新版一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí)：第四章 第三節(jié)　函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，若f()＝f()，且f(x)在區(qū)間(，)上有最大值，無最小值，則ω＝________. 解析：由題意f()＝1，即ω·＋＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝＋6k，k∈Z. 又<，所以0<ω<6，故ω＝. 答案： 2．函數(shù)y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值為________． 解析：y＝sin (＋x

3、)cos(－x) ＝cos x·cos(－x) ＝cos x(cos·cos x＋sin·sin x) ＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin x·cos x ＝·＋sin 2x＝＋cos 2x＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x) ＝＋sin(2x＋)， ∴當(dāng)sin(2x＋)＝1時，ymax＝. 答案： 3．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象如圖所示，則f()＝_ _______. 解析：由圖象可知，T＝π，從而T＝＝，ω＝3， 得f(x)＝2sin(3x＋φ)，又由f()＝0可取φ＝－， 于是f(x)＝2sin(3

4、x－)，則f()＝2sin(－)＝0. 答案：0 4．若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于點(，0)對稱，則|φ|的最小值是________． 解析：將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的圖象．因為該函數(shù)的圖象關(guān)于點(，0)對稱，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，|φ|取得最小值. 答案： 5．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)．若f(x)≤|f()|對x∈R恒成立，且f()＞f(π)

5、，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析：由?x∈R，有f(x)≤|f()|知，當(dāng)x＝時f(x)取最值，∴f()＝sin(＋φ)＝±1，∴＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ(k∈Z)． 又∵f()＞f(π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)， ∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ?。?kπ(k∈Z)． 不妨取φ＝－，則f(x)＝sin(2x－)． 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， ∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[＋kπ，＋kπ](k∈Z)

6、． 答案：[kπ＋，kπ＋](k∈Z) 6．已知x∈(0，π]，關(guān)于x的方程2sin(x＋)＝a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：令y1＝2sin(x＋)，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的圖象如圖所示，若2sin(x＋)＝a在(0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2應(yīng)有兩個不同的交點，所以0，ω>0,0<φ<，則函數(shù)解析式為________． 解析：由題設(shè)得，A＝2，n＝2，ω＝4，且當(dāng)x＝時， s

7、in (π＋φ)＝±1，故φ＝. 所求解析式為y＝2sin (4x＋)＋2. 答案：y＝2sin (4x＋)＋2 8．在矩形ABCD中，AB⊥x軸，且矩形ABCD恰好能完全覆蓋函數(shù)y＝asin ax(a∈R，a≠0)的一個完整周期圖象，則當(dāng)a變化時，矩形ABCD周長的最小值為________． 解析：根據(jù)題意，設(shè)矩形ABCD的周長為c， 則c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝±時取等號． 答案：8 9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin(2x－)，有下列命題： ①其表達(dá)式可寫成f(x)＝cos(2x＋)； ②直線x＝－是f(x)圖象的一條對稱軸； ③f(x)的圖象可

8、由g(x)＝sin 2x的圖象向右平移個單位得到； ④存在α∈ (0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立． 則其中真命題的序號為________． 解析：對于①，f(x)＝sin(2x－)＝cos[－(2x－)] ＝cos(2x－π)，故①錯； 對于②，當(dāng)x＝－時，f(－)＝sin[2×(－)－] ＝sin(－)＝－1，故②正確； 對于③，g(x)＝sin 2x的圖象向右平移個單位得到的圖象解析式為y＝sin 2(x－)＝sin(2x－)，故③錯； 對于④，因為f(x)的周期為π，故當(dāng)α＝時，f(x＋α)＝f(x＋3α)，所以④正確． 答案：②④ 二、解答題 1

9、0．已知函數(shù)f(x)＝2cos xsin(x＋)－sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)當(dāng)x∈[0，]時，求f(x)的值域． 解析：(1)f(x)＝2cos xsin(x＋)－sin2x＋sin xcos x ＝2cos x(sin x＋cos x)－sin2x＋sin xcos x ＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)． 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)∵x∈[0

10、，]，∴2x＋∈[，]． 則sin(2x＋)∈[，1]，∴f(x)的值域為[1,2]． 11．已知函數(shù)f(x)＝sin 2xsin φ－2cos2xcos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)在x＝時取得最大值． (1)求φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若g(α)＝，求sin α的值． 解析：(1)因為f(x)＝sin 2xsin φ－2cos2xcos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)， 所以f(x)＝sin 2xsinφ＋2cos2xcos φ－cos φ ＝sin 2xsin φ＋(1＋c

11、os 2x)cos φ－cos φ ＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ＝cos(2x－φ)， 又函數(shù)y＝f(x)在x＝時取得最大值， 所以cos(2·－φ)＝cos(－φ)＝1， 因為0<φ<π，所以φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)， 所以g(x)＝f(x)＝cos(x－)， 于是有g(shù)(α)＝cos(α－)＝， 所以sin(α－)＝±. 所以sin α＝sin[(α－)＋] ＝sin(α－)·cos＋cos(α－)·sin ＝. 12．已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作：y＝f(t)，下面是某

12、日各時的浪高數(shù)據(jù)： t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式； (2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度不低于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8∶00至20∶00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動？ 解析：(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12， ∴ω＝＝＝， 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；① 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，② ∴A＝0.5，b＝1， ∴振幅為， ∴y＝cost＋1(0≤t≤24)． (2)由題知，當(dāng)y≥1時才可對沖浪者開放， ∴cost＋1≥1， ∴cos t≥0， ∴2kπ－≤t≤2kπ＋，k∈Z， 即12k－3≤t≤12k＋3，k∈Z，③ ∵0≤t≤24，故可令③中的k分別為0,1,2， 得0≤t≤3，或9≤t≤15，或21≤t≤24. ∴在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時的時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午3：00.