陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 反證法教學(xué)課件 北師大版選修22

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1、13 3 反證法反證法2一、教學(xué)目標(biāo)：一、教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證反證法；了解反證法的思考過程與特點。法的思考過程與特點。二、教學(xué)重點：二、教學(xué)重點：了解反證法的思考過程與特點。了解反證法的思考過程與特點。教學(xué)難點：教學(xué)難點：正確理解、運用反證法。正確理解、運用反證法。三、教學(xué)方法：三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程四、教學(xué)過程3綜合法特點綜合法特點：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч捎梢阎阎Y(jié)論結(jié)論分析法特點：分析法特點：執(zhí)果索因執(zhí)果索因即：即：由由結(jié)果結(jié)果找條件找條件

2、倒推倒推4思考？思考？ A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C說說A A、B B都都撒謊。則撒謊。則C C必定是在撒謊，為什么？必定是在撒謊，為什么？假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則C C真真; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 那么假設(shè)那么假設(shè)“C C沒有撒謊沒有撒謊”不成立不成立; ;則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .那么那么A A假且假且B B假假; ;這與這與B B假矛盾假矛盾. .推出矛盾推出矛盾. .推翻假設(shè)推翻假設(shè). .原命題成立原命題成立. .分析分析: :由假設(shè)由假設(shè)5 反證法：反證法：

3、假設(shè)原命題不成立，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理經(jīng)過正確的推理, ,得出矛盾，得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤因此說明假設(shè)錯誤, ,從而證明原命題成立從而證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫這樣的的證明方法叫反證法反證法反證法的基本步驟：反證法的基本步驟：四步四步得出矛盾的方法：得出矛盾的方法：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、定理、定義矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。6應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形：(1)(1)直接證明比較困難直接證明比較困難; ; (2) (2)直接證明需分成很多類直接證明需分成很多類, ,而對立命題

4、分類較少而對立命題分類較少; ;（3)3)結(jié)論有結(jié)論有“至少至少”,“,“至多至多”,“,“有無窮多個有無窮多個”之類字樣之類字樣（4 4）結(jié)論為）結(jié)論為 “ “唯一唯一”之類的命題；之類的命題；7例例1、已知已知a a是整數(shù)，是整數(shù)，2 2能整除能整除a2，求證：，求證：2能整除能整除a.1)22 ( 2144) 12 (2222mmmmma證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2 2不不能整能整除除a a”。因為因為a a是整數(shù)，故是整數(shù)，故a a是奇數(shù)，是奇數(shù)，a a可表示為可表示為2m2m+1 1（m m為整數(shù)），則為整數(shù)），則即即a2是奇數(shù)。所以，是奇數(shù)。所以

5、，2 2不不能整除能整除a2。這與。這與已知已知“2能整除能整除”相矛盾。于是，相矛盾。于是，“2 2不不能整能整除除a a”這個假設(shè)錯誤，故這個假設(shè)錯誤，故2能整除能整除a.8例例2、在同一平面內(nèi)，兩條直線在同一平面內(nèi)，兩條直線a a，b b都和直線都和直線c c垂直。求證：垂直。求證：a a與與b b平行。平行。證明：證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線直線a a與與b b相相交交”。設(shè)直線。設(shè)直線a a，b b的交點為的交點為M M，a a，c c的交點為的交點為P P，b b，c c的交點為的交點為Q Q，如圖所示，則，如圖所示，則PMQPMQ0 0MPQPQM

6、MPQPMQ0001809090PMQ這樣這樣的內(nèi)角和的內(nèi)角和這與定理這與定理“三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180180”相矛盾，這說明假設(shè)是錯誤的。所以相矛盾，這說明假設(shè)是錯誤的。所以直直線線a a與與b b不相交，即不相交，即a a與與b b平行。平行。9解題反思：解題反思：證明以上題時，你是怎么想到反證法的？證明以上題時，你是怎么想到反證法的？反設(shè)時應(yīng)注意什么？反設(shè)時應(yīng)注意什么？反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？輯矛盾歸屬哪一類？10例3.已知四面體SABC中，SA底面ABC，ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射

7、影求證：H不可能是SBC的垂心ABCHDS解題反思：證明該問題的關(guān)鍵是哪一步？本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？11例例4、 已知已知a0，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x

8、，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。證明：關(guān)于證明：關(guān)于x的方程的方程ax=b有且只有一個根。有且只有一個根。12 例例5 5、 求證：求證： 是無理數(shù)。是無理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4

9、k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。解題反思：解題反思：本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？本題中得到的邏輯矛盾歸屬哪一類？13練習(xí)：練習(xí)：課本課本14P練習(xí)練習(xí)1 1. 歸納總結(jié)：歸納總結(jié)：1.1.哪些命題適宜用反證法加以證明？哪些命題適宜用反證法加以證明？籠統(tǒng)地說，籠統(tǒng)地說，正面證明繁瑣或困難時宜用反證法；正面證明繁瑣或困難時宜用反證法；具體地講，具體地講，當(dāng)所證命題的結(jié)論為當(dāng)所證命題的結(jié)論為否定形式否定形式或或 含有含有“至多至多”、“至少至少”等不確定詞，等不確定詞， 此外，此外，“存在性存在性”、“唯一性唯一性”問題問題. .142.2.歸謬歸謬是是“反證法反證法”的核心步驟，歸謬得到的邏輯的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見的類型有哪些？矛盾，常見的類型有哪些？歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾，或與已知條件、臨時假設(shè)矛盾，以及公式矛盾，或與已知條件、臨時假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形自相矛盾等各種情形. .15作業(yè)：作業(yè)：課本課本15P習(xí)題習(xí)題1-31-3： （3 3）、（）、（4 4）五、教后反思：五、教后反思：