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§4.5 道路連通空間
較之于連通空間的概念，道路連通空間這個概念似覺更符合我們的直覺因而易于理解些．
我們先定義“道路”．
定義4.5.1 設(shè)X是一個拓撲空間．從單位閉區(qū)間[0，1]→X的每一個連續(xù)映射f:[0，1]→X叫做X中的一條道路，并且此時f(0)和f(1)分別稱為道路f的起點和終點．當x＝f（0）和y＝f（1）時，稱f是X中從x到y(tǒng)的一條道路．起點和終點相同的道路稱為閉路，并且這時，它的起點（也是它的終點）稱為閉路的基點．
如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f([0，l])稱為X中的一條曲線或弧，并且這時道路
2、f的起點和終點也分別稱為曲線f([0,1])的起點和終點．
或許應(yīng)當提醒讀者，“道路”這個詞在這里所表達的意思已經(jīng)與我們對它原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們在這里嚴格定義的道路和曲線這兩個不同的概念．
定義4.5.2 設(shè)X是一個拓撲空間．如果對于任何x，y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線），我們則稱X是一個道路連通空間．X中的一個子集Y稱為X中的一個道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個道路連通空間．(Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系)
實數(shù)空間R是道路連通的．這是因為如果x，y∈R，則連續(xù)映射f:[0，1]→R定義為對于任何t∈[0,1]有f
3、(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點以y為終點的道路、也容易驗證任何一個區(qū)間都是道路連通的．
定理4.5.1 如果拓撲空間X是一個道路連通空間，則X必然是一個連通空間．
證明 對于任何x，y∈X，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:[0，l]→X這時曲線f（[0,1]），作為連通空間[0，l]在連續(xù)映射下的象，是X中的一個連通子集，并且我們有x，y∈f（[0，1]）．因此根據(jù)定理4.1.7可見X是一個連通空間．
連通空間可以不是道路連通的．我們已經(jīng)指出例4．4．l中的是一個連通空間．不難證明（留作習題，見習題第3題）它不是道路連通的．
道路連通與
4、局部連通之間更沒有必然的蘊涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連通的，然而包含著多于兩個點的離散空間不是連通空間，當然也就不是道路連通空間了．
定理4.5.2 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，其中X是道路連通的，f:X→Y是一個連續(xù)映射．則 f（X）是道路連通的．
證明 設(shè)．由于X是道路連通的，故X中有從到的一條道路g：[0，1]→X．易見，映射h：[0，1]→f(X)，定義為對于任意t∈[0，1]有h（t）=fg（t），是f（X）中從到的一條道路．這證明f（X）是道路連通的．
根據(jù)定理4.5.2可見，空間的道路連通性是一個拓撲不變性質(zhì)，也是一個可商性質(zhì).
定理4.5.3 設(shè)是n≥1
5、個道路連通空間．則積空間 也是道路連通空間．
證明 我們只需要對n＝2的情形加以證明．
設(shè)對于i=l，2，由于是道路連通空間，故在中有從到的一條道路：[0，1]→．定義映射f：[0，1]→，使得對于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易驗證（應(yīng)用定理3．2.7）f是連續(xù)的，并且有f(0)=x,f(1)=y．這也就是說f是中從x到y(tǒng)的一條道路．這證明 是一個道路連通空間．
作為定理4.5.3的一個直接的推論立即可見：n維歐氏空間是一個道路連通空間．（這個結(jié)論也容易直接驗證．）
為了今后的需要我們證明以下引理，
定理4.5.4[粘結(jié)引理] 設(shè)A和B是拓撲空間X中的兩
6、個開集（閉集），并且有X＝A∪B．又設(shè)Y是一個拓撲空間， ：A→Y和：B→Y是兩個連續(xù)映射，滿足條件：
定義映射f:X→Y使得對于任何x∈X，
f（x）＝
則f是一個連續(xù)映射．
證明 首先注意，由于 ，映射f的定義是確切的．因為當x∈A∩B時，有 ．
其次，我們有：對于Y的任何一個子集Z有
這是由于
現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個開集．由于 都連續(xù)，所以分別是A和B的開集．然而A和B都是X的開集，所以也都是X的開集．因此是X的一個開集．這便證明了f是一個連續(xù)映射．
當A和B都是X的閉集時，證明是完全類似的．
我們現(xiàn)在按建立連通分
7、支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念．
定義4.5.3 設(shè)X是一個拓撲空間，x，y∈X．如果X中有一條從x到y(tǒng)的道路，我們則稱點x和y是道路連通的．(注意:是“點”道路連通)
根據(jù)定義可見，如果x，y，z都是拓撲空間X中的點，則
?。?）x和x道路連通；（因為取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是連續(xù)的）便是一條從x到x的道路．）
?。?）如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:[0，1]→X是X中從x到y(tǒng)的一條道路．定義映射j：[0，l]→X，使得對于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易驗證j是一條從y到x的道路．)
?。?）如果x和y連通，并且
8、y和z連通，則x和z連通．（設(shè)：[0，1]→X分別是X中從x到y(tǒng)和從y到z的道路．定義映射f:[0，1]→X使得對于任何t∈[0，l]，
應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見f是連續(xù)的，此外我們有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是從x到z的一條道路．）
以上結(jié)論歸結(jié)為：拓撲空間中點的道路連通關(guān)系是一個等價關(guān)系．
定義4.5.4 設(shè)X是一個拓撲空間．對于X中的點的道路連通關(guān)系而言的每一個等價類稱為拓撲空間X的一個道路連通分支．
如果Y是拓撲空間X的一個子集．Y作為X的子空間的每一個道路連通分支稱為X的子集Y的一個道路連通分支．
拓撲空間X的每一個道路連通
9、分支都不是空集；X的不同的道路連通分支無交；以及X的所有道路連通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X屬于X的同一個道路連通分支當且僅當x和y道路連通．
拓撲空間X的子集A中的兩個點x和y屬于A的同一個道路連通分支的充分必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路．
根據(jù)定義易見，拓撲空間中每一個道路連通分支都是一個道路連通子集；根據(jù)定理4.5.1，它也是一個連通子集；又根據(jù)定理4．3．l，它必然包含在某一個連通分支之中．
作為定理4.5.l在某種特定情形下的一個逆命題，我們有下述定理：
定理4.5.5 n維歐氏空間 的任何一個連通開集都是道路連通的．
證明 首先我們注意n維
10、歐氏空間中的任何一個球形鄰域都是道路連通的，這是因為它同胚于n維歐氏空間本身．
其次證明n維歐氏空間的任何一個開集的任何一個道路連通分支都是一個開集：設(shè)U是的一個開集，C是U的一個道路連通分支．設(shè)x∈C．因為U是一個包含x的開集，所以也包含著以x為中心的某一個球形鄰域B（x，ε）．由于球形鄰域B(x,ε)是道路連通的，并且B（x，ε）∩C包含著x，故非空,這導(dǎo)致B（x，ε）C．所以C是一個開集．
最后,設(shè)V是的一個連通開集．如果V，則沒有什么要證明的．下設(shè)V．V是它的所有道路連通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個道路連通分支都是開集．因此如果V有多于一個道路連通分支，易見這時
11、V可以表示為兩個無交的非空開集之并，因此V是不連通的，這與假設(shè)矛盾．因此V只可能有一個道路連通分支，也就是說V是道路連通的．
推論4.5.6 n維歐氏空間中任何開集的每一個道路連通分支同時也是它的一個連通分支．
證明 由于n維歐氏空間是一個局部連通空間，根據(jù)定理4．4．1，它的任何開集的任何連通分支都是開集.根據(jù)定理4.5.5，的任何開集的任何連通分支都是道路連通的，因此包含于這個開集的某一個道路連通分支之中．另一方面．任何一個集合的道路連通分支，由于它是連通的，因此包含于這個集合的某一個連通分支之中，本推論的結(jié)論成立．
通過引進局部道路連通的概念，定理4.5.5和推論4.5
12、.6的結(jié)論可以得到推廣．（參見習題5．）
作業(yè):
P132 1. 2.
本章總結(jié)：
（1）有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個集合的概念，與這個集合的母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān)．
?。?）掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系．
?。?）記住中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的．
?。?）連通、局部連通、道路連通分支是一個分類原則，即每個集合都是若干個某某分支的并，任兩個不同的分支無交，每個分支非空．若兩個分支有交，則必是同一個分支．
?。?）連通是本章的重點．
?。?）掌握證明連通、不連通及道路連通的方法．特別注意反證法．
?。?）掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的．
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《點集拓撲學(xué)》§4.5道路連通空間
