數(shù)學(xué)四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問(wèn)題 文

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1、第3講數(shù)列的綜合問(wèn)題專題四數(shù)列、推理與證明熱點(diǎn)分類突破真題押題精練熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一利用Sn，an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列(等差、等比數(shù)列).例例1(2017運(yùn)城模擬)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a 3an6Sn4.(1)求an的通項(xiàng)公式；解答即(an

2、1an)(an1an3)0，an0，an1an0，an1an30，即an1an3.an是以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，an43(n1)3n1.解答思維升華(2)設(shè)bn2nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解解bn2nan(3n1)2n，故Tn4217221023(3n1)2n，2Tn4227231024(3n1)2n1，Tn42132232332n(3n1)2n1213(222232n)(3n1)2n1(3n2)2n14，Tn(3n2)2n14.思維升華思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推

3、關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.解答解解當(dāng)n1時(shí)，a1S12，由Sn2n12，得Sn12n2(n2)，anSnSn12n12n2n (n2)，又a1也符合，an2n (nN*).(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解答熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題一般以數(shù)列為載體，考查最值問(wèn)題，不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題.例例2設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn

4、(2)；解答解解方法一方法一由題設(shè)fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.證明思維升華證明證明因?yàn)閒n(0)10，又fn(x)12xnxn10，思維升華思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視.(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件.(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.證明跟蹤演練跟蹤演練2(2016屆浙江省寧波市期末)已知數(shù)列an

5、滿足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求證：bn是等比數(shù)列；證明證明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*)an2(Sn1n)(n2)，兩式相減，得an13an2(n2).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n1時(shí)上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比數(shù)列.(2)記數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，兩式相減，得2Tn332333nn3n1證明熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清

6、所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問(wèn)題.求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題，還是解不等式問(wèn)題，還是最值問(wèn)題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.例例3自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元，從第七年開(kāi)始，每年年

7、初M的價(jià)值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；解答解解當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，故an12010(n1)13010n，當(dāng)n7時(shí)，數(shù)列an從a6開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a61306070為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，(2)設(shè)An ，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年年初對(duì)M更新.證明思維升華證明證明設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)M更新.思維升華思

8、維升華常見(jiàn)數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .跟蹤演練跟蹤演練3一彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來(lái)高度的 再落下，設(shè)它第n次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了Sn，則當(dāng)n2時(shí)，有A.Sn的最小值為100 B.Sn的最大值為400C.Sn0，因?yàn)閚N*，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.