高考數(shù)學 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算課件 理 新人教A版

《高考數(shù)學 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算課件 理 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算課件 理 新人教A版（62頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算1.1.向量的有關概念向量的有關概念(1)(1)定義：既有定義：既有_，又有，又有_的量叫做向量的量叫做向量. .(2)(2)表示方法：表示方法：用字母表示：用字母表示：a, ,b, ,c；用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示：如用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示：如 其中有向線段的長度表示向量的其中有向線段的長度表示向量的_，箭頭所指的方向表示，箭頭所指的方向表示向量的向量的_._.(3)(3)模：向量的模：向量的_叫做向量的模，記作叫做向量的模，記作| |a|,|,|b| |或或大小大小方向方向AB,CD,

2、 大小大小方向方向長度長度AB CD . ，2.2.特殊向量特殊向量 名名 稱稱 說說 明明 零向量零向量 長度等于長度等于_的向量，其方向是的向量，其方向是_，記作，記作0 單位向量單位向量 長度等于長度等于_的向量的向量 平行向量平行向量 方向方向_的非零向量，又叫共線向量，的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：規(guī)定：0與任一向量共線與任一向量共線 相等向量相等向量 長度相等且方向長度相等且方向_的向量的向量 相反向量相反向量 長度相等且方向長度相等且方向_的向量的向量 0 0任意的任意的1 1個單位個單位相同或相反相同或相反相同相同相反相反3.3.向量的加法與減法向量的加法與減法(1)(1)向

3、量的加法向量的加法三角形法則：已知非零向量三角形法則：已知非零向量a, ,b, ,在平面內任取一點在平面內任取一點A A，作，作 = =a, =, =b, ,則向量則向量 叫做叫做a與與b的和，記作的和，記作_,_,即即_= ,= ,這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則；形法則；AB BC AC a+ +ba+ +bABBCAC 平行四邊形法則：以同一點平行四邊形法則：以同一點O O為起點的兩個已知向量為起點的兩個已知向量a，b為為鄰邊作鄰邊作 OACBOACB，則以，則以O O為起點的對角線為起點的對角線 就是就是a與與b的和，這種的和，這種作兩

4、個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則；作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則；向量加法的幾何意義：如圖所示向量加法的幾何意義：如圖所示. .OC (2)(2)向量的減法向量的減法定義：定義定義：定義a- -b= =a+_,+_,即減去一個向量相當于加上這個向即減去一個向量相當于加上這個向量的量的_；幾何意義：如圖，幾何意義：如圖， = =a, =, =b, ,則則 = .= .(-(-b) )相反向量相反向量AB AD DB ABAD 4.4.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)(1)定義：實數(shù)定義：實數(shù)與向量與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的的積是一

5、個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：，它的長度與方向規(guī)定如下：|a|=|=|a|;|;當當0 0時，時，a與與a的方向的方向_；當；當0 0時，時，a與與a的方的方向向_；當；當0 0時，時，a= =0. .相同相同相反相反(2)(2)運算律：設運算律：設，是兩個實數(shù)，則是兩個實數(shù)，則_=()_=()a；(+)(+)a=_=_；(a+b)=_. )=_. 5.5.共線向量定理共線向量定理向量向量a( (a0) )與與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)共線，當且僅當有唯一一個實數(shù),使使_._.( a) )a+ aa+bb=a判斷下面結論是否正確判斷下面結論是否正確

6、( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量量.( ).( )(2)(2)兩向量不能比較大小兩向量不能比較大小.( ).( )(3)(3)若向量若向量a, ,b共線，則向量共線，則向量a, ,b的方向相同或相反的方向相同或相反.( ).( )(4)|(4)|a| |與與| |b| |是否相等與是否相等與a, ,b的方向無關的方向無關.( ).( )(5) .( )(5) .( )(6)(6)共線向量定理共線向量定理b=a中，當中，當a= =0時，則實數(shù)時，則實數(shù)不唯一不唯一

7、.( ).( )ABBCCDAD 【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .向量是可以自由平移的，而有向線段是有端向量是可以自由平移的，而有向線段是有端點的，端點不同，則有向線段不同點的，端點不同，則有向線段不同. .故向量與有向線段不同，故向量與有向線段不同，但向量可用有向線段來表示但向量可用有向線段來表示. .故不正確故不正確. .(2)(2)正確正確. .由于向量是具有大小和方向的量，因此無法比較大小由于向量是具有大小和方向的量，因此無法比較大小. .故正確故正確. .(3)(3)錯誤錯誤. .當當a, ,b中有一個為中有一個為0時，其方向是不確定的時，其方向是不確定的. .故不正確故不正

8、確. .(4)(4)正確正確. .當當| |a|=|=|b| |時，說明時，說明a, ,b的模相等，與方向無關的模相等，與方向無關. .故正故正確確. .(5)(5)正確正確. .首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，故正確指向最后一個向量終點的向量，故正確. .(6)(6)錯誤錯誤. .當當a= =0且且b= =0時，則實數(shù)時，則實數(shù)可為任意實數(shù)，故不唯一；可為任意實數(shù)，故不唯一；當當a= =0且且b0時，時，不存在不存在. .故不正確故不正確. .答案答案: :(1)(1) (2) (3) (2) (3) (

9、4) (5) (6) (4) (5) (6) 1.D1.D是是ABCABC的邊的邊ABAB上的中點，則向量上的中點，則向量 等于等于( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析【解析】選選A.A.如圖，如圖，CD 1BCBA2 1BCBA2 1BCBA2 1BCBA2 11CD CB BD CBBABCBA.22 2.2.判斷下列四個命題：判斷下列四個命題：若若ab，則，則a= =b；若若| |a|=|=|b| |，則，則a= =b；若若| |a|=|=|b|,|,則則ab；若若a= =b，則，則| |a|=|=|b|.|.其中正確的個數(shù)其中正確的個數(shù)是是

10、( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】選選A.A.中兩向量共線，但這兩向量的方向、模均不一中兩向量共線，但這兩向量的方向、模均不一定相同，故不一定相等；定相同，故不一定相等；中兩向量的模相等，但方向不一定中兩向量的模相等，但方向不一定相同，故這兩向量不一定相等；相同，故這兩向量不一定相等；中兩向量的模相等，但兩向中兩向量的模相等，但兩向量不一定共線；量不一定共線；中兩向量相等，則模一定相等，故正確中兩向量相等，則模一定相等，故正確3.3.若若O O，E E，F(xiàn) F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是是不共線的任意三點，則以下各

11、式中成立的是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析【解析】選選B. .B. .EF OF OE EFOFOE EFOFOE EFOFOE EF EO OF OF OE 4.4.如圖，正六邊形如圖，正六邊形ABCDEFABCDEF中，中， ( )( )(A)(A)0(B)(B)(C)(C)(D)(D)【解析【解析】選選D. .D. .BA CD EF BE AD CFBA CD EF CDDE EF CE EF CF 5.5.設設a, ,b是兩個不共線的向量，且向量是兩個不共線的向量，且向量a+b與與2 2a- -b共線，共線，則則_._.【解析【解析

12、】由題意知由題意知a+b=k(2=k(2a- -b) )，則有，則有kk ， . .答案答案: :1 2kk， ，121212考向考向1 1 平面向量的有關概念平面向量的有關概念【典例【典例1 1】(1)(1)下列命題中：下列命題中：時間、速度、加速度都是向量；時間、速度、加速度都是向量；向量的模是一個正實數(shù)；向量的模是一個正實數(shù)；所有的單位向量都相等；所有的單位向量都相等；共線向量一定在同一直線上共線向量一定在同一直線上. .其中真命題的個數(shù)是其中真命題的個數(shù)是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2013(2)(2013廣州模擬廣州

13、模擬) )下列結論中，不正確的是下列結論中，不正確的是( )( )(A)(A)向量向量 共線與向量共線與向量 意義相同意義相同(B)(B)向量向量 ，則向量，則向量 (C)(C)若若a= =b, ,b= =c，則，則a= =c(D)(D)若向量若向量a, ,b滿足滿足| |a|=|=|b| |，則向量，則向量a與與b的方向相同的方向相同AB,CD ABCD ABCD BADC (3)(2013(3)(2013宜賓模擬宜賓模擬) )給出下列命題：給出下列命題：兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；若若a與與b同向，且同向，且| |a|b| |，則，則a

14、b；,為實數(shù)，若為實數(shù)，若a=b，則，則a與與b共線共線. .其中錯誤命題的序號為其中錯誤命題的序號為_【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據(jù)向量及其有關概念分析解題即可根據(jù)向量及其有關概念分析解題即可. .(2)(2)根據(jù)向量共線、相等的定義逐一分析即可根據(jù)向量共線、相等的定義逐一分析即可. .(3)(3)根據(jù)共線向量的概念逐一分析判斷可得結論根據(jù)共線向量的概念逐一分析判斷可得結論. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.中時間不是向量，不正確；中時間不是向量，不正確；中向量中向量的模可以為的?？梢詾? 0，故不正確；，故不正確；中單位向量的模相等，但方向不中單位向量的模相等，但方

15、向不一定相同，故不正確；一定相同，故不正確；中共線向量所在的直線可能平行，故中共線向量所在的直線可能平行，故不正確不正確. .綜上選綜上選A.A.(2)(2)選選D.D.向量的共線與向量的平行是同義的，故向量的共線與向量的平行是同義的，故A A正確；根據(jù)相正確；根據(jù)相反向量的概念可得反向量的概念可得B B正確；由向量相等的概念可知正確；由向量相等的概念可知C C正確；當兩正確；當兩向量的模相等時，方向不一定相同向量的模相等時，方向不一定相同. .故故D D不正確不正確. .(3)(3)不正確，雖然終點相同，但兩個向量也不正確，雖然終點相同，但兩個向量也可能不共線，如圖，可能不共線，如圖，a,

16、,b即不共線；即不共線；不正確，不正確，向量不能比較大小；向量不能比較大小；不正確，當不正確，當=0=0時，時，a與與b可為任意向量，不一定共線可為任意向量，不一定共線. .綜上綜上都不正確都不正確. .答案答案: :【拓展提升【拓展提升】平面向量中常用的幾個結論平面向量中常用的幾個結論(1)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性. .(2)(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量. .解題時解題時不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談. .(3) (3)

17、 是與是與a同向的單位向量，同向的單位向量， 是與是與a反向的單位向量反向的單位向量. .|aa|aa【變式訓練【變式訓練】(1)(1)設設a是任一向量，是任一向量，e是單位向量，且是單位向量，且ae，則，則下列表示形式中正確的是下列表示形式中正確的是( )( )(A)(A)e= (B)= (B)a=|=|a| |e(C)(C)a=-|=-|a| |e (D) (D)a= =| |a| |e【解析解析】選選D.D.對于對于A A，當，當a= =0時，時， 沒有意義，錯誤；對于沒有意義，錯誤；對于B B，C C，D D當當a= =0時，選項時，選項B B，C C，D D都對；都對；當當a0時，由

18、時，由ae可知，可知，a與與e同向或反向，選同向或反向，選D.D.|aa|aa(2)(2)給出下列命題：給出下列命題：若若A A，B B，C C，D D是不共線的四點，則是不共線的四點，則 是四邊形是四邊形ABCDABCD為為平行四邊形的充要條件；平行四邊形的充要條件；00a=0=0；a= =b的充要條件是的充要條件是| |a|=|=|b| |且且ab；若若a與與b均為非零向量，則均為非零向量，則| |a+ +b| |與與| |a|+|+|b| |一定相等一定相等其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是_AB DC 【解析【解析】正確；正確；一方面，數(shù)乘向量的結果為向量，而不是一方面，數(shù)乘向量

19、的結果為向量，而不是實數(shù)實數(shù); ;另一方面，實數(shù)與向量的數(shù)乘運算不能用符號另一方面，實數(shù)與向量的數(shù)乘運算不能用符號“”，故不正確；故不正確；當當a= =b時時| |a|=|=|b| |且且ab，反之不成立，故錯誤；，反之不成立，故錯誤；當當a, ,b不同向時不成立，故錯誤不同向時不成立，故錯誤答案答案: :考向考向2 2 平面向量的線性運算平面向量的線性運算【典例【典例2 2】(1)(1)如圖，如圖，D D，E E，F(xiàn) F分別是分別是ABCABC的邊的邊ABAB，BCBC，CACA的中點，則的中點，則( )( )(A) (A) 0(B) (B) 0(C) (C) 0(D) (D) 0AD BE

20、 CF BD CF DF AD CE CF BD BE FC (2)(2013(2)(2013泉州模擬泉州模擬) )已知已知P P，A A，B B，C C是平面內四點，是平面內四點，且且 ，那么一定有，那么一定有( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)(3)(2013(3)(2013湛江模擬湛江模擬) )在在ABCABC中，中，E E，F(xiàn) F分別為分別為ACAC，ABAB的中點，的中點，BEBE與與CFCF相交于相交于G G點，設點，設 = =a， = =b，試，試用用a, ,b表示表示 . .PA PB PC AC PB 2CP CP 2PB AP 2PB PB

21、2AP AB AC AG【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用平面向量的線性運算并結合圖形求解利用平面向量的線性運算并結合圖形求解(2)(2)將向量將向量 分解為以點分解為以點P P為起點的兩向量的差，然后化簡即為起點的兩向量的差，然后化簡即可可. .(3)(3)結合圖形，利用向量加法將結合圖形，利用向量加法將 表示為相關向量的線性運算表示為相關向量的線性運算式式. .AC AG【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A. A. 0， 0，即即 0. .(2)(2)選選D.D.由題意得由題意得 ，即即 . .AB BC CA 2AD 2BE 2CF AD BE CF PA PB PC PC PA

22、 PB2PA 2AP (3)(3)設設 (，m m0)0)，則，則= = = = .= .又又= =BGBE CGmCF ，AGABBG ABBEAB(BABC)2 (1)AB(ACAB)22 1 ABAC122 abAGACCGACmCF mAC(CACB)2 = ,= , 解得解得=m= =m= ， . .mm1m ACAB1m22 abm1,21m,22311AG33ab【拓展提升【拓展提升】向量線性運算的注意點向量線性運算的注意點(1)(1)一個關系一個關系當向量當向量a, ,b不共線時，不共線時，a+ +b的方向與的方向與a, ,b的方向都不相同，且的方向都不相同，且滿足滿足| |a

23、|-|-|b|a+ +b|b| |，則，則a+ +b與與a同向，且同向，且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;若若| |a|b| |，則，則a+ +b與與b同向，且同向，且| |a+ +b|=|=|b|-|-| |a|;|;若若| |a|=|=|b|,|,則則a+ +b與與a( (b) )同向，且同向，且| |a+ +b|=0.|=0.(2)(2)兩個結論兩個結論向量的中線公式：若向量的中線公式：若P P為線段為線段ABAB中點，則中點，則 ；向量加法的多邊形法則向量加法的多邊形法則: : . .【提醒【提醒】當兩個向量共線當兩個向量共線( (平行平行) )時，三角形法則同樣適用時

24、，三角形法則同樣適用. .向向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質上是一致的，但量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質上是一致的，但當兩個向量共線當兩個向量共線( (平行平行) )時，平行四邊形法則就不適用了時，平行四邊形法則就不適用了. .1OP(OAOB)2 122334n 1n1nA AA AA AAAA A 【變式訓練【變式訓練】(1)(1)在在ABCABC中，中， c， b，若點，若點D D滿足滿足 ，則，則 ( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析【解析】選選A. A. ， ， , , . .AB AC BD 2DC AD 2133bc5

25、233cb2133bc1233bcBD 2DC AD AB 2(AC AD) 3AD 2AC AB 2121ADACAB3333 bc(2)(2)若若A A，B B，C C，D D是平面內任意四點，給出下列式子：是平面內任意四點，給出下列式子： ； ; ; . .其中正確式子的序號為其中正確式子的序號為_ABCDBCAD ACBDBCAD ACBDDCAB 【解析【解析】由由 得，得， ，從而，從而 ，即，即 = =0, ,故不正確；故不正確；由由 得，得， ，即，即 ，故正確；，故正確；由由 得得 ，即，即 ，故正確故正確. .綜上可得綜上可得正確正確. .答案答案: :ABCDBCAD A

26、BADBCCD CBCD2CBCBCD DB2CBDB CB ACBDBCAD ACADBCBD DCDC ACBDDCAB ACABDCBD BCBC 考向考向3 3 共線向量定理及其應用共線向量定理及其應用【典例【典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量a, ,b, ,c中任意兩個都不共線，并且中任意兩個都不共線，并且a+ +b與與c共線，共線，b+ +c與與a共線，那么共線，那么a+ +b+ +c等于等于( )( )(A)(A)a (B) (B)b (C) (C)c (D) (D)0(2)(2)設兩個非零向量設兩個非零向量a與與b不共線不共線若若 a+ +b， 2 2a+8+8b， 3(

27、3(a- -b) )求證：求證：A A，B B，D D三點共線；三點共線；試確定實數(shù)試確定實數(shù)k k，使，使k ka+ +b和和a+k+kb共線共線. .AB BC CD 【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據(jù)向量共線的充要條件得到向量的關系根據(jù)向量共線的充要條件得到向量的關系式，比較系數(shù)可得結論式，比較系數(shù)可得結論. .(2)(2)先證明先證明 共線，再說明它們有一個公共點共線，再說明它們有一個公共點, ,從而得從而得證；證；利用共線向量定理列出方程組求利用共線向量定理列出方程組求k.k.ABBD ，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.a+ +b與與c共線，共線，a+ +b=1 1

28、c. . 又又b+ +c與與a共線，共線，b+ +c=2 2a. . 由由得：得：b=1 1c- -a. .b+ +c=(=(1 1+1)+1)c- -a=2 2a， 即即a+ +b+ +c=-=-c+ +c= =0. .121 01 ，121,1，(2)(2) a+ +b， 2 2a+8+8b， 3(3(a- -b),), 2 2a+8+8b+3(+3(a- -b) )5(5(ab) )5 ,5 , 共線共線. .又又 與與 有公共點有公共點B B，AA，B B，D D三點共線三點共線k ka+ +b與與a+k+kb共線，共線，存在實數(shù)存在實數(shù)，使，使k ka+ +b(a+k+kb) )，

29、k k1.1.AB BC CD BD BC CD AB ABBD ，AB BD k,k1,【互動探究【互動探究】本例本例(2)(2)條件不變，結論若改為條件不變，結論若改為“若向量若向量k ka+ +b和向量和向量a+k+kb反向共線，求反向共線，求k k的值的值”，則結果如何？，則結果如何？【解析【解析】kka+ +b與與a+k+kb反向共線，反向共線，存在實數(shù)存在實數(shù)，使，使k ka+ +b(a+k+kb)()(0)0)， k k1.1.又又00, 0, 同向，且同向，且 . . . .AD AB BC CD BC 3ADBC2 32ADBC 與3ADBC2 ADBC 2 2已知已知O O

30、是三角形是三角形ABCABC的重心的重心( (三條中線的交點三條中線的交點) )，動點，動點P P滿足滿足 , ,則點則點P P一定為三角形一定為三角形ABCABC的的( )( )(A)AB(A)AB邊中線的中點邊中線的中點(B)AB(B)AB邊中線的三等分點邊中線的三等分點( (非重心非重心) )(C)(C)重心重心(D)AB(D)AB邊的中點邊的中點 1 11OP( OAOB2OC)3 22 【解析【解析】選選B.B.取取ABAB的中點的中點D D，則，則 ，故故= = = = = ,= ,故點故點P P為中線為中線CDCD的三等分點的三等分點( (非重心非重心).).1ODOC2 1 11OP( OAOB2OC)3 22 1 1(OAOB)2OC3 2 1 1(2OD2OC)3 2 1(OD2OC)3 111(OC2OC)OC322