《高等數(shù)學：第四章 第3節(jié) 第二類換元積分法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學：第四章 第3節(jié) 第二類換元積分法（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1第三節(jié) 第二類換元法一、第二類換元公式一、第二類換元公式二、第二類換元舉例二、第二類換元舉例三、總結三、總結2問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結果）即可求出結果） 第二類換元法3其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設設 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設設)(tx 是單
2、調的、可導的函數(shù)，是單調的、可導的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又設又設)()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，定理定理2 24第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說明說明)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù),5例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t6例例2
3、 2 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 7例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 8說明說明(1)(1) 以上幾
4、例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 9 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明說明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdtt
5、t 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解10例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx11說明說明(3)(3) 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解12例例7 7 求求解解
6、.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu 13 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 14說明說明(4)(4) 當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(
7、6235 dttt221615 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 16基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 17;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 189例例dxxxx52322dxxxx5
8、21222dxxxdxxxx521522222) 1(2) 1(152)52(2222xdxxxxxdcxxx21arctan21)52ln(21910例例xxdxsin22sin) 1(cossin2xxdx2cos2sin2413xxxd2cos2tan2tan412xxxd2tan2tan2tan1412xdxxCxx2tanln412tan81220總總 結結1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22x
9、xaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四節(jié)講21(7) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafx令xat 說明說明:被積函數(shù)含有22ax 時, 除采用1shch22tt采用雙曲代換taxsh消去根式 ,所得結果一致 . taxch或22ax 或三角代換外, 還可利用公式22練習與思考題練習與思考題分子分母同除以1.解解: 令,sin1122txttxdcosd 原式ttdsin112tttandtan2112tttand)tan2(112Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222.d1)1 (122xxx,sintx ttttdcos)sin1 (cos2t2cos22123232、求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf
高等數(shù)學：第四章 第3節(jié) 第二類換元積分法
