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第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示
【考綱下載】
1．了解平面向量基本定理及其意義．
2．掌握平面向量的正交分解及坐標表示．
3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．
4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
1．兩個向量的夾角
(1)定義：
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．
(2)范圍：
向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時，夾角θ＝0；a與b反向時，夾角θ＝π.
(3)向量垂直：
如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a⊥b.
2．平面向量基本
2、定理及坐標表示[來源:]
(1)平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
(2)平面向量的坐標表示：
①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，這樣，平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a
3、在y軸上的坐標．
②設＝xi＋yj，則向量的坐標(x，y)就是A點的坐標，即若＝(x，y)，則A點坐標為(x，y)，反之亦成立．(O是坐標原點)
3．平面向量的坐標運算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)；[來源:]
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1.
1．相等向量的坐標一定相同嗎？相等向量起點和終點坐標可以不同嗎？[來源:學§科§網]
提示：相等向量的坐
4、標一定相同，但是起點和終點的坐標可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，則＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，則＝(3,3)，顯然＝，但A，B，C，D四點坐標均不相同．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件能表示成＝嗎？
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.同時，a∥b的充要條件也不能錯記為x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．
1．在正方形ABCD中，與的夾角是( )
A．90° B．45° C．135°
5、 D．0°
解析：選C 與的夾角為180°－45°＝135°.
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，則c＝( )
A．4a－2b B．4a＋2b
C．－2a＋4b D．2a＋4b
解析：選A 設c＝λa＋μb，則有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，從而μ＝－2，故c＝4a－2b.
3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于( )[來源:]
A．5 B．10
C. D．15
解析：選
6、B ∵a∥b，∴4y＝5×8，即y＝10.
4．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，則－2＝________.
解析：∵A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，[來源:]
∴＝(1,1)，＝(2,2)，
∴－2＝(1,1)－(4,4)＝(－3，－3)．
答案：(－3，－3)
5．(教材習題改編)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
解析：∵a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，且(a＋b)∥c，
∴1×2＝－(m－1)，即2＝－m＋1，∴m＝－1.
答案：－1
易誤警示(五)
平面向量
7、的坐標運算中的易誤點
用平面向量解決相關問題時，在便于建立平面直角坐標系的情況下建立平面直角坐標系，可以使向量的坐標運算更簡便一些．
[典例] (2013·北京高考)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________.
[解題指導] 可建立平面直角坐標系，設正方形網格的邊長為1，求出a，b，c的坐標，然后利用c＝λa＋μb即可求出λ和μ的值，從而使問題得以解決．
[解析] 以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系，令每個小正方形的邊長為1個單位，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b
8、＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得解得所以＝4.
[答案] 4
[名師點評] 建立平面直角坐標系時，一般利用已知的垂直關系，或使較多的點落在坐標軸上，這樣解題會較簡便．
給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________．
解析：以O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，的方向為x軸的正方向，建立平面直角坐標系，則可知A(1,0)，B，設C(cos α，sin α)，則有x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，所以當α＝時，x＋y取得最大值2.
答案：2
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高考數(shù)學復習：第四章 ：第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
