新編高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題 概率與統(tǒng)計理科學生版

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1、 概率與統(tǒng)計 一、高考預測 計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分是高中數(shù)學中使用課時最多的一個知識板塊，高考對該部分的考查分值也較多．從近幾年的情況看，該部分考查的主要問題是排列組合應用問題，二項式定理及其簡單應用，隨機抽樣，樣本估計總體，線性回歸分析，獨立性檢驗，古典概型，幾何概型，事件的獨立性，隨機變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡單應用，在試卷中一般是2～3個選擇題、填空題，一個解答題，試題難度中等或者稍易．預計20xx年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點不會發(fā)生大的變化．計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分的復習要從整體上，從知識的相互關系上進行．概率試題

2、的核心是概率計算，其中事件之間的互斥、對立和獨立性是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具，在復習概率時要抓住概率計算的核心和這個工具；統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機抽樣，在復習統(tǒng)計部分時，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關的計算和對統(tǒng)計思想的理解，如樣本均值和方差的計算，用樣本估計總體等． 二、知識導學 (4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.第二步，判斷事

3、件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復. （1）二項分布 次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，…n，并且，其中，，隨機變量的分布列如下： 0 1 … … P … 稱這樣隨機變量服從二項分布，記作，其中、為參數(shù)，并記：. （2） 幾何分布 在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生. 隨機變量的

4、概率分布為： 1 2 3 … k … P p qp … … 要點3 離散型隨機變量的期望與方差 要點4 抽樣方法與總體分布的估計 3．分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 要點5 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質 2.線性回歸 簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數(shù)學方法. 變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關系和不確定的函數(shù)關系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關關系

5、的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關關系的經驗公式.具體說來，對n個樣本數(shù)據(jù)（），（），…，（），其回歸直線方程，或經驗公式為：.其中，其中分別為||、||的平均數(shù). 三、易錯點點睛 【易錯點2】二項式展開式中的項的系數(shù)與二項式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導致出錯 1、在的展開式中，的系數(shù)為 ，二項式系數(shù)為 。 【易錯點分析】在通項公式中，是二項式系數(shù)，是項的系數(shù)。 解析：令，得，則項的二項式系數(shù)為，項的系數(shù)為。 【知識點歸類點撥】在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，其通常做法就是確定通項公式中r的取值或取

6、值范圍，須注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 2、如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D） 解析：當時即,根據(jù)二項式通項公式得 時對應,即故項系數(shù)為. 【知識點歸類點撥】在的展開式中，系數(shù)最大的項是中間項，但當a，b的系數(shù)不為1時，最大系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過解不等式組來確定之 2.在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為 。（結果用數(shù)值表示） 解析：展開式中第r+1項為，要使項的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使為最大，由此得，所

7、以項的系數(shù)為。 （1） 在問題（3）的基礎上，再分配即可，共有分配方式種。 【知識點歸類點撥】本題是有關分組與分配的問題，是一類極易出錯的題型，對于此類問題的關鍵是搞清楚是否與順序有關，分清先選后排，分類還是分步完成等，對于平均分組問題更要注意順序，避免計算重復或遺漏。 2.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個班擔任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ） A、 210種 B、420種 C、630種 D、840種 解析：首先選擇3位教師的方案有：①一男兩女；計；②兩男一女：計=40。 其次派出3位教師的方案是=6

8、。故不同的選派方案共有種。 （3）甲、乙2人先排好，共有種排法；再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間，有種排法，這時把已排好的5人看作一個整體，與剩下的2人再排，又有種排法；這樣，總共有種不同的排法。 【易錯點6】二項式展開式的通項公式為，事件A發(fā)生k次的概率：二項分布列的概率公式：，三者在形式上的相似，在應用容易混淆而導致出錯。 1.某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得—100分。假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。(1)求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學期望。(2)求這名

9、同學總得分不為負分（即）的概率。 解析：（1）的可能取值為—300，—100，100，300。 所以的概率分布為 —300 —100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根據(jù)的概率分布，可得的期望 （2）這名同學總得分不為負分的概率為 。 從而的分布列為 0 1 2 3 4 P （2）。 【知識點歸類點撥】在正態(tài)分布中，為總體的平均數(shù)，為總體的標準差，另外，正態(tài)分布在的概率為，在內取值的概率為。解題時，應當注意正態(tài)分布在各個區(qū)間的取值概率，不可混淆，否則，將出現(xiàn)計算失誤

10、。 四、典型習題導練 1、一籠子中裝有2只白貓，3只黑貓，籠門打開每次出來一只貓，每次每只貓都有可能出來。（Ⅰ）第三次出來的是只白貓的概率；（Ⅱ）記白貓出來完時籠中所剩黑貓數(shù)為，試求的概率分布列及期望。 2、深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球）， 3 個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練，都從中任意取出2 個球，用完后放回．（Ⅰ）設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率． 5、某學生參加跳高和跳遠兩項體育測試，測試評價設三個等級，如果他這兩項測試得到的概率分別依次為和。(Ⅰ)求該

11、學生恰好得到一個和一個的概率；（Ⅱ）如果得到一個記15分，一個記10分，一個記5分，設該學生這兩項測試得分之和為，求的分布列和數(shù)學期望。 6、某電視臺有A、B兩種智力闖關游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨立進行游戲A，丙丁兩人各自獨立進行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關成功的概率均為.(Ⅰ)求游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關成功的人數(shù)的概率；（Ⅱ） 記游戲A、B被闖關成功的總人數(shù)為，求的分布列和期望. 7、盒內有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1

12、分 . 現(xiàn)從盒內任取3個球（Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望. 8、如圖3，兩點之間有條網(wǎng)線連接，它們能通過的最大信息量分別為. 從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量, 設這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為 （Ⅰ）當時,則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率; （Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望. 11、20xx年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率. 某大型銀行在一個星期內發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示： ⑴求在本周內該銀行所借貸客戶的平

13、均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）；⑵從本周內該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率； ⑶假設該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個星期不變，在這段時間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù)，求. 12、為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示．（Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取

14、20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔任主要負責人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望． 分組（單位：歲） 頻數(shù) 頻率 [20，25) 5 0.05 [25，30) ① 0.20 [30，35) 35 ② [35，40) 30 0.30 [40，45] 10 0.10 合計 100 1.00 13、某高校在20xx年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。 14、空氣質量指數(shù)(單位:)表示每

15、立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴重: 日均濃度 空氣質量級別 一級 二級 三級 四級 五級 六級 空氣質量類別 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染 某市年月日—月日(天)對空氣質量指數(shù)進行監(jiān)測,獲得數(shù)據(jù)后得到如下條形圖:（Ⅰ）估計該城市一個月內空氣質量類別為良的概率； （Ⅱ）在上述個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取個,設為空氣 質量類別為優(yōu)的天數(shù),求的分布列. 級別 O 5 16 8 天數(shù) 4 2 10 15 15、戶外運動已經成

16、為一種時尚運動，某單位為了了解員工喜歡戶外運動是否與性別有關，對本單位的50名員工進行了問卷調查，得到了如下列聯(lián)表： 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 5 女性 10 合計 50 已知在這50人中隨機抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是.（Ⅰ）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（Ⅱ）是否有99.5﹪的把握認為喜歡戶外運動與性別有關？并說明你的理由；（Ⅲ）經進一步調查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運動的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽.若從喜歡戶外運動的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.下面的臨界值表僅供參考：

17、0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （） 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 20 5 25 女性 10 15 25 16、在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關系，選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料： 動物編號 1 2 3 4 5 6 用藥量x（單位） 1 3 4 5 6 8 抗體指標y (單位） 3.4 3.7 3.

18、8 4.0 4.2 4.3 記為抗體指標標準差，若抗體指標落在內則稱該動物為有效動物，否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗. 17、一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為的函數(shù)：，，，，，． （１）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（２）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學期望． 18、“肇實，正名芡實，因肇慶所產之芡實顆粒大、藥力強，故名?！蹦晨?/p>

19、研所為進一步改良肇實，為此對肇實的兩個品種（分別稱為品種A和品種B）進行試驗．選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B． （1）假設n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學期望； （2）試驗時每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗結束后得到品種A和品種B在每個小片水塘上的每畝產量（單位：kg/畝）如下表： 號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 品種A 101 97 92 103 91 100 110 106 品種B 115 107 112

20、 108 111 120 110 113 分別求品種A和品種B的每畝產量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結果，你認為應該種植哪一品種？（12分） 20、甲、乙兩同學進行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分（無平局），比賽進行到有一個人比對方多2分或比滿8局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為． （I）如右圖為統(tǒng)計這次比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖． 其中如果甲獲勝，輸人a=l．b=0;如果乙獲勝，則輸人a=0，b=1． 請問在①②兩個判斷框中應分別填寫什么條件？（Ⅱ）求p的值； （Ⅲ）設表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和 【解析】（Ⅰ）程序框圖中的①應填，②應填.