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1、杭州師范大學(xué)
年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題
考試科目代碼：721考試科目名稱(chēng)：量子力學(xué)
說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。
一、填空題（每空3分，共30分）、根據(jù)德布羅意波粒二象性，能量為&動(dòng)量為q的微觀粒子，與對(duì)應(yīng)的波動(dòng)的頻率”和
波長(zhǎng)人的關(guān)系式分別是,o完成對(duì)易關(guān)系:[x,px]=,[d"x
2、，共30分）
1. 量子力學(xué)中微觀粒子的波粒二象性與光的波粒二象性有什么區(qū)別？
2. 敘述量子力學(xué)中物理量算符的性質(zhì)以及與力學(xué)量測(cè)量值之間的關(guān)系。
3. 說(shuō)明當(dāng)勢(shì)能V（x）是偶函數(shù)時(shí)，定態(tài)薛定謂方程的解“（X）總可以寫(xiě)成偶函數(shù)或者奇函數(shù)
的形式。
4. 敘述（或者通過(guò)變換關(guān)系式描述）你對(duì)量子力學(xué)中的表象變換的理解。如何理解電子的自旋？
三、計(jì)算題（90分）（15分）質(zhì)量為〃?的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中叩）」。，庭心
[co,x<0,x>a
中運(yùn)動(dòng)。求
（1）求粒子的能量本征值和本征函數(shù)；（5分）
（2）若1=°時(shí)，粒子處于-（%0）=（對(duì)-&由（x）+（x）狀態(tài)上，其中，婦
3、工）為粒子能量的第〃個(gè)本征態(tài)。求.=0時(shí)能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率；（5分）
（3）求，>°時(shí)的波函數(shù)心*）及能量可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率。（5分）（10分）設(shè)皿=購(gòu)）丫睥饑為氫原子的能量為屬定態(tài)波函數(shù)，當(dāng)t=0時(shí)氫原子處于
狀態(tài)"（廠,0,0）=（2^/100+21Q+W211+21-\）
求：（1）氫原子能量及其幾率；（4分）
（2）軌道角動(dòng)量平方矛的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及個(gè)的平均值；（4分）
（3）z分量山的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及上的平均值；（2分）I—/z
1. （15分）假設(shè)量子系統(tǒng)的基態(tài)為認(rèn)x）=[亍22”，求：
（1）勢(shì)能的平均值萬(wàn)=|pcoQ;（5分）
4、
（2）動(dòng)能的平均值f=（5分）2//
4.m分）-維諧振子的哈密頓量寫(xiě)成為以=土［
,定義如下的算符
E)
a
E)
a
⑶動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。（5分）（提示：「x5dx=1.3?5.???.（2/?-1）
Jo
a-j1(mcox+ip)\l2hmco
d=.{mo)x-ip)\l2iimco=1o(4分)
=1o(4分)
求（1）證明
（2）利用。和”表示H。（4分）
（3）基態(tài)滿足求基態(tài)波函數(shù)化）和基態(tài)能量。
（7分）
ab
5. （20分）設(shè)一量子體系的哈密頓量為：H=E2c,且俱《1,網(wǎng)《1,b*c*￡3
ld《i,利用微擾法計(jì)算二級(jí)近似下的能量本征值。
6. （15分）設(shè)家原子中的兩個(gè)電子都處于Is態(tài)，兩個(gè)電子基態(tài)的空間波函數(shù)為-0Z）=Voo（E）”ioo（W），求
（i）寫(xiě)出電子四個(gè)可能的自旋波函數(shù)；
（ii）寫(xiě)出兩個(gè)電子交換反對(duì)稱(chēng)的總波函數(shù)（同時(shí)考慮空間自由度和自旋自由度）。
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