo,+ oo）上的廣義積分，記作 |二70）辦二|二『㈤以+『 八Rdx = lim | lim | f(x)dx 2 Tf *- 1 ，J * -HD ,這時(shí)也稱(chēng)廣義積分L 〃力成 收斂; 精品文檔 『-to 否則就稱(chēng)廣義積分L/⑶“發(fā)散。 2.無(wú)界函數(shù)的廣義積分 定義4設(shè)函數(shù)為）在［a,b］上連續(xù)，理"）=8，取E>0,如果極限場(chǎng)廣務(wù)期存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)JU）在［a,b］上的廣義積分，記作,L,⑶辦即，L八工岫一'崢」&/㈤“。這時(shí)也稱(chēng)廣義積分k/⑶明攵斂;如果上述極限不存在，就稱(chēng)廣義積分L/（工心發(fā)散。 定義5設(shè)函數(shù)JU）在（a,b］上連續(xù)，二s

17、a,如果極限啄L燦存在，則定義 -C，⑸松=蚓:?、宿k。這時(shí)也稱(chēng)廣義積分j：加岫收斂；否則，則稱(chēng)廣義積分f小油發(fā)散。 定義6 設(shè)函數(shù)JW在［a,b］上除點(diǎn)c（a1 f dx ..+1.丁。 [答疑編號(hào)986050201] **bh,Z?T1■4fftRt dt ,1、

18、 維+-) 1:他dtRT7? -&arctanE/ 【例15?解答題】求 [答疑編號(hào)986050202] 令|X-姆二0 ，=0」x=l 7) =ii -arcsin(2x-1)|i 2 開(kāi) ~~2 精品文檔 3 =I?secidt Jo =Inseci+taniP 精品文檔 三、定積分的證明問(wèn)題與技巧 【考

19、點(diǎn)四十四】證明不含有中值4的定積分的等式，題型眾多，方法靈活，通常使用定積分的換元積分法和分部積分法。 (1)若等式一端的被積函數(shù)為了⑶,而另一端含有/［以刈,可作變量代換以二磚); (2)若等式兩端的被積函數(shù)均為了‘(X)的形式，而積分區(qū)間不同，要根據(jù)積分限之間的關(guān)系選取變量代換； (3)若被積函數(shù)出現(xiàn)皿MSI或加川時(shí)，常用變量代換卜右產(chǎn)” (4)若被積函數(shù)含有尸㈤或尸㈤時(shí),可考慮用分部積分法； (5)若被積函數(shù)含有變限定積分，則應(yīng)將變限定積分作為分部積分公式中的我(知，用分部積分法進(jìn)行證明。 【例 16?解答題】設(shè)函數(shù)/⑴在(0,+8)內(nèi)連續(xù)，試證: 門(mén)(泊)乎辦=山2。1

20、| 44 x=—tdx=--于dt [答疑編號(hào)986050203]令E上 13/2x.Inx?人4 工=|/f—+—5故令x=一 J1x2xt ?1J2、⑵口2—1口)，4- = — + ?) ￡ 2. 21n 2 ln￡ dt =2In2*弓十2)Lx-+-)—dx 2xx2xx ?4r21 A2/=21n2|/(-+±)A^ “2xx /=ln2| 2xx 精品文檔 【例17?解答題】設(shè)函數(shù)在［0,11上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 一㈤源=駕型-；J：代力⑹赤乙乙 ［答疑編號(hào)986050204］ fMl-0,⑺以 二］：(一)/3 =(x-?v

21、wi；-［：，⑶。-2琦心』U 二--2工期⑴ ■U1 =-/W(1-2j)￡+L1-2/(x^ ?U 。⑶TJ⑼:“)_；j：，am⑺原 【考點(diǎn)四十五】用微分中值定理、積分中值定理和用作輔助函數(shù)的方法證明定積分的等式或不等式的解題思路如 下： 1 .用微分中值定理 若被積函數(shù)/(幻在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，欲證的等式或不等式中含有f?或尸?,則常用微 分中值定理進(jìn)行證明。證明的關(guān)鍵是如何從題設(shè)的積分式引導(dǎo)出微分中值定理的條件。 2 .用積分中值定理 最常見(jiàn)的有如下兩種情況： (1)題設(shè)條件中給出了積分中值定理的形式； (2)在證明過(guò)程中，要比較兩個(gè)式

22、子的大小，其中有一個(gè)式子中有定積分，通過(guò)積分中值定理可去掉積分號(hào)，從而進(jìn)行比較。 3 .用作輔助函數(shù)的方法證明定積分的等式或不等式 當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時(shí)，可以考慮用設(shè)輔助函數(shù)的方法進(jìn)行證明。解題程序如下：首先作輔助函數(shù)，將兩端移到一端， 另一端為0,并把欲證結(jié)論中的積分上限(常數(shù)或字母)換成I,若式中有相同的常數(shù)或字母也換成I,即得輔助函數(shù) 月⑺；其次求導(dǎo)數(shù)月")，利用導(dǎo)數(shù)?⑶的符號(hào)判斷F⑺的單調(diào)性。 【例18?解答題】設(shè)在［a,b］上連續(xù)，且滿足"￡【外現(xiàn)成＞0,7g。 證明：！/"式"出"枇的L [答疑編號(hào)986050205] 精品文檔 ;⑺業(yè)之（guM 設(shè)，尸③=iJ/S

23、-g?]曲之o 廣九）比一「冢。出二0』工』0 斤⑸=0%）-⑵何二0 要證:『/，（力辦

24、：「「一‘?'” 精品文檔 螞*￡"+編一/人切成 二!笫，［>(6+0一/匕一㈤］々"fL< 「一一十公一/?「叨… -lim-IV41 gM2］ =11/7)'〃(入3<小)2a =hmf⑶ 町母 二八4) (2) ,二由積分中值定理『/&)山=丁(切?2口.-a<(

25、、水壓力）及函數(shù)的平均值。 【考點(diǎn)分析】定積分的應(yīng)用主要包括：定積分在幾何上的應(yīng)用、在物理中的應(yīng)用和在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。其中數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二考定積分在幾何上的應(yīng)用、在物理中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)三考定積分在幾何上的應(yīng)用、在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用?？荚嚨闹攸c(diǎn)是定積分在幾何上的應(yīng)用和在物理中的應(yīng)用。 一、定積分在幾何上的應(yīng)用 【考點(diǎn)四十六】1.已知曲線的直角坐標(biāo)方程，求其所圍的平面圖形的面積： ⑴曲線廣佃，”網(wǎng)和直線'4"力（"力）所圍圖形的面積s=a⑴-綱以。 （2）曲線廣⑼，仁財(cái)和直線）戶施幼所圍圖形的面積S=f飆加 （3）解題程序： ①根據(jù)已知條件畫(huà)出草圖； ②選擇積分變量并確定積分限：直接判定積分限

26、或解方程組確定曲線的交點(diǎn)； ③代入相應(yīng)的公式計(jì)算面積. 求其所圍平面圖形的面積： 由曲線 ”打⑼壯巧狗⑻立⑶心丘①所圍平面 2.已知曲線的極坐標(biāo)方程， h⑻-〃⑼相 圖形的面積為23。 【例20?填空題】曲線y=一/+/+2點(diǎn)X軸所圍成的圖形的面積乂二 [答疑編號(hào)986050301] y=-z3+/+2x =~(x3-x2-2x) 二-武/r-2) 尸=-OQ+D 令下=0,解得汗二一1，0，2 (-g「D<-L0),(0Z<2,+ro) ■i,i3 --j4=|-x2-2x)dx+|(一/+/+21)以 廊■!.30 37 -12 【例21?填空題】位

27、于曲線產(chǎn)二用,(00兀C+00)下方,x軸上方的無(wú)界圖形的面積是 [答疑編號(hào)986050302] 曲線y=KgfE20的圖像如下: =二廿 Jo r『植T, =-xe~+e~dxlJoJa =-iim4-^r=+i 【例22.解答題】設(shè)函數(shù)公之匚階可導(dǎo)耳/3>o,/⑼=1。過(guò)曲線步二M力上任意一點(diǎn)FEy作該曲線的切線及X軸的垂線，上述兩直線與X軸所圍成的三角形的面積記為§1，區(qū)間［0,同上以y=為曲邊的曲邊梯形面積記為檢并設(shè)2片恒為1,求此曲線y=H句的方程。 [答疑編號(hào)986050303] 精品文檔 精品文檔 精品文檔 “=[；如由及2￡]_通

28、=1知 ^-◎（￡）刈=1 求導(dǎo)得 化茴得 令"二戶，則y"二尸@的 上述方程可化為印尊二d 積分箴=七Jy,即;?=C2y 電fy 再次積分得 y=里"g y二C4f， 由y（0）=1及J-Ry（上Jd￡二狹口: y'(0)=1,由此可得C4=1,=1? 故所求曲線的方程是y二營(yíng)“ 【例23解解答題】求曲線r=1r=2cos8圍成的公共部分圖形的面積。 [答疑編號(hào)986050304] 精品文檔 r = 1,r = 2cosJ | 工-1=8526 17=sin2tf 由曰 得交點(diǎn) (1 —當(dāng) ° -) 3 ' ’3則所求面積為 S = 2［

29、產(chǎn) 口日+71* 4cqJ% 團(tuán) ■0 2 用 2 【考點(diǎn)四十七】(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：由曲線 y=?\l),直線x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而 『二f2(x)dx 成的旋轉(zhuǎn)體體積為 。 (2)平行截面面積已知的立體體積：垂直于 x軸的平面截立體 ◎所得的截面面積為 嵐沖，則q的體 積為 fb V= | ￡（辦玄 【例24?解答題】設(shè)曲線J' (1)在此曲線上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線與曲線/二97及y軸，直線‘=("是切線與x軸的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo))所圍成的平面圖形的面積S最小。 精品文檔 [答疑編號(hào)986050305] x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積記

30、作yC), (2)把由曲線y=及x軸，y軸，直線＞0)所圍成的平面圖形繞 [答疑編號(hào)986050306] 切線：''''1'.1 令：」——. 月二 e + 厘一%(X —湎)] ￡ = 17-由廂)二(1 +工大』，工" (1) 2 ,2 —=js(]+或-才 +2 0+於『二 o dx 2 2產(chǎn)-2(1+力+ (1+璋』 駐點(diǎn)- - , .一 最小值點(diǎn)一J：二、二 精品文檔 (2) =至0_戶) 2 令lim—(1-')=— -22 精品文檔 2iu22 【例25?解答題】設(shè)曲線產(chǎn)=函（白＞0n30）

31、與丁二1一工交于點(diǎn)A,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A的直線與曲線了二盤(pán) 圍成一平面圖形，問(wèn) a為何值時(shí)，該圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少? [答疑編號(hào)986050307] y = a? ax y=-^= 故直線OA的方程為旋轉(zhuǎn)體的體積。 1 (1+牙 2口(1+0)彳—/ jr[4a-1?) --7V。) 15(1+小 —=。，并由白＞0程惟一駐點(diǎn)w=4令“J此旋轉(zhuǎn)體在a=4時(shí)取最大值，故其最大體積為 16324 一=開(kāi) 21875 52