新版高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 三角函數(shù)學(xué)生版

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1、 1

2、 1 三角函數(shù) 一、高考預(yù)測 該專題是高考重點考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應(yīng)用．該部分在試卷中一般是2～3個選擇題或者填空題，一個解答題，選擇題在于有針對性地考查本專題的重要知識點(如三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積

3、等)，解答題一般有三個命題方向，一是以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，二是把解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換交匯，三是考查解三角形或者解三角形在實際問題中的應(yīng)用．由于該專題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和工具性知識，在試題的難度上不大，一般都是中等難度或者較為容易的試題．從近幾年全國各地的高考試題來看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點: 1.考小題，重在基礎(chǔ)運用 二、知識導(dǎo)學(xué) 要點1：三角函數(shù)的概念、同角誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用 1．三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。2．同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化

4、簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件。 要點2：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式、圖象問題 ，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝

5、平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 要點3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題 1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 3．對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為； 的對稱軸為，對稱中心為；對于和、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像

6、法和定義法。 要點4：三角變換及求值 1．兩角和與差的三角函數(shù)； ；。 2．二倍角公式；； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 要點5：正、余弦定理的應(yīng)用

7、 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 。（R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去

8、這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點，它是在新的載體上進行的三角變換，因此要時刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口。 要點6：三角函數(shù)的實際應(yīng)用 三角形中的三角變換 三

9、角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。 （1）角的變換 因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。 在解三角形時，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有

10、兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量避免求正弦值。 要點7：向量與三角函數(shù)的綜合三、易錯點點睛 命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1．函數(shù)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則眾的取值范圍是 . [考場錯解] ∵=∴的值域為(0，3)，∵與y=k有交點，∴k∈[0，3]． ( ) A.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動個單位長度 [考場錯解]∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫

11、坐標(biāo)縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx [專家把脈] 選B有兩處錯誤，一是若將函數(shù)=sin(2x+)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，(縱坐標(biāo)標(biāo)不變)所得函數(shù)y==sin(4x+)，而不是=sin(x+)，二是將函數(shù)y= [對癥下藥] 選C 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像；再向左平行移動子個單位長度后便得y=sin(x++)=cosx的圖像．故選C． 3．設(shè)函數(shù)=sin(2x+)(-π<<0)，y=圖像的一條對稱軸是直線x=. (1)求；

12、 (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間； (3)畫出函數(shù)y=在區(qū)間[0，π]上的圖像． [考場錯解] (1)∵x=是函數(shù)y=的圖像的對稱軸，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k [專家把脈]以上解答錯在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，令處，因若把看成一個整體u，則y=sinu的周期為2π。故應(yīng)令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. 解得所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由知 x 0 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 [

13、考場錯解] [對癥下藥]∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)．故該函數(shù)的最小正周期是π. 當(dāng)2x-=2kπ-時，即x=kπ-時，y有最小值 令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z．解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z． 令K=0時，-≤x≤．又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， K=1時， π≤x≤π 又∵0≤x≤π. 命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1．設(shè)α為第四象限的角，若，則tan2α= . [考場錯解] 填±∵ ∴ [

14、考場錯解] (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-. [專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時出現(xiàn)了錯誤．即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx，用錯了公式，因為 2sin2 =1-cosx．因此原式化簡結(jié)果是錯誤的． [對癥下藥]解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-． ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵-

15、>0，sinx-cosx<0． ∴sinx-cosx=． (2) ① ② 解法2 (1)聯(lián)立方程 由①得slnx=-cosx，將其代入②，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-或(cosx=) ∵-

16、-或tanα=又∵sin(2α+)=sin2αcos+cos2α·sin 將tanα=時代入上式得即 [專家把脈] 上述解答忽視了題設(shè)條件提供的角的范圍的運用，∵α∈(,π)，tanα<0， ∴tanα=應(yīng)舍去，因此原題只有一解． 將代入上式得sin(2α+)= [專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：①1+cos2x≠2sin2x；②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1．∴1+cos2x=2cos2x．由誘導(dǎo)公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx． [對癥下藥] ∵=其中角滿足由已知有=4，解之得，a=

17、 [考場錯解] 設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<)． (2)當(dāng)sin2θ=1即θ=時，S最大，S的最大值為1 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ． A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．與x的取值有關(guān) [考場錯解] 選A 設(shè)=2x-3sinx，∴= 2-3cosx，∵00． ∴在(0，)上是增函數(shù) ∴>=0．即2x>3sinx，選A [專家把脈

18、]∵=3(-cosx)．當(dāng)00

19、，由②式知tan(an-1，-an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限∴0是=0的任意正實根，即x0-tanx0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0∈(+kπ

20、，π+kπ)，即x0在第二或第四象限內(nèi)．由①式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下： X () 的符號 K為奇數(shù) - 0 + K為偶數(shù) + 0 - 所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點．由題設(shè)條件，a1,a2，…，an…為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a1

21、樣繼續(xù)． 又a+λb與λa+b的夾角為銳角，∴(a+λb)·(λa+ b)>0，且a+λb≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b>0即3λ2+11λ +3>0，解得λ>．由a+λb≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，綜上所述實數(shù)λ的取值范圍是(-∞，,1)∪(1，+∞)． 3．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點且滿足，則△AOB與△AOC的面積之比為 ( ) A．1 B. D．2 △AOB的面積與△AOC的面積之比為3：2，選B． (2)不妨設(shè)A(0，0)，B(

22、1，0)，C(0，1)，O(x,y)，則由專家會診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)注意對向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實數(shù)胡亂類比；向量的運算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時不要過分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來進行計算是比較方便的，那么對向量的加、減法法則、定比分點的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時不要出錯，解題時應(yīng)善于將向量用一組基底來表示，要會應(yīng)用向量共線的充要條件來解題. 命題角度5 平面向量與三角、數(shù)列 (2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=

23、2sin2(x+ y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2( 2.已知i,j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量， （1）求 [考場錯解]（1）由已知有 [專家把脈]向量是一個既有方向又有大小的量，而錯解中只研究大小而不管方向，把向量與實數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識性的錯誤. [對癥下藥] （1） 3.在直角坐標(biāo)平面中，已知點P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對平面上任一點Ao，記A1為Ao關(guān)于點P1的對稱點，A2為A1，關(guān)于點P2的對稱點，…，An為An-1關(guān)于點Pn的對稱點． [考場錯

24、解] 第(2)問，由(1)知=(2，4)，依題意，將曲線C按向量(2，4)平移得到 因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈(-2，1)時，g(x)=1g(x+2)-4，于是，當(dāng)x∈(1，4)時，g(x)=1g(x-1)-4． 專家會診 向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目，實際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問題，轉(zhuǎn)化時不要把向量與實數(shù)搞混淆，一般來說向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，綜合性強、能力要求較高． 命題角度6平面向量與平面解析幾何

25、 1．(典型例題)已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點F(-m，0)(m是大于0的常數(shù)．) (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F、 Q的直線l與y 軸交于點M，若，求化時出現(xiàn)錯誤，依題意應(yīng)轉(zhuǎn)化為再分類求解k [對癥下藥] (1)設(shè)所求橢圓方程為1 (a>b>O)． 由已知得c=m，2．梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=AC⊥BD，M為CD的中點． (1)求點M的軌跡方程； (2)過M作AB的垂線，垂足為N，若存在常數(shù)λo，使，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡C的方程． [考場錯解] 第(2)問：設(shè)P(x，y

26、)，M(xo，yo)，則N(0，yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1． [專家把脈] 對分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進行坐標(biāo)運算，實際上M、N、P三點共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出λo=-1是錯誤的． [對癥下藥] (1)解法1：設(shè)M(x，y)，則C(x，-1+ 即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x≠0，∴M的軌跡方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法2：設(shè)AC與BD交于E，連結(jié)EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分3．ABCD是邊長為2的正方形紙片，以某動直線l為折痕將正方

27、形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點。都落在AD上，記為B'；折痕l與AB交于點E，使M滿足關(guān)系式 (1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點M的軌跡方程； (2)若曲線C是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的 [對癥下藥] (1)解法1以AB所在的直線為y軸，AB的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖6-6所示的直角坐標(biāo)系，別 A(0，1)，B(0，-1)，設(shè)E(0，t)，則由已知有0≤t≤1，由(2)由(1)結(jié)合已知條件知C的方程是x2=-4y (-2≤x≤2)，由知F(0，)，設(shè)過F的直線的斜率為k，則方程為y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x1=-λx2，聯(lián)立直線方程和C得方程是x

28、2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]內(nèi)有兩個解，由；次函數(shù)的圖像知，由x=-λx2可得由韋達定理得8k2=. [考場錯解] (1)設(shè)橢圓方程為，F(xiàn)(c，0)聯(lián)立y=x-c與得([專家把脈]與(3，-1)共線，不是相等，錯解中，認為(3，-1)，這是錯誤的，共線是比例相等． (x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在橢圓上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2． 即λ2()+2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．① 由(1)知x2+x2=∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(

29、x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0． 又又，代入①得 λ2+μ2=1．故λ2+μ2為定值，定值為1． 1．在△ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和△ABC的面積． =sin(45°+60°)= 當(dāng)A=165°時，tanA=tan(45°+ 120°)=-2+，sinA=sin(45°+120°) [對癥下藥] 解法1．∵sinA+cosA=<180°， ∴A-45°=60°，得A=105°．∴tanA=tan(45°+60°)=-2-，sinA=sin(45°+60°)= , S△ABC= 解法2 ∵sin

30、A+cosA=又0°0,cosA<0, . [專家把脈]沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三邊，∴1

31、Ⅱ）若,求的大小. 4、已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，，求的值． 5、設(shè)函數(shù).求的最小正周期；已知分7、己知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期。（2）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若，、b=1、c=，求a的值． 9、已知函數(shù)，若的最大值為1（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）在中，角、、的 40 東 300 A B 20 北 C 11、如圖，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西且相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援.⑴求

32、線段的長度及的值； ⑵求的值. 12、如圖4，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：， ，，， ，DC=CE=1（百米）. （1）求DCDE的面積；（2）求A，B之間的距離. 13、在ABC中，所對邊分別為，且滿足（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值. 14、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形．（1）將四邊形ABCD的面積表示為的函數(shù)； （Ⅱ）求的最大值及此時的值． 15、△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為且滿足(Ⅰ)求角C的大??；18、在△中，向量，向量，且滿足.⑴求角的大??；⑵求的取值范圍.