高等數(shù)學第五章 定積分及其應用



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1、精品文檔 第五章定積分及其應用 定積分是一元函數(shù)微積分的集大成者,是歷年考試的重點。定積分的應用題具有非常重要的復習價值,每年研究生考試至少有一張試卷要考察定積分的應用。 第一節(jié)定積分的計算與證明 【考點分析】定積分的計算非常重要,其中積分上限函數(shù)求導問題、利用被積函數(shù)奇偶性簡化定積分的計算問題、分段函數(shù)的積分等問題經常考到。而定積分的證明問題是考試的難點。 、定積分的計算問題與技巧 定理1設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)①⑺=]用"在[a,b]上具有導數(shù),并且有 定理2 牛頓-萊布尼茲公式 設函數(shù) 定理3 設函數(shù) F (x)是連續(xù)函數(shù)f (x)
2、在[a.,b]上的一個原函數(shù),則 定積分的換元法 f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)兀二爐⑴滿足 上具有連續(xù)導數(shù); 3o當舊值為或正以對川七反,凡則1 定理4分部積分法 設函數(shù)u (x) ,v (x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)則有 -,武力以《打曲r Jfl 【考點三十九】與變上限或變下限定積分有關的題型包括:求變限積分的導數(shù)、極限、積分、最值以及包含變限 積分的方程的求解等問題,其核心是要掌握變限積分的求導公式: (1) (2) 設軌止[阿曲/⑶=1州獨=,6 設L,一」二則干'」二,一〕:一二」二,,」 (3) 設?、啥?枚)式&a則 精品
3、文檔 【例1 ?解答題】設g (x)在XEjS [答疑編號986050101] 解: 令 u=x-t 中?。踘㈤1 外)小十且⑶五啊到 13上連續(xù),g(1)=5Ji式2,令g"J式,7)產,求廠①/① 1-目3)0-以r血 2 二!\E.).-2ux+戶)du .一?;_:Jg(u)du-x^g(u)udu+!(g(ti)u2du 用乘法的求導法則得: =了二如血+宗后㈤-砥⑴工 -];g⑻以血+9⑶/U 化簡得: 」'(幻=R:式玲向-"g?成 /X^)=詔⑴+LgR)的-格③ ../。)二]>3)點=2 ./"W=g(Z) 如孥 ,
4、求 10 ” ..ro)=gci)=5 /(0)=0,網工)=卜,/-門就 【例2?解答題】設函數(shù)f(x)可導,且‘''一卜八' [答疑編號986050102] 解:將F(x)湊微分得: 令」: 由上述可得 li m ]tx, -L 」⑻曲 = lim n wO =hm *tD a r /(/) 二 hm 20 2 囂/ 系與鏟小。) ["(2天-。或二—arctanNf2fM^r 【例3?解答題】設函數(shù)f(x)連續(xù),且此2,已知f(1)=1,求Ji」''。 精品文檔 [答疑編號986050103] 解:令u=2x-t -(2x-u)
5、f(u)du=2K 原方程變形為: 『施「加1 2x1題一]uf(u)du=—arctanx '乙 精品文檔 兩端求導得: 令x=1得 2./,)的二 二7") 戶3 "燦二1 【例4?選擇題】設"⑴=LbSin^F,則F()為 A.正常數(shù) B.負常數(shù) C.恒為零 D.不為常數(shù) [答疑編號986050104] 解:若f(X)以t為周期,則L/⑴以二L,㈤心 F(x)=(嚴*sin如=[尸'?弘口面 =—ICOSZ=COS£AJ+Ico總圖皿出 JouM =[COE褊皿*£ 'o 「'cos%嗎>0 .?.F(x)>0 ,正確
6、答案為:A r1 【例5?選擇題】設f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調減少,則"⑵=']//(")一?、榫驮?0,1)內() A.單調增加 B.單調減少 C.有極小值 D.有極大值 [答疑編號986050105] 解:I,… =2]㈤曲r-J」(力必 令u=tx得: 精品文檔 F⑷二];/⑺由一上]:八幻而 ??燦一⑺7⑹”3) 令.?.JU口?:,:「一I ,/(£)=/?)4=4這個點為駐點 ???f⑴在[Oj乩億1]上連續(xù) 當0aMe時 歐)=%)-/?>。 當g《1時 尸⑹=%)-/?之0 W二4是F(x)的極大值點 正確答案:D 【考點
7、四十】計算對稱區(qū)間上的定積分技巧:
(1)利用被積函數(shù)的奇偶性簡化計算,有公式
設f(x)在:"]上連續(xù),則
。/(幻Hx=£[/(x)+/(一幻
Q當F⑻二£&)即齡:)為奇函數(shù)時,
一’2r」(萬以,當耳。)二f&)即£0)為偶函數(shù)時
(2)若被積函數(shù)為非奇非偶函數(shù),則可以利用定積分的可加性,以x=0為分界點,分成兩個定積分,再對其中一個積分作負代換,通常即可達到化簡的目的。
P二|Inx-相0=,卜,cogt",也r=廣)+”小
【例6?選擇題】令Lir,j,久m…,則巳q,r之間有不
等式()成立
A.PvQ 8、
[答疑編號986050106]
P-『InX+J/-1dx
Li「被積函數(shù)為奇函數(shù),且積分區(qū)間關于原點對稱。因此P=0
0=J/cosxdx-j,"公
『COSX是奇函數(shù),且積分區(qū)間關于原點對稱。所以L"匚。"而"為0
被積函數(shù)營7>0,J-L>0
???Q<0
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同理R>0
Q 9、986050107]
E*小
【例8】計算定積分31+5中彳
w 1+ sin x
-71+sinx
令X=T換第一個積分得
°l+sinx
6 x
二一| 下 I
J。1-sinz
dx+ 尸——-~dx
* 1 + sin^
dx
<1+5inx1-sinx;
-xsinz-x-jrsinx
(1+sinx)(l-sinz)j
r]-2zsinx.
1-sinz
cos x
=-]j 2 Kd
2工^—
cos冗
C 10、OS X
cos X
J-21n sec2;+tan x| J
= -[£-21ng
=21n
A 7T
【考點四十一】計算周期函數(shù)的定積分的主要公式:
設f(x)是周期為T的連續(xù)周期函數(shù),a為常數(shù),則
「〃力飆=F/⑶辦二『(兀心
「」’.一‘['」為自然數(shù).
【例9?解答題】求LJ】Tin2工心;n為正整數(shù)
[答疑編號986050108]
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解:由周期函數(shù)的性質可得:
sin
Jsilx+cos2x-2sinxcosx^
=n\-J(sinz-cos)2dx二用|口|sinx-cosx\dx
=岡|*(cosx-si 11、nx)dx+[:(sinx-cosx)^x]
4
則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是()
【例10?選擇題】設函數(shù)f(x)在(1叫依0)內是周期為T的連續(xù)周期函數(shù),[答疑編號986050109]
1九磔—廣川出C.
[/⑥龍+1」(£)由D.
驗證法:」一/1
分析(c)令F⑶=〕;/⑷成域
驗證F(x)以T為周期
fx+rfo
以"0二L小區(qū)…以
兩邊同時減去F(x)
『必口加誡
尸5包7⑶二口⑷由
令u=-t時
F(x+T)-芹⑶二+];S"
J丸£磔=[心」,」」
rBL+r
代我=[%磔
=f孤)出
解:
? .f(x+T)=f 12、(x)
令「
.二一m.」
rff+Tr0rrrO
[JofWt-LJQ)或hJo*)成-[/⑶閡
=「『人)小「人)必
=[:%)威-£%)曲=0
? ?.F(x+T)-F(x)=0
? ?.F(x+T)=F(x)
【考點四十二】(1)求分段函數(shù)的定積分,要按積分區(qū)間將被積函數(shù)進行分段積分,然后求和。
(2)求復合函數(shù)的定積分,一般通過定積分的變量代換(換元的同時也要相應地變換積分限),然后再進行積分運算。
--
」一.x>0
【例12?解答題】求七其中11+產'
[答疑編號986050110]
解:令t=x-1
-「〃為小+|:共幻公小T?Q
=-In1+ 13、:+1口|1+M;=ln(l+g)
考考點四十三】綜合應用定積分常用的基本計算方法,是復習中必須重點掌握的基本技能,包括:牛頓―萊布尼茲公式,換元積分法和分部積分法.
II
【例13?解答題】已知曲線C的方程為y=f(x),點(3,2)是它的一個拐點,直線”與句分別是曲線C在點(0,0)
與(3,2)處的切線,其交點為(2,4).設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù),計算定積分
[答疑編號986050111]
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解:1;.「???「-’?「.一[J■I
=(/+@/(砌:-|:尸00(2/1)小
=12/(3)-第2科1次?。?
=12尸3)-33/3|;十0/。)小
- 14、153A7R+A0)+2/(3)-2/(0)
點(3,2)是y=f(x)的一個拐點
,f(3)=2一【「
在(0,0)點的切線方程為:工
在(3,2)點的切線方程為:y-2二/'(3)a-3)
由交點坐標為(2,4)可得:
,包=2/(如-2
f(0)=o
把上面的結果代入到原方程得:12丁@-7/(3+/(0)+2/02/(0)二20
、廣義積分的計算問題與技巧
i.無窮區(qū)間上的廣義積分
定義i
設函數(shù)J W 在區(qū)間[a,+ 8)上連續(xù),取b>a,如果極限方口 存在,則稱此極限值為函數(shù)
/W
在無窮區(qū)間冏+8)上的廣義積分,記作門(叫即.門(初%山>冰。這時也 15、稱廣義積分門(岫
收斂;如果上述極限不存在,函數(shù)
網在無窮區(qū)間[a,+8)上廣義積分.I加岫就沒有意義,這時稱廣義積分
定義2 設函數(shù)
7在區(qū)間(-8, b]
lim「f(X)dx
上連續(xù),取a
16、oo,+ oo)上的廣義積分,記作
|二70)辦二|二『㈤以+『 八Rdx =
lim | lim | f(x)dx
2 Tf *- 1 ,J
* -HD
,這時也稱廣義積分L 〃力成
收斂;
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『-to
否則就稱廣義積分L/⑶“發(fā)散。
2.無界函數(shù)的廣義積分
定義4設函數(shù)為)在[a,b]上連續(xù),理")=8,取E>0,如果極限場廣務期存在,則稱此極限為函數(shù)JU)在[a,b]上的廣義積分,記作,L,⑶辦即,L八工岫一'崢」&/㈤“。這時也稱廣義積分k/⑶明攵斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分L/(工心發(fā)散。
定義5設函數(shù)JU)在(a,b]上連續(xù),二s 17、a,如果極限啄L燦存在,則定義
-C,⑸松=蚓:?、宿k。這時也稱廣義積分j:加岫收斂;否則,則稱廣義積分f小油發(fā)散。
定義6
設函數(shù)JW在[a,b]上除點c(a 18、
維+-)
1:他dtRT7?
-&arctanE/
【例15?解答題】求
[答疑編號986050202]
令|X-姆二0
,=0」x=l
7)
=ii
-arcsin(2x-1)|i
2
開
~~2
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3
=I?secidt
Jo
=Inseci+taniP
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三、定積分的證明問題與技巧
【考 19、點四十四】證明不含有中值4的定積分的等式,題型眾多,方法靈活,通常使用定積分的換元積分法和分部積分法。
(1)若等式一端的被積函數(shù)為了⑶,而另一端含有/[以刈,可作變量代換以二磚);
(2)若等式兩端的被積函數(shù)均為了‘(X)的形式,而積分區(qū)間不同,要根據(jù)積分限之間的關系選取變量代換;
(3)若被積函數(shù)出現(xiàn)皿MSI或加川時,常用變量代換卜右產”
(4)若被積函數(shù)含有尸㈤或尸㈤時,可考慮用分部積分法;
(5)若被積函數(shù)含有變限定積分,則應將變限定積分作為分部積分公式中的我(知,用分部積分法進行證明。
【例
16?解答題】設函數(shù)/⑴在(0,+8)內連續(xù),試證:
門(泊)乎辦=山2。1 20、|
44
x=—tdx=--于dt
[答疑編號986050203]令E上
13/2x.Inx?人4
工=|/f—+—5故令x=一
J1x2xt
?1J2、⑵口2—1口),4-
= — + ?)
£ 2. 21n 2 ln£
dt
=2In2*弓十2)Lx-+-)—dx
2xx2xx
?4r21
A2/=21n2|/(-+±)A^
“2xx
/=ln2|
2xx
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【例17?解答題】設函數(shù)在[0,11上有二階連續(xù)導數(shù),則
一㈤源=駕型-;J:代力⑹赤乙乙
[答疑編號986050204]
fMl-0,⑺以
二]:(一)/3
=(x-?v 21、wi;-[:,⑶。-2琦心』U
二--2工期⑴
■U1
=-/W(1-2j)£+L1-2/(x^
?U
。⑶TJ⑼:“)_;j:,am⑺原
【考點四十五】用微分中值定理、積分中值定理和用作輔助函數(shù)的方法證明定積分的等式或不等式的解題思路如
下:
1 .用微分中值定理
若被積函數(shù)/(幻在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,欲證的等式或不等式中含有f?或尸?,則常用微
分中值定理進行證明。證明的關鍵是如何從題設的積分式引導出微分中值定理的條件。
2 .用積分中值定理
最常見的有如下兩種情況:
(1)題設條件中給出了積分中值定理的形式;
(2)在證明過程中,要比較兩個式 22、子的大小,其中有一個式子中有定積分,通過積分中值定理可去掉積分號,從而進行比較。
3 .用作輔助函數(shù)的方法證明定積分的等式或不等式
當被積函數(shù)連續(xù)時,可以考慮用設輔助函數(shù)的方法進行證明。解題程序如下:首先作輔助函數(shù),將兩端移到一端,
另一端為0,并把欲證結論中的積分上限(常數(shù)或字母)換成I,若式中有相同的常數(shù)或字母也換成I,即得輔助函數(shù)
月⑺;其次求導數(shù)月"),利用導數(shù)?⑶的符號判斷F⑺的單調性。
【例18?解答題】設在[a,b]上連續(xù),且滿足"£【外現(xiàn)成>0,7g。
證明:!/"式"出"枇的L
[答疑編號986050205]
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;⑺業(yè)之(guM
設,尸③=iJ/S 23、-g?]曲之o
廣九)比一「冢。出二0』工』0
斤⑸=0%)-⑵何二0
要證:『/,(力辦 24、:「「一‘?'”
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螞*£"+編一/人切成
二!笫,[>(6+0一/匕一㈤]々"fL<
「一一十公一/?「叨…
-lim-IV41
gM2]
=11/7)'〃(入3<小)2a
=hmf⑶
町母
二八4)
(2)
,二由積分中值定理『/&)山=丁(切?2口.-a<( 25、、水壓力)及函數(shù)的平均值。
【考點分析】定積分的應用主要包括:定積分在幾何上的應用、在物理中的應用和在經濟中的應用。其中數(shù)學一、數(shù)學二考定積分在幾何上的應用、在物理中的應用,數(shù)學三考定積分在幾何上的應用、在經濟中的應用??荚嚨闹攸c是定積分在幾何上的應用和在物理中的應用。
一、定積分在幾何上的應用
【考點四十六】1.已知曲線的直角坐標方程,求其所圍的平面圖形的面積:
⑴曲線廣佃,”網和直線'4"力("力)所圍圖形的面積s=a⑴-綱以。
(2)曲線廣⑼,仁財和直線)戶施幼所圍圖形的面積S=f飆加
(3)解題程序:
①根據(jù)已知條件畫出草圖;
②選擇積分變量并確定積分限:直接判定積分限 26、或解方程組確定曲線的交點;
③代入相應的公式計算面積.
求其所圍平面圖形的面積: 由曲線 ”打⑼壯巧狗⑻立⑶心丘①所圍平面
2.已知曲線的極坐標方程,
h⑻-〃⑼相
圖形的面積為23。
【例20?填空題】曲線y=一/+/+2點X軸所圍成的圖形的面積乂二
[答疑編號986050301]
y=-z3+/+2x
=~(x3-x2-2x)
二-武/r-2)
尸=-OQ+D
令下=0,解得汗二一1,0,2
(-g「D<-L0),(0Z<2,+ro)
■i,i3
--j4=|-x2-2x)dx+|(一/+/+21)以
廊■!.30
37
-12
【例21?填空題】位 27、于曲線產二用,(00兀C+00)下方,x軸上方的無界圖形的面積是
[答疑編號986050302]
曲線y=KgfE20的圖像如下:
=二廿
Jo
r『植T,
=-xe~+e~dxlJoJa
=-iim4-^r=+i
【例22.解答題】設函數(shù)公之匚階可導耳/3>o,/⑼=1。過曲線步二M力上任意一點FEy作該曲線的切線及X軸的垂線,上述兩直線與X軸所圍成的三角形的面積記為§1,區(qū)間[0,同上以y=為曲邊的曲邊梯形面積記為檢并設2片恒為1,求此曲線y=H句的方程。
[答疑編號986050303]
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“=[;如由及2£]_通 28、=1知
^-◎(£)刈=1
求導得
化茴得
令"二戶,則y"二尸@的
上述方程可化為印尊二d
積分箴=七Jy,即;?=C2y
電fy
再次積分得
y=里"g
y二C4f,
由y(0)=1及J-Ry(上Jd£二狹口:
y'(0)=1,由此可得C4=1,=1?
故所求曲線的方程是y二營“
【例23解解答題】求曲線r=1r=2cos8圍成的公共部分圖形的面積。
[答疑編號986050304]
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r = 1,r = 2cosJ
| 工-1=8526
17=sin2tf
由曰
得交點
(1 —當 ° -)
3 ' ’3則所求面積為
S = 2[ 29、產 口日+71* 4cqJ% 團
■0 2 用 2
【考點四十七】(1)旋轉體的體積:由曲線 y=?\l),直線x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉一周而
『二f2(x)dx
成的旋轉體體積為 。
(2)平行截面面積已知的立體體積:垂直于 x軸的平面截立體 ◎所得的截面面積為 嵐沖,則q的體
積為
fb
V= | £(辦玄
【例24?解答題】設曲線J'
(1)在此曲線上找一點,使過該點的切線與曲線/二97及y軸,直線‘=("是切線與x軸的交點A的橫坐標)所圍成的平面圖形的面積S最小。
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[答疑編號986050305]
x軸旋轉所得的旋轉體體積記 30、作yC),
(2)把由曲線y=及x軸,y軸,直線>0)所圍成的平面圖形繞
[答疑編號986050306]
切線:''''1'.1
令:」——.
月二 e + 厘一%(X —湎)]
£ = 17-由廂)二(1 +工大』,工"
(1) 2
,2
—=js(]+或-才 +2 0+於『二 o dx 2
2產-2(1+力+ (1+璋』
駐點- - , .一
最小值點一J:二、二
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(2)
=至0_戶)
2
令lim—(1-')=—
-22
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2iu22
【例25?解答題】設曲線產=函(白>0n30) 31、與丁二1一工交于點A,過坐標原點。和點A的直線與曲線了二盤
圍成一平面圖形,問 a為何值時,該圖形繞
x軸旋轉一周所得的旋轉體體積最大?最大體積是多少?
[答疑編號986050307]
y = a?
ax
y=-^=
故直線OA的方程為旋轉體的體積。
1
(1+牙
2口(1+0)彳—/
jr[4a-1?)
--7V。)
15(1+小
—=。,并由白>0程惟一駐點w=4令“J此旋轉體在a=4時取最大值,故其最大體積為
16324
一=開
21875
52
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