高等數(shù)學(xué)：第四章 習(xí)題課

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1、2積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容31 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf， 即即Ix ， 都都 有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那

2、內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù))(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF .即：即：42 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項項的的原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.5 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常

3、常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(63 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx

4、2cscCx cot7 dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh85 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定理定理 1 設(shè)設(shè))(uf具有原

5、函數(shù)，具有原函數(shù)，)(xu 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.9;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 106 6、第二類換元法、第二類換元法定理定理 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并是單調(diào)

6、的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且且0)( t ，又設(shè)，又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，則有換元公式則有換元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式11常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.tan,)(taxxaxf令令22.tx13令令倒置代換倒置代換127 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 139 9、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)

7、的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負整數(shù)；都是非負整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實數(shù)，并且都是實數(shù)，并且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法14四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqp

8、xxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式15令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR16（3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：

9、解決方法：作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令17，設(shè)設(shè)例例Cxdxxxfarcsin)(1dxxf)(1計算計算解：等式兩邊對 求導(dǎo)得： x211xxxf)(211xxxf)()()(222112111xdxdxxxdxxfCx232131)(二、典型例題二、典型例題18dxxx2112)(ln例例Cxxdx)arcsin(lnln)(ln211dxxxsincos33例例xdxxxdxxsin)sinsin(sinsinsin112Cxx221sinsinln19dxex114例例dxeedxeeexxxxx)(1111Cexedexxxx)ln()(11

10、11dxxx22215cossin例例Cxxxdxdxxx222212121222tantanlntantantancosdxxxx2116)ln(ln例例Cxxxxdxx)lnarctan()ln()ln(21120dxxexxx)(117例例Cxexexedxexexexedxxexeexxxxxxxxxxx11111ln)()()()(dxxxx111182ln例例Cxxxxdxx11411111212lnlnln21dxxx221192例例，令令txtan1，則則tdtdx2secdttttdtttdxx)secsec(secsecsec)(11111122dttt)cos(sec11

11、dtttt21212costanseclnCxxxxxx112222122)ln(Cttt2tantansecln22例例1010解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)23dxxx211112)(例例dttdxtx2111,令令22221121111ttdtdtttt)()(2121)()(ttdCt21arcsinCxx)(arcsin12224dxxxx42312cossin例例xxdxdxxx3223tansecta

12、nxdxxxxtan)(sectan123Cxxxxcoslntantan232125dxxxx232113/)(ln例例dxxxxxxxd22211111lnln221111xxdxxlnCxxxx)ln(ln22111126dxexxxxxsincossincos2314例例xdexdedxxxexdxxexxxxcoscossincossinsinsinsin12Cxexedxedxexexxxxexxxcossinsinsincossinsinsindxxx cos)sin(22115例例)sin)(sin(sincos)sin(cosxxxddxxxx222212227dttttx)

13、(sin22121dttdttdttttt22222221311131121231)()()(Cttt22311161arctanlnCxxx22311161sinarctansinsinln28例例1616 dxxx1)23()23(2原式原式解解.dxxxxx4932求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令29例例1717解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxe

14、xexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 30例例1818解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 31例例1919解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1l

15、n(21222 32例例2020解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 33例例2121解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則有則有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 34例例2222解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx

16、 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 35例例2323解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 36例例2424解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù)37須處處連續(xù)，有須

17、處處連續(xù)，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即38.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 聯(lián)立并令聯(lián)立并令39一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設(shè)設(shè))(, )(21xFxF是區(qū)間是區(qū)間I內(nèi)連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)函數(shù))(xf的兩個不的兩個不 同的原函數(shù)，且同的原函數(shù)，且0)( xf, ,則在區(qū)間則在區(qū)間I內(nèi)必有內(nèi)必有（ ）（A A） CxFxF )

18、()(21；（B B） CxFxF )()(21；（C C） )()(21xCFxF ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .測測 驗驗 題題403 3、)(xf在某區(qū)間內(nèi)具備了條件在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續(xù)；）連續(xù)；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個間斷點）有有限個間斷點 4 4、下列結(jié)論正確的是、下列結(jié)論

19、正確的是（ ）（A A） 初等函數(shù)必存在原函數(shù)；初等函數(shù)必存在原函數(shù)；（B B） 每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；（C C） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；（D D） CBA,都不對都不對 . .415 5、函函數(shù)數(shù)2)()(xxxf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個個 函函 數(shù)數(shù) 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 為為xy2 ，21 yx時時且且, ,這這個個函函數(shù)數(shù)

20、是是（ ） （A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （D D）.1 xy427 7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . .43 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln

21、1; ; （C C）Cxxx 1ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 10 10、 10)14( xdx（ ） （A A）Cx 9)14(191； （B B）Cx 9)14(1361； （C C）Cx 9)14(1361； （D D）Cx 11)14(1361. .44二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 dxxx1cos12; ; 2 2、 522xxdx; ; 3 3、 dxxxx2215)1ln(; ; 4 4、 dxxx222)1(; ; 5 5、 211xdx; ; 6 6、 dxxxx1122; ; 7 7、 )1(2xxeedx; ; 8 8、 xdxx a

22、rccos2; ; 9 9、 234811xxdxx; ; 10 10、 dxxx32)1(arccos. .45三、設(shè)三、設(shè) 0,)32(0, )1ln()(22xexxxxxxfx，求，求 dxxf)(. .四、設(shè)四、設(shè)xbxaefxcossin)( ,(,(ba ,為不同時為零的為不同時為零的 常數(shù)常數(shù)) )，求，求)(xf. .五、五、0 x設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)時，時，)(xf連續(xù)，求連續(xù)，求 dxexxfxxxfx2)()1()(. .46一、一、1 1、D D； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、D D； 5 5、D D； 6 6、B B； 7 7、D D； 8 8、B B； 9 9

23、、D D； 10 10、C.C.二、二、1 1、Cx 1sin； 2 2、Cx 21arctan21； 3 3、Cxx 3225)1ln(32； 4 4、xarctan21Cxx 2121； 5 5、Cxxxx arcsin112；測驗題答案測驗題答案47 6、Cxxx 1arcsin12； 7、Ceexx )arctan(； 8、Cxxxx 22323131)1(91arccos31； 9、4144 xCxx )2ln()1ln(44； 10、Cxxxx 221ln21arccos1.48四、四、 )sin(ln)(2)(xbaxxfCxab )cos(ln)(. . 五、五、Cxexfx )(. .三、三、 dxxf)( 0,1)14(0,)1ln(21)1ln(2122222xCexxxCxxxxx. .