高中數(shù)學(xué) 232數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例綜合測試 新人教B版選修2－2

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1、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例 一、選擇題 1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（　?。? Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件 答案：Ａ 2．結(jié)論為：能被整除，令驗證結(jié)論是否正確，得到此結(jié)論成立的條件可以為（　?。? Ａ． Ｂ．且 Ｃ．為正奇數(shù) Ｄ．為正偶數(shù) 答案：Ｃ 3．在中，，則一定是（　?。? Ａ．銳角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．不確定 答案：Ｃ 4．在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類經(jīng)上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則的一個不等關(guān)系是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答

2、案：Ｂ 5．（1）已知，求證，用反證法證明時，可假設(shè)， （2）已知，，求證方程的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設(shè)方程有一根的絕對值大于或等于1，即假設(shè)，以下結(jié)論正確的是（　　） Ａ．與的假設(shè)都錯誤 Ｂ．與的假設(shè)都正確 Ｃ．的假設(shè)正確；的假設(shè)錯誤 Ｄ．的假設(shè)錯誤；的假設(shè)正確 答案：Ｄ 6．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 7．如圖，在梯形中，．若，到與的距離之比為，則可推算出：．試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果．在上面的梯形中，延長梯形兩腰相交于點，設(shè)，的面積分別為，且到與的距離之比為，

3、則的面積與的關(guān)系是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 8．已知，且，則（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 9．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（　?。? Ａ．假設(shè)都是偶數(shù) Ｂ．假設(shè)都不是偶數(shù) Ｃ．假設(shè)至多有一個是偶數(shù) Ｄ．假設(shè)至多有兩個是偶數(shù) 答案：Ｂ 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 11．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，，，其中，且，下面正確的

4、運算公式是（　　） ①； ②； ③； ④； Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④ 答案：Ｄ 12．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 則上起第2005行，左起第2006列的數(shù)應(yīng)為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 二、填空題 13．寫出用三段論證明為奇函數(shù)的步驟是　　　?。? 答案：滿足的函數(shù)是

5、奇函數(shù)，　　　　　　　　大前提 ，　　小前提 所以是奇函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　 結(jié)論 14．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，等于　　　　　． 答案： 15．由三角形的性質(zhì)通過類比推理，得到四面體的如下性質(zhì)：四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心，那么原來三角形的性質(zhì)為　　　　?。? 答案：三角形內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心 16．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖： 設(shè)第個圖有個樹枝，則與之間的關(guān)系是　　　?。? 答案： 三、解答題 17．如圖（1），在三角形中，，若

6、，則；若類比該命題，如圖（2），三棱錐中，面，若點在三角形所在平面內(nèi)的射影為，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題． 解：命題是：三棱錐中，面，若點在三角形所在平面內(nèi)的射影為，則有是一個真命題． 證明如下： 在圖（2）中，連結(jié)，并延長交于，連結(jié)，則有． 因為面，，所以． 又，所以． 于是． 18．如圖，已知矩形所在平面，分別是的中點． 求證：（1）平面；（2）． 證明：（1）取的中點，連結(jié)． 分別為的中點． 為的中位線， ，，而為矩形， ，且． ，且． 為平行四邊形，，而平面，平面， 平面． （2）矩形所在平面， ，

7、而，與是平面內(nèi)的兩條直交直線， 平面，而平面， ． 又，． 19．求證：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大． 證明：（分析法）設(shè)圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為， 正方形的面積為． 因此本題只需證明． 要證明上式，只需證明， 兩邊同乘以正數(shù)，得． 因此，只需證明． 上式是成立的，所以． 這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積最大． 20．已知實數(shù)滿足，，求證中至少有一個是負數(shù)． 證明：假設(shè)都是非負實數(shù)，因為， 所以，所以，， 所以， 這與已知相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得中至少有一

8、個是負數(shù)． 21．設(shè)，（其中，且）． （1）請你推測能否用來表示； （2）如果（1）中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣． 解：（1）由， 又， 因此． （2）由，即， 于是推測． 證明：因為，（大前提）． 所以，，，（小前提及結(jié)論） 所以． 22．若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明結(jié)論． 解：當(dāng)時，，即， 所以． 而是正整數(shù)，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：． （1）當(dāng)時，已證； （2）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即． 則當(dāng)時， 有 ． 因為， 所以， 所以． 所以當(dāng)時不等式也成立． 由（1）（2）知，對一切正

9、整數(shù)，都有， 所以的最大值等于25． 高考資源網(wǎng) 一、選擇題 1．下面使用的類比推理中恰當(dāng)?shù)氖牵ā　。? Ａ．“若，則”類比得出“若，則” Ｂ．“”類比得出“” Ｃ．“”類比得出“” Ｄ．“”類比得出“” 答案：Ｃ 2．圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是（　?。? Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120 答案：Ｃ 3．推理“①正方形是平行四邊形；②梯形不是平行四邊形；③所以梯形不是正方形”中的小

10、前提是（　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和② 答案：Ｂ 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應(yīng)取的項是（　?。? Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 5．在證明命題“對于任意角，”的過程：“”中應(yīng)用了（　?。? Ａ．分析法 Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法和綜合法綜合使用 Ｄ．間接證法 答案：Ｂ 6．要使成立，則應(yīng)滿足的條件是（　　） Ａ．且 Ｂ．且 Ｃ．且 Ｄ．且或且 答案：Ｄ 7．下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較為合適的是（　?。? Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四邊形 Ｄ．矩形

11、 答案：Ｃ 8．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是（　?。? Ａ．有兩個內(nèi)角是鈍角 Ｂ．有三個內(nèi)角是鈍角 Ｃ．至少有兩個內(nèi)角是鈍角 Ｄ．沒有一個內(nèi)角是鈍角 答案：Ｃ 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被8整除時，當(dāng)時，對于可變形為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 10．已知扇形的弧長為，所在圓的半徑為，類比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可類比 答案：Ｃ 11．已知，，，則以下結(jié)論正確的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定 答案：Ｂ

12、12．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 高考資源網(wǎng) 二、填空題 13．已知，則中共有　　　　項． 答案： 14．已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：，， ，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出對正實數(shù)成立的條件不等式　　　　?。? 答案：當(dāng)時，有 15．在數(shù)列中，，，可以猜測數(shù)列通項的表達式為　　?。? 答案： 16．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積　　　　?。? 答案： 三

13、、解答題 17．已知是整數(shù)，是偶數(shù)，求證：也是偶數(shù)． 證明：（反證法）假設(shè)不是偶數(shù)，即是奇數(shù)． 設(shè)，則． 是偶數(shù)， 是奇數(shù)，這與已知是偶數(shù)矛盾． 由上述矛盾可知，一定是偶數(shù)． 18．已知命題：“若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論． 解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列． 證明如下： 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列． 高考資源網(wǎng) 19．已知，且，求證：． 證明：因為，且， 所以，，要證明原

14、不等式成立，只需證明r， 即證，從而只需證明， 即， 因為，， 所以成立，故原不等式成立． 20．用三段論方法證明：． 證明：因為，所以（此處省略了大前提）， 所以（兩次省略了大前提，小前提）， 同理，，， 三式相加得． （省略了大前提，小前提） 21．由下列不等式：，，，，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明． 解：根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第個不等式，即一般不等式為： ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （1）當(dāng)時，，猜想成立； （2）假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即， 則當(dāng)時， ，即當(dāng)時，猜想也正確，所以對任意的，不等式成立． 22．是否存在常數(shù)，使得等式對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 解：假設(shè)存在，使得所給等式成立． 令代入等式得解得 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對一切正整數(shù)都成立． （1）當(dāng)時，由以上可知等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即， 則當(dāng)時， ． 由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù)都成立． 高考資源網(wǎng)