數(shù)學(xué)第九章 平面解析幾何 第二節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 文

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系總綱目錄教材研讀1.兩條直線平行與垂直的判定考點(diǎn)突破2.兩直線相交3.三種距離考點(diǎn)二距離問題考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)三對稱問題1.兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1、l2,若其斜率分別為k1、k2,則有l(wèi)1l2k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí),l1與l2平行平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1、l2的斜率都存在,設(shè)為k1、k2,則有l(wèi)1l2k1k2=-1.當(dāng)一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在時(shí),兩條直線互相垂直垂直.教材研讀教材研讀2.兩直線相交兩直線相交直線l1:A1x+B1y+C1=0且l2:A2x+B2y+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).相交方程組有唯一解唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;平行方程組無解無解;重合方程組有無數(shù)個(gè)解無數(shù)個(gè)解.1112220,0AxB yCA xB yC3.三種距離三種距離 點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|= 點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d= 線線距兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d= 222121(xx )(yy )0022|Axy|ABBC1222|CC |AB1.過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0A答案答案 A由題意知,斜率k=,又直線過點(diǎn)(1,0),所以所求直線方程為y=(x-1),即x-2y-1=0.12122.兩條直線l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交點(diǎn)為()A. B.C. D. 2 9,5 52 9,5 529,5529,55B答案答案 B解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)為.210,240,xyxy 2,59,5xy 2 9,5 53.已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a等于()A. B.2- C.-1 D.+12222D答案答案 D由題意得,d=1,|a+1|=,a0,a=-1.22|23|1( 1)a 224.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1,l2之間的距離為()A.1 B.C. D.223B答案答案 B由題意可知l1與l2平行,故l1與l2之間的距離d=,故選B.1222|CCAB|1 ( 1)|2 25.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x,-x)和B,那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是 .22,0212答案答案 12解析解析由題意可得兩點(diǎn)間的距離d=,即最小值為.222( 2)2xx23 21244x12126.若直線(3a+2)x+(1-4a)y+8=0與(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,則a= .0或或1答案答案0或1解析解析由題意知(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,整理得a2-a=0,解得a=0或1.典例典例1(1)已知過點(diǎn)A(-2,m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1,直線2x+y-1=0為l2,直線x+ny+1=0為l3.若l1l2,l2l3,則實(shí)數(shù)m+n的值為 .(2)已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值.l1l2,且直線l1過點(diǎn)(-3,-1);l1l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)-10解析解析(1)l1l2,=-2(m-2),解得m=-8(經(jīng)檢驗(yàn),l1與l2不重合),l2l3,21+1n=0,解得n=-2,m+n=-10.(2)因?yàn)閘1l2,所以a(a-1)-b=0.又因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.因?yàn)橹本€l2的斜率存在,l1l2,所以直線l1的斜率存在.所以=1-a.(*)42mmab又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等,所以l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即=b.(*)聯(lián)立(*)(*)可得a=2,b=-2或a=,b=2.4b231.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行或垂直的方法(1)兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等;(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積等于-1.提醒當(dāng)直線斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況.方法技巧方法技巧2.由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法提醒在判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí),比例式與,的關(guān)系容易記住,在解答選擇題、填空題時(shí),建議多用比例式來解答.直線方程l1:A1x+B1y+C1=0(+0)l2:A2x+B2y+C2=0(+0)l1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2平行的充要條件=(A2B2C20)l1與l2相交的充要條件(A2B20)l1與l2重合的充要條件=(A2B2C20)21A21B22A22B12AA12BB12CC12AA12BB12AA12BB12CC12AA12BB12CC1-1若直線2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一點(diǎn),則a的值為 .23答案答案 23解析解析解方程組可得所以直線2x-y=-10與y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a(-9)-2,所以a=.210,1,xyyx 9,8,xy 231-2經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點(diǎn)P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為 .4x+3y-6=0答案答案4x+3y-6=0解析解析解法一:由方程組得即P(0,2).ll3,直線l的斜率k=-,直線l的方程為y-2=-x,即4x+3y-6=0.解法二:直線l過直線l1和l2的交點(diǎn),可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+(x+y-2)=0,240,20,xyxy0,2,xy4343即(1+)x+(-2)y+4-2=0.l與l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直線l的方程為12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.1-3 (2018湖北武漢質(zhì)檢)已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,試確定m,n的值,使(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1);(2)l1l2;(3)l1l2,且l1在y軸上的截距為-1.解析解析(1)由題意得解得m=1,n=7.即當(dāng)m=1,n=7時(shí),l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1),即當(dāng)m=1,n=7時(shí),l1與l2相交于點(diǎn)P(1,-1).(2)l1l2,解得或即m=4,n-2或m=-4,n2時(shí),l1l2.280,210,mnmm 2160,20,mmn4,2mn 4,2.mn (3)當(dāng)且僅當(dāng)2m+8m=0,即m=0時(shí),l1l2.又-=-1,n=8.即m=0,n=8時(shí),l1l2,且l1在y軸上的截距為-1.8n典例典例2(1)若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點(diǎn),則|PQ|的最小值為()A. B. C. D.(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0,在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,且點(diǎn)P到直線l的距離為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .951852910295考點(diǎn)二距離問題考點(diǎn)二距離問題答案答案(1)C(2)(1,-4)或 278,77解析解析(1)因?yàn)?,所以兩直線平行,由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離,即=,所以|PQ|的最小值為.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),A(4,-3),B(2,-1),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-2),而AB的斜率kAB=-1,線段AB的垂直平分線方程為y+2=x-3,即x-y-5=0.點(diǎn)P(a,b)在直線x-y-5=0上,a-b-5=0.364812522| 245|68291029103 142 又點(diǎn)P(a,b)到直線l:4x+3y-2=0的距離為2,=2,即4a+3b-2=10,由聯(lián)立可得或點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4)或.|432|5ab1,4ab 27,78.7ab 278,77易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示(1)點(diǎn)P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)在運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí)要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.同類練同類練(1)已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是()A. B. C.8 D.2(2)已知P是直線2x-3y+6=0上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,1),若|PO|=|PA|,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .1710175答案答案(1)D(2)(3,4)解析解析(1)由題意得=,m=8,則直線6x+my+14=0可化為3x+4y+7=0,兩平行線之間的距離d=2.(2)解法一:設(shè)P(a,b),則解得a=3,b=4,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4).解法二:線段OA的中垂線的方程為x-y+1=0,則由634m14322| 37|34 22222360,(1)(1) ,ababab2360,10,xyxy 解得則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4).3,4,xy變式練變式練如圖,P是函數(shù)y=x+(x0)上一點(diǎn),過P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為A,B.(1)求證:|PA|PB|為定值;(2)求四邊形OAPB面積的最小值. 1x解析解析(1)證明:設(shè)P(x00),|PA|=-=.|PB|=|x0|=x0.|PA|PB|=x0=.|PA|PB|為定值.(2)連接OP(圖略),直線PA的方程為y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.0001,x xx00012xxx012x012x222201x01x由方程組解得x=y=x0+,即A,|OA|=.S四邊形OAPB=SOPA+SOPB=|OA|PA|+|OB|PB|=+x0=1+1+.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x0=時(shí),四邊形OAPB面積取最小值1+.00,12,yxyxxx 012x000011,22xxxx20012xx12121220012xx012x12001xx12202212xx2220 x2012x41222深化練深化練點(diǎn)P(-2,-1)到直線l:(1+3)x+(1+2)y=2+5的距離為d,則d的取值范圍是()A.0d D.d 131313A答案答案A直線l:(1+3)x+(1+2)y=2+5可化為(x+y-2)+(3x+2y-5)=0.由得直線l恒過定點(diǎn)A(1,1)(不包括直線3x+2y-5=0),|PA|=,由此易知點(diǎn)P(-2,-1)到直線l:(1+3)x+(1+2)y=2+5的距離d的取值范圍是0d,故選A.20,3250 xyxy1,1,xy22( 2 1)( 1 1) 1313考點(diǎn)三對稱問題考點(diǎn)三對稱問題命題方向命題視角點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn)關(guān)于線的對稱考查垂直平分線線關(guān)于線的對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線的對稱典例典例3過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分,求直線l的方程.命題方向一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱命題方向一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱解析解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8-2a),則由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在l2上,將其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,則A(4,0),又P(0,1),所以直線l的方程為x+4y-4=0.典例典例4已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線的方程為 .命題方向二點(diǎn)關(guān)于線的對稱命題方向二點(diǎn)關(guān)于線的對稱6x-y-6=0答案答案6x-y-6=0解析解析設(shè)點(diǎn)M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點(diǎn)為M(a,b),則反射光線所在直線過點(diǎn)M,所以解得a=1,b=0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),所以所求直線的方程為=,即6x-y-6=0.411,( 3)3430,22baab 060y 12 1x命題方向三線關(guān)于線的對稱命題方向三線關(guān)于線的對稱典例典例5求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l:2x-3y+1=0的對稱直線m的方程.解析解析在直線m上任取一點(diǎn),如點(diǎn)M(2,0),則點(diǎn)M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M必在直線m上.設(shè)點(diǎn)M的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則解得故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.202310,22021,23abba 6,1330,13ab6 30,13 13設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N,由解得則N(4,3).由兩點(diǎn)式可得直線m的方程為9x-46y+102=0.2310,3260,xyxy 4,3,xy1.關(guān)于中心對稱問題的處理方法(1)若點(diǎn)M(x1,y1)及N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得(2)求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的方程,其主要方法:在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程,或者求出一個(gè)對稱點(diǎn),再利用兩直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程,當(dāng)然,斜率必須存在.112,2.xaxyby方法技巧方法技巧2.關(guān)于軸對稱問題的處理方法若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,則線段P1P2的中點(diǎn)在l上,且連接P1P2的直線垂直于l,由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B0,x1x2).121221210,221,xxyyABCyyAxxB 3-1如圖所示,已知兩點(diǎn)A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是()A.2 B.6 C.3 D.2 1035A答案答案 A易得AB所在的直線方程為x+y=4,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB對稱的點(diǎn)為A1,則A1(4,2),點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為A2,則A2(-2,0),則光線所經(jīng)過的路程即A1(4,2)與A2(-2,0)兩點(diǎn)間的距離.于是|A1A2|= 2 .22(42)(20)103-2已知點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線y=kx+b對稱的點(diǎn)是B(-2,1),則直線y=kx+b在x軸上的截距是 .56解析解析由題意得線段AB的中點(diǎn)在直線y=kx+b上,直線AB與直線y=kx+b垂直,故解得k=-,b=.所以直線y=kx+b的方程即為y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直線y=kx+b在x軸上的截距為.1,223 11,1212,2kkb 3254325432545656答案答案 563-3直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線方程為 .3x+4y+5=0答案答案3x+4y+5=0解析解析設(shè)A(x,y)為所求直線上的任意一點(diǎn),則A(x,-y)在直線3x-4y+5=0上,即3x-4(-y)+5=0,故所求直線方程為3x+4y+5=0.