新編高考數(shù)學(xué)理一輪資料包 第九章　數(shù)　列

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 九章　數(shù)　列 第1講　數(shù)列的基本概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…，的通項(xiàng)公式an＝(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 2．若an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是(　　) A．107　　 B．108 C．108　 D．109 3．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2·…·an＝n2，則a3＋a5＝(　　) A. B. C. D. 4．(2013年遼寧)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題： p1：數(shù)列{an}是

2、遞增數(shù)列； p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列是遞增數(shù)列； p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 5．如圖K9-1-1所示的程序框圖，如果輸入值為2013，則輸出值為________． 圖K9-1-1 6．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2009＝________，a2014＝________. 7．(2011年浙江)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________. 8．(2012年上海)已知f(x

3、)＝，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，則a20＋a11的值是________． 9．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋1)n(n∈N*)，則當(dāng)n為多大時(shí)，an最大？ 10．(2012年大綱)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an. (1)求a2，a3的值； (2)求{an}的通項(xiàng)公式．  第2講　等差數(shù)列 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2012年福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7

4、，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 2．(2013年重慶)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 3．(2012年廣東)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________. 4．(2012年北京)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝，S2＝a3，則a2＝________. 5．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a7＋a13的值是一確定的常數(shù)，則下列各式： ①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其結(jié)果為確定常數(shù)的是(　　) A．②③⑤ B．①②⑤

5、 C．②③④ D．③④⑤ 6．(2013年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 7．(2012年浙江)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是(　　) A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng) B．若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，則d<0 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對(duì)任意的n∈N*，均有Sn>0 D．若對(duì)任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 8．已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且S10＝(1＋2x)dx，

6、S20＝17，則S30為(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 9．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝12n－n2. (1)求|a1|＋|a2|＋|a3|; (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|； (3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 10．(2012年四川)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)a1>0，λ＝100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大？  第3講　等比數(shù)列 　

7、　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2012年廣東)等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝，則a1aa5＝________. 2．(2012年安徽)公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a5＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 3．在公差d≠0的等差數(shù)列{an}中，a1，a3，a9成等比數(shù)列，則＝(　　) A. B. C. D. 4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若8a2＋a5＝0，則＝(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·

8、…·(x－a8)，則f′(0)(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 6．(2013年大綱)已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 7．(2012年新課標(biāo))等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________. 8．(2013年新課標(biāo)Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝__________. 9．(2012年陜西)已知等比數(shù)列{

9、an}的公比為q＝－. (1)若a3＝，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和； (2)證明：對(duì)任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列． 10．(2012年山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.  第4講　數(shù)列的求和 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首

10、項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3a5＝4，則數(shù)列{log2an}的前7項(xiàng)和等于(　　) A．7　　 B．8 C．27　　　 D．28 3．在遞減等差數(shù)列{an}中，若a1＋a5＝0，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)n等于(　　) A．2　　 B．3 C．2或3　 D．3或4 4．?dāng)?shù)列1,1＋2，…，1＋2＋22＋…＋2n－1的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝(　　) A．2n B．2n＋1－n－2 C．2n＋1－n D．2n－n 5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

11、，若S2＝2，S4＝10，則S6＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．42 6．(2011年安徽)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 7．(2014年廣東廣州一模)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2014＝(　　) A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 8．如圖K9-4-1，它滿足：(1)第n行首尾兩數(shù)均為n；(2)圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)是___

12、___________． 1 2　2 3　4　3 4　7　7　4 5　11　14　11　5 　…… 圖K9-4-1 9．(2013年湖南)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 10．(2012年天津)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(n∈N*)，證明

13、：Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n>2)．  第5講　利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2010年北京)在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 2．古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖K9-5-1，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是(　　)

14、 圖K9-5-1 ①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21； ④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A．①④ B．②⑤ C．③⑤ D．②③ 3．(2011年四川)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2＋a5＝0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是(　　) A.　 B. C.　　 D. 5．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(

15、n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝________. 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝，則an＝________. 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________． 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝3an＋3n，則an＝________. 9．(2012年廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 10．(2011年廣

16、東)設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1＋1. 第九章　數(shù)　列 第1講　數(shù)列的基本概念 1．B　2.B　3.B　4.D　5.4 6．1　0　解析：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0. 7．4　解析：方法一：an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)n＋1－n·(n＋4)n＝n ＝n＝n. 當(dāng)n≤3時(shí)，an＋1－an>0，數(shù)列單調(diào)遞增； 當(dāng)n≥4時(shí)，an＋1－an<0，數(shù)列單調(diào)遞減

17、． 即a1a5>a6>……即第4項(xiàng)最大，k＝4. 方法二：設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有 ∴??k＝4. 8.　解析：an＋2＝f(an)＝，∵a1＝1， ∴a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝. 又a2012＝＝a2010，得a＋a2010－1＝0. 令a2010＝t，則t2＋t－1＝0， ∵題設(shè)t>0，∴t＝. ∵an＝－1，∴a2008＝－1＝＝t. 則a2n＝t＝，∴a20＋a11＝＋＝. 9．解：∵an＋1－an ＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·， 而n>0，所以當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an. 當(dāng)n＝9時(shí)，an

18、＋1－an＝0，即a10＝a9. 當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…， 所以當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為a9或a10. 10．解：(1)由a1＝1與Sn＝an， 得S2＝a2＝a1＋a2?a2＝3a1＝3，S3＝a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a2＝4?a3＝6. 故所求a2，a3的值分別為3,6. (2)當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝an，?、? Sn－1＝an－1.　② ①－②，得Sn－Sn－1＝an－an－1，即 an＝an－an－1?an＝an－1 ?＝. 故有an＝××…××

19、a1 ＝××…××1＝. ∵當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＝a1， ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝. 第2講　等差數(shù)列 1．B　2.　3.2n－1　4.1 5．A　解析：由a1＋a7＋a13是一確定的常數(shù)，得3a7是一確定的常數(shù)，故②正確；S13＝＝13a7是一確定的常數(shù)，故③正確；S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7是一確定的常數(shù)，故⑤正確． 6．C　解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， ∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2， am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1. ∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴a1＝－. 又∵am＋1＝a1＋m×1

20、＝3，∴－＋m＝3. ∴m＝5.故選C. 7．C　解析：C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：0,1,2,3，滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但Sn>0不成立． 8．A　解析：S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)＝12， a1＋a2＋…＋an＝12，an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝5，a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝－2，所以S30＝15. 9．解：∵Sn＝12n－n2， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12－1＝11； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2n； 當(dāng)n＝1時(shí)，13－2×1＝11＝a1，∴an＝13－2n. 由an＝13－2n

21、≥0，得n≤. ∴當(dāng)1≤n≤6時(shí)，an>0；當(dāng)n≥7時(shí)，an<0. (1)|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝12×3－32＝27. (2)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10| ＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋a9＋a10) ＝2S6－S10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52. (3)當(dāng)1≤n≤6時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝12n－n2， 當(dāng)n≥7時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an) ＝2S6－Sn＝2(12

22、×6－62)－(12n－n2)＝n2－12n＋72. 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝ 10．解：(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，則a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，則S1＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝0，∴an＝0； 若a1≠0，則a1＝.當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1.相減，得an＝2an－1， ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 綜上所述，若a1＝0，則an＝0；若a1≠0，則an＝. (2)當(dāng)a1>0，且λ＝100時(shí)，令bn＝lg，則bn＝2－nlg2. ∴{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg2)， 則b1>

23、b2>b3>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0. 當(dāng)n≥7時(shí)，bn≤b7＝lg＝lg

24、a1＝0，與{an}是等比數(shù)列矛盾，故q≠1.由S3＋3S2＝0，得＋＝0，解得q＝－2. 8．(－2)n－1　解析：∵Sn＝an＋，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1＋.② ①－②，得an＝an－an－1，∴＝－2. ∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1. ∴{an}是以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，an＝(－2)n－1. 9．(1)解：由通項(xiàng)公式，得 a3＝a12＝，則a1＝1. 由等比數(shù)列求和公式，得 Sn＝＝. (2)證明：∵k∈N*，∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)＝a1qk－1·＝0，

25、 ∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0，∴ak，ak＋2，ak＋1成等差數(shù)列． 10．解：(1)由a3＋a4＋a5＝84，得3a4＝84，a4＝28. 而a9＝73，則5d＝a9－a4＝45，d＝9. a1＝a4－3d＝28－27＝1， 于是an＝1＋(n－1)×9＝9n－8，即an＝9n－8. (2)對(duì)任意m∈N*,9m<9n－8<92m，則9m＋8<9n<92m＋8，即9m－1＋

26、－. 第4講　數(shù)列的求和 1．C　2.A　3.C　4.B　5.C　6.A　7.C 8.　解析：設(shè)第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1，相加，得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1)＝×(n－2)＝，an＝2＋＝. 9．解：(1)∵S1＝a1， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，2a1－a1＝S1·S1?a1≠0，a1＝1. 當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1?an＝2an－1?{an}是首項(xiàng)為a1＝1，公比為q＝2的等比數(shù)列，即an＝2n－1，n∈N*. (2)令Tn＝1·a1＋2·a2＋3·a3

27、＋…＋n·an ?qTn＝1·qa1＋2·qa2＋3·qa3＋…＋n·qan ?qTn＝1·a2＋2·a3＋3·a4＋…＋n·an＋1 上式左右錯(cuò)位相減：(1－q)Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1 ＝a1－nan＋1＝2n－1－n·2n ?Tn＝(n－1)·2n＋1，n∈N*. 10．(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2， 得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d. 由條件得方程組? 故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)． (2)證明：由(1)，得 Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2

28、n，① 2Tn＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n－1)×2n＋1.② 由①－②，得 －Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1 ＝－(3n－1)×2n＋1－2 ＝－(3n－4)×2n＋1－8， 即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1. 當(dāng)n>2時(shí)，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1. ∴Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n>2)． 第5講　利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 1.C　2.C　3.B　4.D 5.　解析：由題意可知：an＋1＝an，解得an＋1＝an，或an＋1＝－an(舍去)．則＝，∴··…·＝··…·＝.即

29、＝，∴an＝a1＝. 6.　解析：由an＋1＝，得＝＝＋3?－＝3?＝1＋3(n－1)．∴an＝. 7．a(chǎn)n＝3×2n－1－n－1　解析：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝2(an＋An＋B)，得A＝1，B＝1.∴an＋1＋(n＋1)＋1＝2(an＋n＋1)．∴an＋n＋1＝3×2n－1.∴an＝3×2n－1－n－1. 8．n·3n－1　解析：∵an＋1＝3an＋3n，∴＝＋1.令＝bn，∴數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴bn＝1＋1(n－1)＝n.∴an＝n·3n－1. 9．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1， ∴a1＝2a1－1，解得a1＝1.

30、 (2)在Tn＝2Sn－n2中，用n－1取代n的位置， 有Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2. 兩式相減，可得Sn＝2an－2n＋1(n≥2)， ∴Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1. 兩式相減，可得an＝2an－2an－1－2， 即an＝2an－1＋2(n≥2)， 即an＋2＝2(an－1＋2)． ∴數(shù)列{an＋2}是以首項(xiàng)為a2＋2，公比為2的等比數(shù)列． 在式子Tn＝2Sn－n2中，令n＝2，有T2＝2S2－22， 即a1＋(a1＋a2)＝2(a1＋a2)－22，∴a2＝4. 于是an＋2＝(a2＋2)·2n－2＝6·2n－2＝3·2n－1， ∴an＝3·2n－

31、1－2(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也滿足該式子， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3·2n－1－2. 10．(1)解：∵an＝，∴＝. ∴＝·＋. ①當(dāng)b＝1時(shí)，－＝1， 則是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝1. ②當(dāng)b>0，且b≠1時(shí)，＋＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，＋＝. ∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∴＋＝·n. ∴＝－＝. ∴an＝. 綜上所述，an＝ (2)證明：①當(dāng)b＝1時(shí)，2an＝bn＋1＋1＝2； ②當(dāng)b>0且b≠1時(shí)， 1－bn＝(1－b)(1＋b＋…＋bn－2＋bn－1)． 要證2an≤bn＋1＋1，只需證≤bn＋1＋1， 即證≤b＋， 即證≤b＋， 即證(1＋b＋…＋bn－2＋bn－1)≥2n， 即證(b＋b2＋…＋bn－1＋bn)＋≥2n. ∵(b＋b2＋…＋bn－1＋bn)＋ ＝＋＋…＋＋ ≥2 ＋2 ＋…＋2 ＋2 ＝2n， ∴原不等式成立． ∴對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1.