《高等數(shù)學(xué)：第四章 第二節(jié) 換元公式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第四章 第二節(jié) 換元公式（34頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法 一、第一類換元法一、第一類換元法 二、第二類換元法二、第二類換元法 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxdF)( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理
2、dxduduudF )()()(xuf )()(xxf 設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)， dxxxf)()( )1()()( xuduuf ( 第一類換元公式第一類換元公式 : 湊微分法湊微分法）)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式定理定理1 1 公式（公式（1）的目的是將左邊的積分在變量代換）的目的是將左邊的積分在變量代換 u = (x) 下，轉(zhuǎn)化為右邊的積分來計(jì)算。下，轉(zhuǎn)化為右邊的積分來計(jì)算。 xdxf)( 如何用公式（如何用公式（1）來求不定積分？關(guān)鍵是尋找）來求不定積分？關(guān)鍵是尋找 適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q u = (x) , 這要根據(jù)具體問題這要根據(jù)具體問題 具體分析
3、。具體分析。 在積分式在積分式中中 d x 可以看作是對積分可以看作是對積分變量變量 x 的微分。的微分。例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxdCu cos21解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd.cos2Cx udusin21;2cos21Cx 思考題：思考題：為什么三種方法所得結(jié)果不一樣？為什么三種方法所得結(jié)果不一樣？例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx
4、231dxxx)23(23121 duu 121Cu |ln21.|23|ln21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地)23(23121xdx 例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu |ln21.|ln21|ln21Cx xdxxd1ln 有有公公式式例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx Cunduuduunnn 1)
5、1(11例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa Cxdxx arctan112例例6 6 求求解一：解一：.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx Cxxdxdxxcotcscsin122解二：解二：2111cos2cos2dxdxxx2sec( )22xxdtan2xC例例6 6 求求.cos11 dxx dxxcos11.sin1cotCxx 解一：解一
6、：例例7 7 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分.例例8 8 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例
7、例9 9 求求 22xadx解：解： 22xadxdxxaxaa)11(21 xadxaxadxa2121cxaaxaa |ln21|ln21)0(|ln21 acxaxaa類似地可推出類似地可推出 22axdx)0(|ln21 acaxaxaCxaxadxCxaxadx |ln,|ln例例1010 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）xdxxd2sectan 有有公公式式類似地可推
8、出類似地可推出.tanseclnsec Cxxxdx解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 例例1010 求求.csc xdxCxaxadxCxaxadx |ln,|ln例例11 求求 22xadx解：解： 22xadx 2)(11axdxa 2)(1)(axaxd)0(arcsin acaxCxxdx arcsin12 )4(6xxxd )4(665xxxdx )4(61666xxxd666)411(241xdxx 6ln241x 6
9、61241xdx )4(4124166 xdxcx )4(ln2416cxx 4ln24166例例12積積 分分 公公 式式 22)16(xadx)0(ln21 acxaxaa 22(axdx或）或）)0(ln21 acaxaxa 22)15(xadx)0(arcsin acaxdxxa 221)14(.arctan1caxa xdxsec)17(Cxx tansecln xdxcsc)18(Cxx cotcscln Cxxdxcoslntan)19(Cxxdx sinlncot)20(問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsi
10、n ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法注意：上面所用的變量代換形式為：注意：上面所用的變量代換形式為：)(t )(:xu 第第一一類類txsin 一般地，設(shè)所求積分為一般地，設(shè)所求積分為 xdxf)(令令 x = (t)則則 d x = (t) d t， xdxf)()2()( )( tdttf 得換元公式得換元公式然后計(jì)算出右邊的積分，設(shè)為然后計(jì)算出右邊的積分，設(shè)為ctFtdttf )()( )( 代代回回，再再將將)(1xt xdxf)(
11、 tdttftx)( )()( cxF )(1 x = (t) 要單調(diào)可導(dǎo)要單調(diào)可導(dǎo) 第一類換元公式第一類換元公式 xdxxf)( )( ) 1()()( udufxu 第二類換元公式第二類換元公式 xdxf)()2()( )()( tdttftx 兩類換元公式的比較兩類換元公式的比較 例例1313 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t.)ln(122Caxx .ln1aCC Cttxdx |tansec|lnsec例例1414
12、求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 24cos2xt 例例1 14 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax aaxt22tan .
13、ln122Caxx .ln1aCC 說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 例例1 15 求求解：倒代換解：倒代換).0(422 adxxxa令令,1tx dttdx21 dxxxa422dttta | 122,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 t dxxxa422所以所以2 21a tt dt222121dtta )1(12122222
14、tadtaaCata 223223)1(例例1 15 求求解：倒代換解：倒代換).0(422 adxxxa令令,1tx dttdx21 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)有相同的計(jì)算結(jié)果時(shí)有相同的計(jì)算結(jié)果,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 t dxxxa422所以所以tdtta 122222121dtta )1(12122222 tadtaaCata 223223)1(Cxaxa 3223223)( 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明說明(2)(2)例例1 16 求求dxxx 251, 122 tx,
15、tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 21xt 解一：令解一：令解二：解二：令令txtan tdtdx2sec 2,2tt12 xx1dxxx 251 xdxxsectan5 xxdsectan4 xdxsec)1(sec22 xdxxsec)1sec2(sec24Cxxx secsec32sec5135.1)348(151242Cxxx 例例1 16 求求dxxx 25111sec2 xt例例1717 求求解：令解：令.11dxex xet 1, 12 tex,122dtttdx dxex 11dttt
16、t 1212Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 txdtt 122)0(,ln2122 aCaxaxaaxdx說明說明(3)(3) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例1818 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 三、小結(jié)三、小結(jié) 第一類換元公式第一類換元公式 xdxxf)( )( ) 1()()( udufxu 第二類換元公式第二類換元公式 xdxf)()2()( )()( tdttftx 積分公式表（積分公式表（2）作業(yè)：作業(yè)：習(xí)題習(xí)題4 2: 2(1, 5, 6, 9, 12, 14, 16,25, 28, 31),
高等數(shù)學(xué)：第四章 第二節(jié) 換元公式
