新版三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第七節(jié) 空間角與距離 理全國(guó)通用

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1、11第七第七節(jié)節(jié)空間角與距離空間角與距離A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試三年模擬精選一、選擇題1 (20 xx泰安模擬)已知向量m m，n n分別是直線l和平面的方向向量和法向量， 若 cos m m，n n12，則l與所成的角為()A30B60C120D150解析設(shè)l與所成角為，cosm m，n n12，又直線與平面所成角滿足 090，sin|12|.30.答案A2(20 xx廣州模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則 sinCM，D1N的值為()A.19B.4 59C.2 59D.23解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，

2、建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可知CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)，cosCM，D1N19，sinCM，D1N4 59.答案B3(20 xx石家莊調(diào)研)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A.32B.22C.2 23D.2 33解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1A1(2，0，0)，DA1(2，0，2)，DB(2，2，0)，設(shè)平面A1BD的法向量n n(x，y，z)，則n nDA12x2z0，n nDB2x2y0.令x1，則n n(1，1，1)點(diǎn)D1到平面A1BD的距離

3、d|D1A1n n|n n|232 33.答案D4(20 xx江西南昌質(zhì)檢)二面角l等于 120，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACBD1，則CD的長(zhǎng)等于()A. 2B. 3C2D. 5解析如圖，二面角l等于 120，CA與BD夾角為 60.由題設(shè)知，CAAB，ABBD，|AB|AC|BD|1，|CD|2|CAABBD|2|CA|2|AB|2|BD|22CAAB2ABBD2CABD32cos 604，|CD|2.答案C二、填空題5(20 xx青島模擬)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_解

4、析以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量，則n nA1B0，n nA1C10，即2yz0 x2y0，令z2，則y1，x2，于是n n(2，1，2)，D1C1(0，2，0)，sin|cosn n，D1C1|13.答案13一年創(chuàng)新演練6已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則CG(0，0，2)，由題意可求得平面GEF的一個(gè)法向量為n n(1，1，3)，所以點(diǎn)C到平面GEF的距離為d|n nCG|n n|

5、6 1111.答案6 11117如圖，三棱錐PABC中，PAPBPC 3，CACB2，ACBC.(1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離；(2)求二面角CPAB的余弦值解取AB中點(diǎn)O，連接OP，CO，CACB 2，ACB90，COAB，且AB2，CO1.PAPB 3，POAB，且POPA2AO2 2.PO2OC23PC2，POC90，即POOC.OA，OC，OP兩兩垂直如圖所示，分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2)(1)設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n n(x，y，1)，則n nAC0，n

6、nPA0.AC(1，1，0)，PA(1，0， 2)，xy0，x 20，xy 2，n n( 2， 2，1)AB(2，0，0)，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d|n nAB|n n|2 22212 105.(2)OC(0，1，0)是平面PAB的一個(gè)法向量，cosn n，OC2221105.綜合圖形可見(jiàn)，二面角CPAB的大小為銳角，二面角CPAB的余弦值為105.B 組專項(xiàng)提升測(cè)試三年模擬精選一、選擇題8(20 xx寧夏銀川調(diào)研考試)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.32解析法一取A1C1的中點(diǎn)E，連接AE、

7、B1E.由題易知B1E平面ACC1A1，則B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角令正三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)為 1，則 sinB1AEB1EAB132264，故選 A.法二如上圖，以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)棱長(zhǎng)為 1，則A(12，0，1)，B1(0，32，0)，設(shè)AB1與面ACC1A1所成角為，則 sin|cosAB1，EB1|12，32，10，32，0232|64.答案A二、填空題9 (20 xx江蘇徐州一模)將銳角A為 60， 邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿BD折成 60的二面角，則A與C之間的距離為_解析設(shè)折疊后點(diǎn)A到達(dá)A1點(diǎn)的位置，取BD的中點(diǎn)E，連接A1E、CE

8、.BDCE，BDA1E.A1EC為二面角A1BDC的平面角A1EC60，又A1ECE，A1EC是等邊三角形A1ECEA1C32a.即折疊后點(diǎn)A與C之間的距離為32a.答案32a三、解答題10.(20 xx南京模擬)如圖，ABC是以ABC為直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分別是SC，AB，BC的中點(diǎn)(1)求證：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面SND的距離解以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA為x，y軸的正方向，垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)(1)證明由題意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0

9、)，S(0，4，2)，D(1，0，0)所以：MN(1，0，1)，AB(0，4，0)，MNAB0，MNAB.(2)設(shè)平面SND的一個(gè)法向量為m m(x，y，z)，則：m mSN0，且m mDN0.SN(0，2，2)，DN(1，2，0)，2y2z0，x2y0，即yz0，x2y.令z1，得：x2，y1，m m(2，1，1)又平面AND的法向量為n n(0，0，1)，cosm m，n nm mn n|m m|n n|66.由題圖易知二面角SNDA為銳角，故其余弦值為66.(3)AN(0，2，0)，點(diǎn)A到平面SND的距離d|ANm m|m m|63.11 (20 xx廣東六校聯(lián)盟模擬)如圖， 將長(zhǎng)為 4

10、， 寬為 1 的長(zhǎng)方形折疊成長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的四個(gè)側(cè)面，記底面上一邊ABt(0t0)，P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)AA1ABAC時(shí)，求證：A1C平面ABC1；(2)試求三棱錐PBCC1的體積V取得最大值時(shí)的t值；(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值為1010，試求實(shí)數(shù)t的值(1)證明連接A1C.AA1平面ABC，AB、AC平面ABC，AA1AC，AA1AB.又ABAC，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(0，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，A1C(0，1，1)，

11、AC1(0，1，1)，AB(1，0，0)設(shè)平面ABC1的法向量n n(x，y，z)，則n nAC1yz0，n nABx0，解得x0，yz.令z1，則n n(0，1，1)A1Cn n，A1C平面ABC1.(2)解AA1平面BB1C1C，點(diǎn)P到平面BB1C1C的距離等于點(diǎn)A到平面BB1C1C的距離111P BCCA BCCCABCVVV16t2(32t)12t213t3(0t32)，Vt(t1)，令V0，得t0(舍去)或t1，列表得t(0，1)11，32V0V遞增極大值遞減當(dāng)t1 時(shí)，Vmax16.(3)解A(0，0，0)，C1(0，t，32t)，B(t，0，0)，C(0，t，0)，A1(0，0，

12、32t)，A1C(0，t，2t3)，AC1(0，t，32t)，AB(t，0，0)，CC1(0，0，32t)，BC(t，t，0)設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n n1(x1，y1，z1)，則n n1 1AC1ty1（32t）z10，n n1ABtx10，解得x10，y12t3tz1，令z1t，則n n1(0，2t3，t)設(shè)平面BCC1的一個(gè)法向量為n n2(x2，y2，z2)，則n n2 2BCtx2ty20，n n2CC1（32t）z20，0t32，解得x2y2，z20.令y21，則n n2(1，1，0)設(shè)二面角ABC1C的平面角為，由圖可知為銳角，則有|cos|n n1n n2|n n1|n n2|2t3|2t2（2t3）21010.化簡(jiǎn)得 5t216t120，解得t2(舍去)或t65.當(dāng)t65時(shí)，二面角ABC1C的平面角的余弦值為1010.