《新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點強化專題 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點強化專題 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 Word版含答案(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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突破點6 古典概型與幾何概型
[核心知識提煉]
提煉1 古典概型問題的求解技巧
(1)直接列舉:涉及一些常見的古典概型問題時,往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來,然后進行求解.
(2)畫樹狀圖:涉及一些特殊古典概型問題時,直接列舉容易出錯,通過畫樹狀圖,列舉過程更具有直觀性、條理性,使列舉結(jié)果不重、不漏.
(3)逆向思維:對于較復(fù)雜的古典概型問題,若直接求
3、解比較困難,可利用逆向思維,先求其對立事件的概率,進而可得所求事件的概率.
(4)活用對稱:對于一些具有一定對稱性的古典概型問題,通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復(fù)雜,利用對稱思維,可以快速解決.
提煉2 幾何度量法求解幾何概型
準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵,常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等.
提煉3 求概率的兩種常用方法
(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.
(2)若一個較復(fù)雜的事件的對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”
4、型事件的概率.
[高考真題回訪]
回訪1 古典概型
1.(20xx·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( )
A. B.
C. D.
D [從5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張的情況如圖:
基本事件總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10,
∴所求概率P==.
故選D.]
2.(20xx·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不
5、在同一花壇的概率是( )
A. B.
C. D.
C [從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中,余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共4種,故所求概率為P==,故選C.]
3.(20xx·全國卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________.
[兩本不同的數(shù)學(xué)書用a1,a2表示,語文書用b表示,則Ω={(a1,a2,b)
6、,(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,
a1,a2),(b,a2,a1)}.于是兩本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有4種,故所求概率為=.]
回訪2 幾何概型
4.(20xx·全國卷Ⅰ)如圖6-1,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是( )
圖6-1
A. B.
C. D.
B [不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,可得S正方形=4.
由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,得S黑=S白=S圓=,
7、所以由幾何概型知所求概率P===.
故選B.]
5.(20xx·全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( )
A. B.
C. D.
B [如圖,若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口,則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈.AB長度為40-15=25,由幾何概型的概率公式知,至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=,故選B.]
熱點題型1 古典概型
題型分析:古典概型是高考考查概率的核心,問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等,求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件,難度
8、較小.
【例1】 (1)一個袋子中有5個大小相同的球,其中3個白球與2個黑球,先從袋中任意取出一個球,取出后不放回,然后從袋中任意取出一個球,則第一次為白球、第二次為黑球的概率為( )
A. B.
C. D.
(2)已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,則函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)的概率是( )
【導(dǎo)學(xué)號:04024067】
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)設(shè)3個白球分別為a1,a2,a3,2個黑球分別為b1,b2,則先后從中取出2個球的所有可能結(jié)果為(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),
9、(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共20種.
其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6種,故所求概率為=.故選B.
(2)記事件A為“函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)”.
因為f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f′(x)=3ax2+2b
10、x+1.
因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),所以f′(x)≥0在R上恒成立.
又a>0,所以Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥.
所以當(dāng)b=1時,有a≥,故a可取1,2,3,4,共4個數(shù);
當(dāng)b=2時,有a≥,故a可取2,3,4,共3個數(shù);
當(dāng)b=3時,有a≥3,故a可取3,4,共2個數(shù);
當(dāng)b=4時,有a≥,故a無可取值.
綜上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9(種).
又a,b∈{1,2,3,4},所以(a,b)共有4×4=16(種).
故所求事件A的概率為P(A)=.故選A.]
[方法指津]
利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點
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11、.關(guān)鍵:正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù).
2.注意點:(1)對于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時要正確分類,分類時應(yīng)不重不漏.
(2)當(dāng)直接求解有困難時,可考慮求其對立事件的概率.
[變式訓(xùn)練1] (20xx·南京二模)某校有三個興趣小組,甲、乙兩名學(xué)生每人選擇其中一個參加,且每人參加每個興趣小組的可能性相同,則甲、乙不在同一個興趣小組的概率為________.
[設(shè)三個興趣小組分別為a,b,c,則甲、乙兩名學(xué)生選擇興趣小組的可能結(jié)果有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),共9種.其中甲、乙不在同一個
12、興趣小組的結(jié)果有6種,故所求概率為P==.]
熱點題型2 幾何概型
題型分析:高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型.求解幾何概型的關(guān)鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積等,難度較?。?
【例2】(1)(20xx·廣州二模)在區(qū)間[-1,5]上隨機地取一個實數(shù)a,則方程x2-2ax+4a-3=0有兩個正根的概率為( )
A. B.
C. D.
(2)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________.(用數(shù)字作答)
【導(dǎo)學(xué)號:04024068】(1
13、)C (2) [(1)因為方程x2-2ax+4a-3=0有兩個正根,所以解得<a≤1或a≥3,所以所求概率P==,故選C.
(2)設(shè)小張和小王到校的時間分別為x和y,
則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示.
故所求概率P==.]
[方法指津]
判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法
1.當(dāng)題干涉及兩個變量問題時,一般與面積有關(guān).
2.當(dāng)題干涉及一個變量問題時,要看變量可以等可能到達的區(qū)域:若變量在線段上移動,則幾何度量是長度;若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動,則幾何度量是面積(體積).
提醒:數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法,求解時,畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀.
[變式訓(xùn)練2] 如圖6-2,圓C內(nèi)切于扇形AOB,∠AOB=,若向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點,則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計值為( )
圖6-2
A.100 B.200
C.400 D.450
C [如圖,設(shè)OA與圓C相切于點D,連接OC,CD,∠AOB=,則∠COD=,
設(shè)圓C的半徑為1,可得OC=2,所以扇形的半徑為3,
由幾何概型可得點在圓C內(nèi)的概率為P===,故向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點,則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計為×600=400.]