2022年北師大版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：壓軸題 專項(xiàng)練習(xí)題[含答案]

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1、2022年北師大版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：壓軸題 專項(xiàng)練習(xí)題 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，AB∥x軸，AO⊥AD，AO＝AD．過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，DE＝4CE．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與邊AB交于點(diǎn)F，連接OE，OF，EF．若S△EOF＝，則k的值為（　?。? A．B．C．7D． 2．在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． （1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，連接BE，交AC于點(diǎn)F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF

2、的長； （2）如圖2，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，連接AG．猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （3）如圖3，在（2）的條件下，連接DG，CE．若∠BAC＝120°，當(dāng)BD＞CD，∠AEC＝150°時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值． 3．有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N． 【觀察猜想】 （1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ； 【探究證明】 （2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間

3、的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由． 4．在?ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交射線AB于點(diǎn)E，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得線段EP． （1）如圖1，當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，請(qǐng)直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥EP于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)寫出線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，若BE＝AB，請(qǐng)直接寫出△APE與△CDG面積的比值． 5．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂

4、足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”． （1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是 ． （2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． （3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由； ②若∠COD＝60°，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系． 6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折

5、線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在邊AB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；在邊BC上以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作線段PQ與射線DC相交于點(diǎn)Q，且∠PQD＝60°，連接PD，BD．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△DPQ與△DBC重合部分圖形的面積為y（cm2）． （1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，直接寫出DQ的長； （2）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出BP的長（用含x的代數(shù)式表示）； （3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍． 7．在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，連接CD、BD，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF． （1）當(dāng)∠EAD＝45

6、°，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖①所示，求證：EF＝CD； （2）當(dāng)∠EAD＝45°，把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊AD上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)∠EAD＝60°，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段EF和CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明． 8．如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，連接BP，CP． （1）如圖1，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，連接AP，在BC邊的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，連接DP，求∠CPD的度數(shù)； （2）如圖2，E是BC邊上一點(diǎn)，且EC＝3BE，當(dāng)BP＝CP時(shí)，連接EP

7、并延長，交AC于點(diǎn)F，若AB＝4BP，求證：4EF＝3AB； （3）如圖3，M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM＝2MC時(shí)，連接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面積為S1，△BCP的面積為S2，求S1﹣S2的值（用含a的代數(shù)式表示）． 9．（1）已知△ABC，△ADE如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：BG＝EG． （2）已知△ABC，△ADE如圖②擺放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．連接BE，CD，過點(diǎn)A

8、作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值． 10．已知△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°． （1）當(dāng)n＝60時(shí)， ①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：； ②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在AC上時(shí)，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）當(dāng)n＝90時(shí)， ①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②當(dāng)BE∥AC，AB＝3，AD＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出DC的長． 11．如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形． （1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，C

9、B＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由； （2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想． （3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長． 12．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，點(diǎn)F是BA的延長線上一點(diǎn)，且AF＝CE． （1）求證：△DCE≌△DAF； （2）如圖2，連接EF，交AD于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H

10、，延長DH交BF于點(diǎn)G，連接HB，HC． ①求證：HD＝HB； ②若DK?HC＝，求HE的長． 13．綜合與實(shí)踐 數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣． 折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1． （1）∠EAF＝°，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）； 轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2． （2）線

11、段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為 ； （3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3，則＝； 剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4． （4）求證：BM2+DN2＝MN2． 14．實(shí)踐與探究 操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，折痕為AE，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則∠EAF＝度． 操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N．我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同．當(dāng)

12、點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕AE上，則∠AEF＝度． 在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題： （1）設(shè)AM與NF的交點(diǎn)為點(diǎn)P．求證：△ANP≌△FNE； （2）若AB＝，則線段AP的長為 ． 15．【閱讀理解】如圖①，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？ 解：相等．在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為E，F(xiàn)． ∴∠AEF＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF． ∵l1∥l2， ∴四邊形AEFD是平行四邊形， ∴AE＝DF． 又S△ABC＝BC?AE，S△DBC＝BC?DF． ∴S△ABC＝S△DBC

13、． 【類比探究】如圖②，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，連接AE，求△ADE的面積． 解：過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF． 請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整． 【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，AD＝4，連接BD，BF，DF，直接寫出△BDF的面積． 16．如圖①，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），在△ADC內(nèi)作矩形EFGH，點(diǎn)F在DC上，點(diǎn)G，H在AC上，設(shè)DE＝x，連接BE． （1）當(dāng)矩形EFGH是正方形時(shí)，直接寫出EF的長；

14、 （2）設(shè)△ABE的面積為S1，矩形EFGH的面積為S2，令y＝，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）； （3）如圖②，點(diǎn)P（a，b）是（2）中得到的函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于M，N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最小值，并說明理由． 17．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)． 小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AO

15、B的平分線． 簡述理由如下： 由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線． 小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線． …… 任務(wù)： （1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是 （填序號(hào)）． ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL （2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷

16、并說明理由． （3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝+1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫出線段OC的長． 18．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF． （1）求證：CF⊥FB； （2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切； （3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積． 19．已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直

17、角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，設(shè)BE＝m． （1）如圖，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連接CF， ①當(dāng)m＝時(shí)，求線段CF的長； ②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值； （2）設(shè)過BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式． 20．【推理】 如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點(diǎn)G． （1）求證：△BCE≌△CDG． 【運(yùn)用】 （

18、2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點(diǎn)H．若，CE＝9，求線段DE的長． 【拓展】 （3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點(diǎn)，若＝k，＝，求的值（用含k的代數(shù)式表示）． 21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE． （1）比較∠BAE與∠CAD的大?。挥玫仁奖硎揪€段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明． 22．如圖1

19、，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、B），過點(diǎn)B作BE垂直于射線CD，垂足為E，點(diǎn)F在射線CD上，且EF＝BE，連接AF、BF． （1）求證：△ABF∽△CBE； （2）如圖2，連接AE，點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點(diǎn)，連接PM、MN、PN．求∠PMN的度數(shù)及的值； （3）在（2）的條件下，若BC＝，直接寫出△PMN面積的最大值． 23．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究： 【觀察與猜想】 （1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則

20、的值為 ； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則的值為 ； 【類比探究】 （3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長線于點(diǎn)G，交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：DE?AB＝CF?AD； 【拓展延伸】 （4）如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF． ①求的值； ②連接BF，若AE＝1，直接寫出BF的長度． 24

21、．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，頂點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E（﹣，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線DC經(jīng)過點(diǎn)B． （Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O′C′D′E′，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′，C′，D′，E′．設(shè)OO′＝t，矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分的面積為S． ①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E′在x軸正半軸上，且矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分為四邊形時(shí)，D′E′與OB相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍； ②當(dāng)≤

22、t≤時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可） 25．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC邊上的一點(diǎn)，D為AN的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CD的延長線于T，且AT＝BN，連接BT． （1）求證：BN＝CN； （2）在圖1中AN上取一點(diǎn)O，使AO＝OC，作N關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MT、MO、OC、OT、CM得圖2． ①求證：△TOM∽△AOC； ②設(shè)TM與AC相交于點(diǎn)P，連接PD，求證：PD∥CM，PD＝CM． 26．問題提出 如圖（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點(diǎn)F．線段AF

23、，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 問題探究 （1）先將問題特殊化如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）再探究一般情形如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立． 問題拓展 如圖（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常數(shù)），點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點(diǎn)F．直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系． 27．【證明體驗(yàn)】 （1）如圖1，AD為△ABC的角平分線，∠ADC＝60°，點(diǎn)E在AB上，AE＝AC．求證：DE平分∠ADB．

24、 【思考探究】 （2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連結(jié)FC交AD于點(diǎn)G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的長． 【拓展延伸】 （3）如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，點(diǎn)E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的長． 28．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如圖1，已知點(diǎn)D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．試探究BD與CE的關(guān)系； （2）如圖2，已知點(diǎn)D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，

25、AD交BC于點(diǎn)F，求AF的長； （3）如圖3，已知點(diǎn)D在BC下方，連結(jié)AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值． 29．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上，過點(diǎn)B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C． （1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D． ①若BA＝BO，求證：CD＝CO． ②若∠CBO＝45°，求四邊形ABOC的面積． （2）是否存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求OB的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 30．如

26、圖，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作MN∥OB分別交AO、AB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）． （1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）； （2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值； （3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由； （4）連接AP，當(dāng)∠OAP＝∠BPN時(shí)，求點(diǎn)N到OA的距離． 參考答案 1．解：延長E

27、A交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖， ∵AB∥x軸，AE⊥CD，AB∥CD， ∴AG⊥x軸． ∵AO⊥AD， ∴∠DAE+∠OAG＝90°． ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠D＝90°． ∴∠D＝∠OAG． 在△DAE和△AOG中， ． ∴△DAE≌△AOG（AAS）． ∴DE＝AG，AE＝OG． ∵四邊形ABCD是菱形，DE＝4CE， ∴AD＝CD＝DE． 設(shè)DE＝4a，則AD＝OA＝5a． ∴OG＝AE＝． ∴EG＝AE+AG＝7a． ∴E（3a，7a）． ∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E， ∴k＝21a2． ∵AG⊥GH，F(xiàn)H

28、⊥GH，AF⊥AG， ∴四邊形AGHF為矩形． ∴HF＝AG＝4a． ∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上， ∴x＝． ∴F（）． ∴OH＝a，F(xiàn)H＝4a． ∴GH＝OH﹣OG＝． ∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝， ∴． ××﹣＝． 解得：a2＝． ∴k＝21a2＝21×＝． 故選：A． 2．解：（1）連接CE，過點(diǎn)F作FQ⊥BC于Q， ∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°， ∴FA＝FQ， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴FQ＝CF， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝∠BAC＝9

29、0°， ∴∠BAD＝∠CAE， 由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CBF+∠BEC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF+∠BEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠BEC＝∠CFE， ∴CF＝CE＝2， ∴AF＝FQ＝CF＝； （2）AG＝CD， 理由：延長BA至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接EM， ∵G是BE的中點(diǎn)， ∴AG＝ME， ∵∠BAC+∠

30、DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°， ∴∠DAE＝∠CAM， ∴∠DAC＝∠EAM， ∵AB＝AM，AB＝AC， ∴AC＝AM， ∵AD＝AE， ∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴CD＝EM， ∴AG＝CD； （3）如圖3，連接DE，AD與BE的交點(diǎn)記作點(diǎn)N， ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等邊三角形， ∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝∠ABC＝

31、30°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)共圓， ∴∠BEC＝∠BAC＝120°， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°， ∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°， ∵AE＝DE， ∴AN＝DN， ∴BE是AD的垂直平分線， ∴AG＝DG，BA＝BD＝AC， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°， ∴∠ACE＝∠ABE＝15°， ∴∠DCE＝45°， ∵∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝45°＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AD＝DE， 設(shè)AG＝a，則DG＝a， 由（2）知，AG＝CD， ∴CD

32、＝2AG＝2a， ∴CE＝DE＝CD＝a， ∴AD＝a， ∴DN＝AD＝a， 過點(diǎn)D作DH⊥AC于H， 在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a， ∴DH＝a， 根據(jù)勾股定理得，CH＝a， 在Rt△AHD中，根據(jù)勾股定理得，AH＝＝a， ∴AC＝AH+CH＝a+a， ∴BD＝a+a， ∴＝＝． 3．解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形， ∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°， ∴△DAE≌△BAF（SAS）， ∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF， ∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ADE+∠AFB＝90°， 在Rt△

33、BAF中，M是BF的中點(diǎn)， ∴AM＝FM＝BM＝BF， ∴DE＝2AM． ∵AM＝FM， ∴∠AFB＝∠MAF， 又∵∠ADE+∠AFB＝90°， ∴∠ADE+∠MAF＝90°， ∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°， 即AN⊥DN； 故答案為DE＝2AM，DE⊥AM． （2）仍然成立， 證明如下：延長AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH， ∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)， ∴BM＝FM， 又∵∠AMB＝∠HMF， ∴△AMB≌△HMF（SAS）， ∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM， ∴AB∥HF， ∴∠HFG＝∠AGF， ∵四邊形ABCD和四邊形A

34、EGF是正方形， ∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF， ∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH， ∴△EAD≌△AFH（SAS）， ∴DE＝AH， 又∵AM＝MH， ∴DE＝AM+MH＝2AM， ∵△EAD≌△AFH， ∴∠ADE＝∠FHA， ∵△AMB≌△HMF， ∴∠FHA＝∠BAM， ∴∠ADE＝∠BAM， 又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°， ∴∠ADE+∠DAM＝90°， ∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°， 即AN⊥DN． 故線段DE與AM之

35、間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM．線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM． 4．解：（1）方法一：如圖1，連接PB，PC， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∵α＝120°，即∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠ADC＝60°， ∴∠BEP＝60°＝∠B， 由旋轉(zhuǎn)知：EP＝EB， ∴△BPE是等邊三角形， ∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°， ∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°， ∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°， ∴∠AEP＝∠CBP， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝30°， ∴∠AED＝∠CDE＝

36、30°＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴AE＝BC， ∴△APE≌△CPB（SAS）， ∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB， ∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE， 即∠APC＝∠BPE＝60°， ∴△APC是等邊三角形， ∴AP＝AC； 方法二：如圖1，延長PE交CD于點(diǎn)Q，連接AQ， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵α＝120°，即∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠ADC＝60°， ∴∠BEP＝60°＝∠B， ∴PE∥BC∥AD， ∴四邊形ADQE和四邊形BCQE是平行四邊形， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝30

37、°， ∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴四邊形ADQE是菱形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°， ∴△AEQ是等邊三角形， ∴AE＝AQ，∠AQE＝60°， ∵四邊形BCQE是平行四邊形， ∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°， ∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°， ∴∠AEP＝∠AQC， ∴△AEP≌△AQC（SAS）， ∴AP＝AC； （2）AB2+AD2＝2AF2， 理由：如圖2，連接CF， 在?ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC， ∵DE平分∠ADC

38、， ∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∴∠AED＝∠ADE＝45°， ∴AD＝AE， ∴AE＝BC， ∵BF⊥EP， ∴∠BFE＝90°， ∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°， ∴∠EBF＝∠BEF＝45°， ∴BF＝EF， ∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°， ∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°， ∴∠CBF＝∠AEF， ∴△BCF≌△EAF（SAS）， ∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE， ∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°， ∴∠ACF＝∠CAF＝45°， ∵sin∠ACF＝， ∴AC＝＝

39、＝＝AF， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+AD2＝2AF2； （3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE， ∵BE＝AB，AB＝CD， ∴AB＝CD＝2BE， 設(shè)BE＝a，則PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a， ①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M，作GN⊥CD于點(diǎn)N， 過點(diǎn)C作CK⊥AD于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥PE的延長線于點(diǎn)H， 當(dāng)α＝120°時(shí)，∠B＝∠ADC＝60°， ∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD， ∴GM＝GN， ∵S△ACD＝AD?CK＝a?2a?sin60°＝a2， ＝＝＝＝2， ∴S

40、△CDG＝2S△ADG， ∴S△CDG＝S△ACD＝a2， 由（1）知PE∥BC， ∴∠AEH＝∠B＝60°， ∵∠H＝90°， ∴AH＝AE?sin60°＝a， ∴S△APE＝PE?AH＝a?a＝a2， ∴＝＝． ②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)， 由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2， S△APE＝PH?AE＝×a×3a＝a2， ∴＝＝， 綜上所述，△APE與△CDG面積的比值為或． 方法二：如圖3，∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴△AEG∽△CDG， ∴＝（）2，＝， ①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，

41、 ∵BE＝AB， ∴AE＝BE＝AB＝CD， ∴＝（）2＝， 又∵＝＝， ∴＝，即＝3， ∴＝＝3， 當(dāng)α＝120°時(shí)，∠B＝∠ADC＝60°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE， ∴AE＝AD， ∵EP＝EB＝AE，EP∥AD， ∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°， ∴△AED≌△EAP（SAS）， ∴S△AED＝S△EAP， ∴＝?＝?＝3×＝； ②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)， ∵BE＝AB， ∴AE＝AB＝CD， 由①知，AD＝AE＝CD， ∵EP＝BE＝AE

42、＝AD，EP∥AD， ∴＝＝， ∵＝＝， ∴＝， ∴＝＝， ∵＝（）2＝（）2＝， ∴＝??＝××＝； 綜上所述，△APE與△CDG面積的比值為或． 5．解：（1）猜想：OC＝OD． 理由：如圖1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACO＝∠BDO＝90° 在△AOC與△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OC＝OD， 故答案為：OC＝OD； （2）數(shù)量關(guān)系依然成立． 理由：過點(diǎn)O作直線EF∥CD，交AC的延長線于點(diǎn)E， ∵EF∥CD， ∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°， ∴四邊形CEFD為矩形， ∴∠OFD＝90°，CE

43、＝DF， 由（1）知，OE＝OF， 在△COE與△DOF中， ， ∴△COE≌DOF（SAS）， ∴OC＝OD； （3）①結(jié)論成立． 理由：如圖3中，延長CO交BD的延長線于點(diǎn)E， ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∴∠ACO＝∠E， ∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)， ∴AO＝BO， 又∵∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC≌△BOE（AAS）， ∴CO＝OE， ∵∠CDE＝90°， ∴OD＝OC＝OE， ∴OC＝OD． ②結(jié)論：AC+BD＝OC． 理由：如圖3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC， ∴△COD是等邊三角形， ∴CD＝OC，∠OCD＝60

44、°， ∵∠CDE＝90°， ∴tan60°＝， ∴DE＝CD， ∵△AOC≌△BOE， ∴AC＝BE， ∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD， ∴AC+BD＝OC． 6．解：（1）如圖， 在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°， ∴tan60°＝＝， ∴DQ＝AD＝1cm． （2）點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3÷1＝3（s）， ∴點(diǎn)P在BC上時(shí)PB＝（x﹣3）． （3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P在AB上，作PM⊥CD于點(diǎn)M，PQ交AB于點(diǎn)E，作EN⊥CD于點(diǎn)N， 同（1）可得MQ＝AD＝1cm． ∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm， 當(dāng)x+1＝

45、3時(shí)x＝2， ∴0≤x≤2時(shí)，點(diǎn)Q在DC上， ∵tan∠BDC＝＝， ∴∠DBC＝30°， ∵∠PQD＝60°， ∴∠DEQ＝90°． ∵sin30°＝＝， ∴EQ＝DQ＝， ∵sin60°＝＝， ∴EN＝EQ＝（x+1）cm， ∴y＝DQ?EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）． 當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)Q在DC延長線上，PQ交BC于點(diǎn)F，如圖， ∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝， ∴CF＝CQ?tan60°＝（x﹣2）cm， ∴S△CQF＝CQ?CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2） cm2， ∴y＝

46、S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+x﹣） cm2（2＜x≤3）． 當(dāng)3＜x≤4時(shí)，點(diǎn)P在BC上，如圖， ∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x） cm， ∴y＝DC?CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）． 綜上所述，y＝ 7．（1）證明：如圖①中， ∵EA＝ED，∠EAD＝45°， ∴∠EAD＝∠EDA＝45°， ∴∠AED＝90°， ∵BF＝FD， ∴EF＝DB， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD＝45°， ∵∠ABC＝∠AED＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AC＝AB， ∴AD垂直平分

47、線段BC， ∴DC＝DB， ∴EF＝CD． （2）解：如圖②中，結(jié)論：EF＝CD． 理由：取CD的中點(diǎn)T，連接AT，TF，ET，TE交AD于點(diǎn)O． ∵∠CAD＝90°，CT＝DT， ∴AT＝CT＝DT， ∵EA＝ED， ∴ET垂直平分線段AD， ∴AO＝OD， ∵∠AED＝90°， ∴OE＝OA＝OD， ∵CT＝TD，BF＝DF， ∴BC∥FT， ∴∠ABC＝∠OFT＝45°， ∵∠TOF＝90°， ∴∠OTF＝∠OFT＝45°， ∴OT＝OF， ∴AF＝ET， ∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，F(xiàn)A＝TE， ∴△AFT≌△ETF（SAS）， ∴E

48、F＝AT， ∴EF＝CD． 如圖③中，結(jié)論：EF＝CD． 理由：取AD的中點(diǎn)O，連接OF，OE． ∵EA＝ED，∠AED＝60°， ∴△ADE是等邊三角形， ∵AO＝OD， ∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°， ∴tan∠AEO＝＝， ∴＝， ∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∵AO＝OD，BF＝FD， ∴OF＝AB， ∴＝， ∴＝， ∵OF∥AB， ∴∠DOF＝∠DAB， ∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°， ∴∠EOF＝∠DAC， ∴△EOF∽△DAC， ∴＝＝， ∴EF＝CD．

49、8．解：（1）如圖1，連接BD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， 在△BAP和△BCD中， ， ∴△BAP≌△BCD（SAS）， ∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD， ∵∠ABP+∠PBC＝60°， ∴∠CBD+∠PBC＝60°， 即∠PBD＝60°， ∴△BDP是等邊三角形， ∴∠BPD＝60°， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BPC＝90°， ∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°； （2）如圖2，連接AP交BC于D， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BP＝CP， ∴A

50、D⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB， ∴AD＝AB?sin∠ABC＝AB?sin60°＝AB， ∵AB＝4BP， ∴BP＝AB， ∴PD＝＝＝AB， ∴PD＝AD，即點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)， ∵EC＝3BE， ∴BE＝BC，BC＝4BE， ∵BD＝BC， ∴BE＝BD，即點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)， ∴EP是△ABD的中位線， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴＝＝＝， ∴4EF＝3AB； （3）如圖3，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，作PH⊥AC于點(diǎn)H， 由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a， ∵∠C

51、MP＝150°， ∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°， ∵∠CHP＝90°， ∴PH＝PM?sin∠PMF＝a?sin30°＝a， MH＝PM?cos∠PMF＝a?cos30°＝a， ∵EF⊥BC， ∴∠CEF＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CFE＝∠PMF， ∴PF＝PM＝a， ∴FH＝PF?cos∠PFH＝a?cos30°＝a， ∵AM＝2MC， ∴CM＝AC＝×6a＝2a， ∴CF＝CM++MH+HF＝5a， ∴EF＝CF?sin∠ACB＝5a?sin60°＝a， ∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a

52、， ∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC?AD﹣BC?PE＝BC?（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2． 9．（1）證明：如圖， 連接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°， ∴△ABC和△ADE為等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD與△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°，則CE⊥BD， ∵AF⊥BD， ∴AF∥CE，BF＝FC， ∴＝＝1， ∴BG＝EG． （

53、2）解：如圖， 過點(diǎn)D作DM⊥AG，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AG，交AG的延長線于點(diǎn)N， 在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°， 設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝a，AC＝b， ∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴sin∠1＝sin∠2， ∴＝，即＝＝＝， 同理可證∠3＝∠4，＝＝， ∴＝， ∴DM＝CN， 在△DGM和△CGN中，有： ， ∴△DGM≌△CGN（AAS）， ∴DG＝CG， ∴＝1． 10．解：（1）①當(dāng)n＝60時(shí)，△ABC和△DEC均為等邊三角形， ∴BC＝AC，

54、EC＝DC， 又∵BE＝BC﹣EC， AD＝AC﹣DC， ∴BE＝AD， 故答案為：BE＝AD； ②BE＝AD，理由如下： 當(dāng)點(diǎn)D不在AC上時(shí)， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）①BE＝AD，理由如下： 當(dāng)n＝90時(shí)，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45， 在等腰直角三角形ABC中：＝， ∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°， ∴∠ECB＝∠DCA 在△DCA和

55、△ECB中， ， ∴△DCA∽△ECB， ∴， ∴BE＝， ②DC＝5或，理由如下： 當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，設(shè)EC與AB交于點(diǎn)F，如圖所示： ∵AB＝3，AD＝1 由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝， 又∵BE∥AC， ∴∠EBF＝∠CAF＝90°， 而∠EFB＝∠CFA， ∴△EFB∽△CFA， ∴＝＝， ∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3， ∴BF＝＝， 在Rt△EBF中：EF＝＝＝， 又∵CF＝3EF＝3×＝， ∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5）， 在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC?cos45°＝5×＝5． 當(dāng)點(diǎn)D在△AB

56、C內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H ∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45° ∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝， ∴CD＝＝＝， 綜上所述，滿足條件的CD的值為5或． 11．解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形． 理由如下：如圖2，連接AC、BD， ∵AB＝AD， ∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上， ∵CB＝CD， ∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上， ∴直線AC是線段BD的垂直平分線， ∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形； （2）AB2+CD2＝AD2+BC2， 理由如下： 如圖1中， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝9

57、0°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （3）如圖3，連接CG、BE， ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°， ∵∠AME＝∠BMN， ∴∠ABG+∠BMN＝90°， 即CE⊥

58、BG， ∴四邊形CGEB是垂美四邊形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3， ∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73， ∴GE＝． 12．解：（1）∵四邊形ABCD為正方形， ∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°， ∵CE＝AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2）①∵△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴△DFE為等腰直角三角形， ∵DH⊥EF，

59、 ∴點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)， ∴DH＝EF， 同理，由HB是Rt△EBF的中線得：HB＝EF， ∴HD＝HB； ②∵四邊形ABCD為正方形， 故CD＝CB， ∵HD＝HB，CH＝CH， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DCH＝∠BCH＝45°， ∵△DEF為等腰直角三角形， ∴∠DFE＝45°， ∴∠HCE＝∠DFK， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DKF＝∠HEC， ∴△DKF∽△HEC， ∴， ∴DK?HC＝DF?HE， 在等腰直角三角形DFH中，DF＝HF＝HE， ∴DK?HC＝DF?HE＝HE2＝， ∴HE＝1． 13．（1）

60、解：如圖1中， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°， ∴ABC，△ADC都是等腰三角形， ∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF， ∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°， ∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF，AE＝AF， ∵CB＝CD， ∴CE＝CF， ∴△AEF，△CEF都是等腰三角形， 故答案為：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC． （2）解：結(jié)論：PQ＝BP+DQ． 理由：如圖2中，延長CB到T，使得BT＝DQ． ∵A

61、D＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT， ∴△ADQ≌△ABT（SAS）， ∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°， ∴∠PAT＝∠PAQ＝45°， ∵AP＝AP， ∴△PAT≌△PAQ（SAS）， ∴PQ＝PT， ∵PT＝PB+BT＝PB+DQ， ∴PQ＝BP+DQ． 故答案為：PQ＝BP+DQ． （3）解：如圖3中， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB， ∵∠BAC＝∠PAQ＝45°， ∴∠BAM＝∠CAQ， ∴△CAQ∽△B

62、AM， ∴＝＝， 故答案為：． （4）證明：如圖4中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM． ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠BAM＝45°， ∵∠DAN＝∠BAR， ∴∠BAM+∠BAR＝45°， ∴∠MAR＝∠MAN＝45°， ∵AR＝AN，AM＝AM， ∴△AMR≌△AMN（SAS）， ∴RM＝MN， ∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°， ∴∠RBM＝90°， ∴RM2＝BR2+BM2， ∵DN＝BR，MN＝RM， ∴BM2+DN2＝MN2． 14．操作一： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠C＝∠BAD

63、＝90°， 由折疊的性質(zhì)得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF， ∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°， 即∠EAF＝45°， 故答案為：45； 操作二： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， 由折疊的性質(zhì)得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM， ∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°， 由操作一得：∠EAF＝45°， ∴△ANF是等腰直角三角形， ∴∠AFN＝45°， ∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE， ∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°， ∴∠NFE＝∠CFE＝30°， ∴

64、∠AEF＝90°﹣30°＝60°， 故答案為：60； （1）證明：∵△ANF是等腰直角三角形， ∴AN＝FN， ∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM， ∴∠NAP＝∠NFE＝30°， 在△ANP和△FNE中， ， ∴△ANP≌△FNE（ASA）； （2）由（1）得：△ANP≌△FNE， ∴AP＝FE，PN＝EN， ∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°， ∴∠NEF＝∠CEF＝60°， ∴∠AEB＝60°， ∵∠B＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝AB＝1， ∴AE＝2BE＝2， 設(shè)PN＝EN＝a， ∵∠ANP＝90°，∠

65、NAP＝30°， ∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a， ∵AN+EN＝AE， ∴a+a＝2， 解得：a＝﹣1， ∴AP＝2a＝2﹣2， 故答案為：2﹣2． 15．解：【類比探究】過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∵DE＝CE，EF⊥CD， ∴DF＝CF＝CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°， ∴AD∥EF， ∴S△ADE＝S△ADF， ∴S△ADE＝×AD×DF＝×4×2＝4； 【拓展應(yīng)用】如圖③，連接CF， ∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形， ∴∠BDC＝45°，∠GCF＝

66、45°， ∴∠BDC＝∠GCF， ∴BD∥CF， ∴S△BDF＝S△BCD， ∴S△BDF＝BC×BC＝8． 16．解：（1）設(shè)EF＝m． ∵BC＝14，BD＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8， ∵AD＝8， ∴AD＝DC＝8， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝AD＝8， ∵四邊形EFGH是正方形， ∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°， ∴∠AHE＝∠FGC＝90°， ∵∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°， ∴AH＝EH＝m，CG＝FG＝m， ∴3m＝8， ∴m＝， ∴EF＝． （2）∵四邊形EFGH是矩形， ∴EF∥AC， ∴∠DEF＝∠DAC，∠DFE＝∠C， ∵∠DAC＝∠C， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝x，DA＝DC＝8， ∴AE＝CF＝8﹣x， ∴EH＝AE＝（8﹣x），EF＝DE＝x， ∴y＝＝＝， ∴y＝（0＜x＜8）． （3）如圖②中，由（2）可知點(diǎn)P在y＝上， 設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b， 把P