數學第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運算和空間位置關系 理

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1、第第6節(jié)空間向量及其運算和空間位置關系節(jié)空間向量及其運算和空間位置關系最新考綱1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標表示；2.了解空間向量的線性運算及其坐標表示；3.了解空間向量的數量積及其坐標表示.1.空間向量的有關概念知知 識識 梳梳 理理名稱概念表示零向量模為_的向量0單位向量長度(模)為_的向量相等向量方向_且模_的向量ab01相同相等相反向量方向_且模_的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相_的向量ab共面向量平行于同一個_的向量相反相等平行或重合平面2.空間向量中的有關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a(

2、a0)與b共線的充要條件是存在實數，使得_.ba(2)共面向量定理(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數1，2，3，使得a_，空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底.xayb11e12e23e33.空間向量的數量積及運算律(1)數量積及相關概念兩向量的夾角a，b0，互相垂直兩向量的數量積已知空間兩個非零向量a，b，則_叫做向量a，b的數量積，記作_，即ab_.(2)空間向量數量積的運算律結合律：(a)b_；交換律：ab_；分配律：a(bc)_.|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b(ab)ba

3、abac4.空間向量的坐標表示及其應用設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b305.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_或_，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量.平行重合6.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1_l1l2n1n2_直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnm_lnmn_平面，的法向量分別為n，mnmn_

4、nm_n2n1n20nm0mmnm0常用結論與微點提醒1.共線向量定理的推論診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.()(2)對任意兩個空間向量a，b，若ab0，則ab.()(3)若a，b，c是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.()(4)若ab0，則a，b是鈍角.()解析對于(2)，因為0與任何向量數量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若a，b，則ab0，故(4)不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.在空間直角坐標系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)

5、，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關系是()A.垂直B.平行C.異面D.相交但不垂直ABCD.答案B答案A4.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，則|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，6.(2018嘉興測試)設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n(2，2，4)，若a(1，1，2)，則直線l與平面的位置關系為_；若a(1，1，1)，則直線l與平面的位置關系為_.答案ll或l考點一空間向量的線性運算規(guī)律方法(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時，應結合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量

6、和未知向量轉化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.提醒空間向量的坐標運算類似于平面向量中的坐標運算.答案B考點二共線定理、共面定理的應用【例2】 已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)BD平面EFGH.【訓練2】(1)若A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點共線，則mn_.(2)已知空間四點A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)

7、，D(1，2，t)，若四點共面，則t的值為_.答案(1)3(2)0考點三空間向量數量積的應用【例3】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點.(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.【訓練3】 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值.考點四利用空間向量證明平行與垂直證明：PQ平面BCD.規(guī)律方法(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標

8、，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵.(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算.(3)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.【訓練4】 如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側面PBC底面ABCD.證明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.證明(1)取BC的中點O，連接PO，平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，PO底面ABCD.以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.