陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 反證法課件 北師大版選修22

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1、一、命題的有關(guān)概念一、命題的有關(guān)概念1.命題命題 可以判斷真假的語句可以判斷真假的語句.2.邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞“或或”、“且且”、“非非”.3.簡單命題簡單命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.4.復(fù)合命題復(fù)合命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.一、命題的有關(guān)概念一、命題的有關(guān)概念 “非非 p”形式的復(fù)合形式的復(fù)合命題與命題與 p 的的真假相反真假相反; 5.復(fù)合命題真值表復(fù)合命題真值表 “p 或或 q”形式形式的復(fù)合命題當(dāng)?shù)膹?fù)合命題當(dāng) p 與與 q 同時(shí)為假時(shí)同時(shí)為假時(shí)為假為假, 其它情形其它情形為真為真; “p 且且 q”形形式的復(fù)合命題式的復(fù)合命題當(dāng)當(dāng)p 與與q同時(shí)為

2、同時(shí)為真時(shí)為真真時(shí)為真, 其其它情形為假它情形為假.p非非 p真真假假假假真真pqp 或或 q真真 真真真真真真 假假真真假假 真真真真假假 假假假假pqp 且且 q真真 真真真真真真 假假假假假假 真真假假假假 假假假假二、命題的四種形式二、命題的四種形式逆否命題逆否命題: 若若 q, 則則 p.原命題原命題: 若若 p, 則則 q; 逆命題逆命題: 若若 q, 則則 p; 否命題否命題: 若若 p, 則則 q; 互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否 否命題否命題 若若 p 則則 q 逆否命題逆否命題若若 q 則則 p 原命題原命題若若 p 則則 q 逆命題逆命題若若 q 則則 p互互 為為 逆

3、逆 否否 否否 逆逆 為為 互互注注: 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假. 三、反證法三、反證法1.一般步驟一般步驟反設(shè)反設(shè): 假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立, 即假設(shè)結(jié)論的反面成立即假設(shè)結(jié)論的反面成立; 歸謬歸謬: 從假設(shè)出發(fā)從假設(shè)出發(fā), 經(jīng)過推理論證經(jīng)過推理論證, 得出矛盾得出矛盾; 結(jié)論結(jié)論: 由矛盾判定假設(shè)不正確由矛盾判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確從而肯定命題的結(jié)論正確. 2.命題特點(diǎn)命題特點(diǎn)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn);結(jié)論是結(jié)論是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式; 結(jié)論涉及結(jié)論涉及“存在或

4、不存在存在或不存在”，“有限或無限有限或無限”等形式等形式; 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.3.特殊結(jié)論的反設(shè)特殊結(jié)論的反設(shè)原結(jié)論詞原結(jié)論詞大于大于()小于小于()都是都是都不是都不是至少至少 n 個(gè)個(gè)至多至多 n 個(gè)個(gè)反設(shè)詞反設(shè)詞不大于不大于()不小于不小于()不都是不都是至少有一個(gè)是至少有一個(gè)是至多至多 n- -1 個(gè)個(gè)至少至少 n+1 個(gè)個(gè)原結(jié)論詞原結(jié)論詞有無窮多個(gè)有無窮多個(gè)存在唯一的存在唯一的對任意對任意 x, 使使恒成立恒成立反設(shè)詞反設(shè)詞只有有限多個(gè)只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè)至少有一個(gè) x, 使使不成立不

5、成立4.引出矛盾的形式引出矛盾的形式由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到條件得到條件 p 不成立不成立; 由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到結(jié)論得到結(jié)論 q 成立成立; 由假設(shè)結(jié)論由假設(shè)結(jié)論 q 不成立不成立, 得到一個(gè)恒假命題得到一個(gè)恒假命題; 分別由假設(shè)與條件推得的兩個(gè)結(jié)論矛盾分別由假設(shè)與條件推得的兩個(gè)結(jié)論矛盾. 典型例題典型例題用反證法證明下列各題用反證法證明下列各題: 1.某班有某班有 49 位學(xué)生位學(xué)生, 證明證明: 至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月. 3.設(shè)設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|

6、中至少有一個(gè)不中至少有一個(gè)不小于小于 .12 4.設(shè)三個(gè)正數(shù)設(shè)三個(gè)正數(shù) a, b, c 滿足條件滿足條件 + + =2, 求證求證: a, b, c 中至中至少有兩個(gè)不小于少有兩個(gè)不小于 1.b1a1c1 2.若若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于證明關(guān)于 x 的方程的方程 x2+p1x+q1=0 與與 x2+p2x+ q2=0 中中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根至少有一個(gè)方程有實(shí)根.證證: 假設(shè)至多有假設(shè)至多有 4 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月, 即即:生日在生日在 1, 2, , 12 月的學(xué)生人數(shù)都不超過月的學(xué)生人數(shù)都不超過 4 人人.則該班學(xué)生總數(shù)則該班學(xué)生總數(shù) m4 12=48人

7、人,與該班有與該班有 49 位學(xué)生的條件矛盾位學(xué)生的條件矛盾,假設(shè)不成立假設(shè)不成立.至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月.1.某班有某班有 49 位學(xué)生位學(xué)生, 證明證明: 至少有至少有 5 位學(xué)生的生日同月位學(xué)生的生日同月. 證證: 假設(shè)這兩個(gè)方程都沒有實(shí)根假設(shè)這兩個(gè)方程都沒有實(shí)根, 則則 10 且且 20, 從而有從而有:1+20. 又又1+2=(p12- -4q1)+(p22- -4q2)=p12+p22- -4(q1+q2) =p12+p22- -2p1p2=(p1- -p2)20, 與與 1+20 矛盾矛盾. 即即 1+20,假設(shè)不成立假設(shè)不成立. 故這兩個(gè)方程至少有一

8、個(gè)有實(shí)根故這兩個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根. 2.若若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于證明關(guān)于 x 的方程的方程 x2+p1x+q1=0 與與 x2+p2x+ q2=0 中中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根至少有一個(gè)方程有實(shí)根.證證: 假設(shè)假設(shè) |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于全小于 , 即即:12- - 1+a+b 1212- - 4+2a+b 1212- - 9+3a+b 1212- - a+b- - 3212- - 2a+b- - 9272- - 3a+b- - 2192173212由式得由式得- -a- -b , 與與式相加得式相加得 - -4a- -2 與式相加得與式相加得

9、 - -6a- -4 9272由式得由式得- -2a- -b , 顯然與矛盾顯然與矛盾, 假設(shè)不成立假設(shè)不成立.故故 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個(gè)不小于中至少有一個(gè)不小于 .12 3.設(shè)設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個(gè)不中至少有一個(gè)不小于小于 .12 4.設(shè)三個(gè)正數(shù)設(shè)三個(gè)正數(shù) a, b, c 滿足條件滿足條件 + + =2, 求證求證: a, b, c 中至中至少有兩個(gè)不小于少有兩個(gè)不小于 1.b1a1c1a, b, c 三數(shù)均小于三數(shù)均小于 1, 證證: 假設(shè)假設(shè) a, b, c 中至多有一個(gè)數(shù)不小于

10、中至多有一個(gè)數(shù)不小于 1, 這包含兩種情況這包含兩種情況:即即 0a1, 0b1, 0c1, 1, 1, b1a1c1 + + 3,b1a1c1也與已知條件矛盾也與已知條件矛盾.a, b, c 中恰有兩數(shù)小于中恰有兩數(shù)小于 1, 不妨設(shè)不妨設(shè) 0a1, 0b1, 1, b1a1c1 + + 2+ 2, b1a1c1假設(shè)不成立假設(shè)不成立.a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于中至少有兩個(gè)不小于 1.課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1.已知已知 abc 0, 求證求證: 三個(gè)方程三個(gè)方程 ax2+bx+ =0、bx2+cx+ =0 與與a4c4cx2+ax+ =0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

11、 b4 2.對于函數(shù)對于函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a, b R), 當(dāng)當(dāng) x - -1, 1 時(shí)時(shí), |f(x)| 的最的最大值為大值為 M, 求證求證: M . 123.方程方程 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上有解上有解, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍. 1.已知已知 abc 0, 求證求證: 三個(gè)方程三個(gè)方程 ax2+bx+ =0、bx2+cx+ =0 與與a4c4cx2+ax+ =0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. b41.證證: 設(shè)三個(gè)方程的判別式分別為設(shè)三個(gè)方程的判別式分別為1, 2, 3,由由 1+2+3=b2 - -ac+c

12、2 - -ba+a2 - -cb = (a- -b)2+(b- -c)2+(c- -a)20 12即即 1+2+3 0. 故所述三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根故所述三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. 1, 2, 3 中至少有一個(gè)非負(fù)中至少有一個(gè)非負(fù). 2.對于函數(shù)對于函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a, b R), 當(dāng)當(dāng) x - -1, 1 時(shí)時(shí), |f(x)| 的最的最大值為大值為 M, 求證求證: M . 12|f(- -1)|=|1- -a+b| . 12證證: 假設(shè)假設(shè) M, 則則 |f(1)|=|1+a+b| , |f(0)|=|b| ,121212121212|1+a+b|+|-

13、 -2b|+|1- -a+b| +2 + =2, 即即 |1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|2. 又又|1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|(1+a+b)- -2b+(1- -a+b)|=2, 即即 |1+a+b|+|- -2b|+|1- -a+b|2,與與式式矛盾矛盾. 假設(shè)不成立假設(shè)不成立. 12 M.3.方程方程 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上有解上有解, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍.解解: 先考慮先考慮 x2 - -mx+4=0 在在 - -1, 1 上無解時(shí)上無解時(shí) m 的取值范圍的取值范圍.包含兩種情況包含兩種情況: 方程方程 x2 - -mx+4=0 無實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解;方程有實(shí)數(shù)解方程有實(shí)數(shù)解, 但解不在但解不在 - -1, 1 上上.設(shè)設(shè) f(x)=x2 - -mx+4, 則等價(jià)于則等價(jià)于 =m2 - -160;等價(jià)于等價(jià)于: 0; 0. 0; 1;2mf(1)0. 或或 - -1 1;0; 2mf(- -1)0; f(1)0. 或或 解得實(shí)數(shù)解得實(shí)數(shù) m 取值的集合取值的集合 A=(- -5, 5).故所求實(shí)數(shù)故所求實(shí)數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是:CRA=(- -, - -55, +).