新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用演練知能檢測

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用 [全盤鞏固] 1．(2014·日照模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　)[來源:] 解析：選B　由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大． 2．客車從甲地以60 km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80 km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到

2、達(dá)丙地．下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系式正確的是　(　　) A．s(t)＝60t,0≤t≤　　 B．s(t)＝ C．s(t)＝ D．s(t)＝ 解析：選D　由題意可得路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系式為s(t)＝ 3．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：[來源:] x －2 －1 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 則下列函數(shù)與x，y的函數(shù)關(guān)系最接近的是(其中a，b為待定系數(shù))(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b

3、 D．y＝a＋ 解析：選B　由數(shù)據(jù)可知x，y之間的函數(shù)關(guān)系近似為指數(shù)型． 4．一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么(　　) A．人可在7秒內(nèi)追上汽車 B．人可在10秒內(nèi)追上汽車 C．人追不上汽車，其間距最少為5米 D．人追不上汽車，其間距最少為7米 解析：選D　設(shè)汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米，則s＝t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值為7. 5．圖形M(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個(gè)矩

4、形所構(gòu)成，函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致是(　　) 解析：選C　法一：依題意，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，S(a)＝＋2a＝－a2＋3a； 當(dāng)13時(shí)，S(a)＝＋2＋3＝，[來源:] 于是S(a)＝ 由解析式可知選C. 法二：直線y＝a在[0,1]上平移時(shí)S(a)的變化量越來越小，故可排除選項(xiàng)A、B.而直線y＝a在[1,2]上平移時(shí)S(a)的變化量比在[2,3]上的變化量大，故可排除選項(xiàng)D. 6．(2014·溫州模擬)某輛汽車購買

5、時(shí)的費(fèi)用是15萬元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、路橋費(fèi)、汽車費(fèi)等約為1.5萬元．年維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年3 000元，以后逐年遞增3 000元，則這輛汽車報(bào)廢的最佳年限(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是(　　) A．8年　　 B．10年　　 C．12年　　 D．15年 解析：選B　當(dāng)這輛汽車使用n年時(shí)，相應(yīng)的年平均費(fèi)用為＝≥×，當(dāng)且僅當(dāng)＝0.3n，即n＝10時(shí)取等號(hào)，因此這輛汽車使用10年時(shí)，相應(yīng)的年平均費(fèi)用最少．故這輛汽車報(bào)廢的最佳年限是10年． 7．一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)

6、容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一． 解析：依題意有a·e－b×8＝a， ∴b＝， ∴y＝a·e－ ·t 若容器中只有開始時(shí)的八分之一， 則有a·e－·t＝a. 解得t＝24， 所以再經(jīng)過的時(shí)間為24－8＝16 min. 答案：16 8．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________萬元． 解析：設(shè)該公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，利潤為L(x)＝5.06x

7、－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.152＋0.15×＋30，由于x為整數(shù)，所以當(dāng)x＝10時(shí)，L(x)取最大值L(10)＝45.6，即能獲得的最大利潤為45.6萬元． 答案：45.6 9．某商場宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場規(guī)定： ①如一次購物不超過200元，不予以折扣； ②如一次購物超過200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠； ③如一次購物超過500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過500元的給予八五折優(yōu)惠． 某人兩次去購物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應(yīng)付款________元． 解析：由

8、題意知付款432元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為432×＝480元，如果一次購買標(biāo)價(jià)176＋480＝656元的商品應(yīng)付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元． 答案：582.6 10．設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元，門票每張為30元，變動(dòng)成本與購票進(jìn)入旅游景點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比．一天購票人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡；一天購票人數(shù)超過100時(shí)，該旅游景點(diǎn)須另交保險(xiǎn)費(fèi)200元．設(shè)每天的購票人數(shù)為x，盈利額為y元． (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系； (2)該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時(shí)就不出現(xiàn)虧損，若用提高門票價(jià)格的措施，則每張門票至少要多少元(取整數(shù))？(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1

9、.73，≈2.24) 解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)購票人數(shù)不多于100時(shí)，可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為 y＝30x－500－k(k為常數(shù)，k∈R且k≠0)． ∵人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡， ∴30×25－500－k＝0， 解得k＝50. ∴y＝ (2)設(shè)每張門票價(jià)格提高為m元，根據(jù)題意， 得m×20－50－500≥0， ∴m≥25＋5≈36.2，[來源:] 故每張門票最少要37元． 11．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本

10、y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價(jià)值為100元． (1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？ (2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ 解：(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為 ＝x＋－200≥2 －200＝200， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝400時(shí)，上式取等號(hào)， 即當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元． (2)設(shè)該單位每月獲利為S， 則S＝100x－

11、y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000， 因?yàn)?00≤x≤600， 所以當(dāng)x＝400時(shí)，S有最大值－40 000. 故該單位不獲利，需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損． 12．某特許專營店銷售西安世界園藝博覽會(huì)紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向世博會(huì)管理處交特許經(jīng)營管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2 000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為x(元)． (1)寫出該特許

12、專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域)； (2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，該特許專營店一年內(nèi)利潤y(元)最大，并求出這個(gè)最大值． 解：(1)依題意 y＝ ∴y＝ 此函數(shù)的定義域?yàn)?0,40)． (2)y＝ 若0＜x≤20，則當(dāng)x＝16時(shí)，ymax＝32 400(元)．[來源:] 若20

13、個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)項(xiàng)目是針對(duì)學(xué)生高考成績的高低對(duì)任課教師進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)的．獎(jiǎng)勵(lì)公式為f(n)＝k(n)·(n－10)，n>10(其中n是任課教師所在班級(jí)學(xué)生參加高考該任課教師所任學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)＝現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師，甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分，而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分．則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多(　　) A．600元 B．900元 C．1 600元 D．1 700元 解析：選D　k(18)＝200，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600.又∵k(21)＝

14、300，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300，∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700. 故乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多1 700元． 2．某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過的部分為每噸3.00元．若甲、乙兩戶某月共交水費(fèi)y元，且甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________． 解析：依題意可知，當(dāng)甲、乙兩戶用水量都不超過4噸，即0≤x≤時(shí)，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；當(dāng)甲戶用水量超過4噸，乙戶用水量不超過4噸，即

15、3x×1.8＝20.4x－4.8；當(dāng)甲、乙兩戶用水量都超過4噸，即x>時(shí)，y＝3(5x－4＋3x－4)＋4×1.8×2＝24x－9.6. 故y＝ 答案：y＝ [高頻滾動(dòng)] 1．定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，方程f(x)＝log2 013x的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A．1 006 B．1 007 C．2 012 D．2 014 解析：選A　因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，所以f(x)

16、在[－1,1]上單調(diào)遞增，在[1,3]上單調(diào)遞減，且f(x)為周期函數(shù)，周期T＝4.令log2 013x＝1，得x＝2 013，故f(x)＝log2 013x的實(shí)根有2×503＝1 006個(gè)． 2．對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2] C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1] 解析：選B　由題設(shè)知f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，A(2,1)、B(2,2)、C(－1，－1)、D(－1，－2)．從圖象中可以看出，直線y＝c與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－2，－1]∪(1,2]．