新版一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：選修44 第2節(jié)　參數(shù)方程 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第二節(jié)　參數(shù)方程 [考綱傳真]　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程． 1．曲線的參數(shù)方程 一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)(x，y)都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t取的每一個允許值，由這個方程組所確定的點P(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關(guān)系的變數(shù)

3、t叫作參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)． (　　) (2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量． (　　) (3)方程表示以點

4、(0,1)為圓心，以2為半徑的圓． (　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)曲線(θ為參數(shù))的對稱中心(　　) A．在直線y＝2x上　　 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1. 曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓， 所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．] 3．(教材改編)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_____

5、___． x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t， 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.] 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標(biāo)為________． (2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.① 由消去t得y2＝8x.② 聯(lián)立①②得即交點坐標(biāo)為(2，－4)．] 5．(20xx·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線

6、l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． [解]　橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 2分 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得＋＝1，即7t2＋16t＝0， 8分 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝. 10分 參數(shù)方程與普通方程的互化 　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 2分 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 4分 (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線

7、l的距離d＝≤4， 8分 解得－2≤a≤2. 10分 [規(guī)律方法]　1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)． 2．把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形． [變式訓(xùn)練1]　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)a的值． [解]　直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， 4分 所以橢圓C的右頂點坐標(biāo)為(3,0)， 若直線l過橢圓的右頂點(3,0)， 則3－0－a＝0，所以a＝3. 10分

8、 參數(shù)方程的應(yīng)用 　已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：57962486】 [解]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. 4分 (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 8分 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)

9、sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 10分 [規(guī)律方法]　1.解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題． 2．對于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過點P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值． [解]　(1)由消去θ， 得圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 2分

10、 又直線l過點P(1,2)且傾斜角α＝， 所以l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù)). 4分 (2)把直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝16， 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11， 8分 由參數(shù)方程的幾何意義，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. 10分 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用 　(20xx·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的

11、最小值及此時P的直角坐標(biāo)． [解]　(1)C1的普通方程為＋y2＝1， 2分 由于曲線C2的方程為ρsin＝2， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4， 因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. 4分 (2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α)． 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，8分 又d(α)＝＝， 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為. 10分 [規(guī)律方法]　1.參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身

12、特點，確定選擇何種方程． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，可化繁為簡． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·石家莊市質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ－2cos θ. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與y軸的交點為P，直線l與曲線C的交點為A，B，求|PA||PB|的值． [解]　(1)直線l的普通方程為x－y＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x＋

13、1)2＋(y－2)2＝5. 4分 (2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0， 8分 ∴t1t2＝－3， ∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3. 10分 [思想與方法] 1．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝. 2．利用曲線的參數(shù)方程求解兩曲線間的最值問題是行之有效的好方法． 3．將參數(shù)方程化為普通方程，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對問題求解，化生為熟，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． [易錯與防范] 1．將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性．在消去參數(shù)的過程中，要注意x，y的取值范圍． 2．確定曲線的參數(shù)方程時，一定要根據(jù)實際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍，必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解． 3．設(shè)過點M(x0，y0)的直線l交曲線C于A，B兩點，若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))注意以下兩個結(jié)論的應(yīng)用： (1)|AB|＝|t1－t2|； (2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.