新編高考數(shù)學(xué)理一輪資料包 第十二章　圓錐曲線

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 二章　圓錐曲線 第1講　橢　圓 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2011年全國(guó))橢圓＋＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 2．橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 3．短軸長(zhǎng)為2 ，離心率e＝的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 4．已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的

2、點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 5．(2012年廣東惠州三模)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為(　　) A. B. C．2 D. 6．(2013年新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上的點(diǎn)PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　 ) A. B. C. D. 7．(2012年四川)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)

3、△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是____________． 8．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 9．(2013年天津)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若·＋·＝8，求k的值． 10．(2013年江西)如圖K12-1-1，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P，離心

4、率e＝，直線l的方程為x＝4. (1)求橢圓C的方程； (2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 圖K12-1-1  第2講　雙曲線 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2013年北京)雙曲線x2－＝1的離心率大于的充要條件是(　　) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 2．(2012年福建)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0

5、)，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B. C. D. 3．(2013年陜西)雙曲線－＝1的離心率為，則m＝__________. 4．(2013年福建)雙曲線－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C. D. 5．(2012年新課標(biāo))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4 ，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　) A. B．2 C．4 D．8 6．(2012年全國(guó))已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A.

6、 B. C. D. 7．(2013年廣東珠海二模)如圖K12-2-1，F(xiàn)1、F2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若 |AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為__________． 圖K12-2-1 8．(2012年天津)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：－＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，則a＝________，b＝________. 9．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長(zhǎng)為2 . (1)求雙曲線C的方程； (2)

7、已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 10．(2012年廣東佛山一模)已知圓C1：(x－4)2＋y2＝1，圓C2：x2＋(y－2)2＝1，圓C1，C2關(guān)于直線l對(duì)稱． (1)求直線l的方程； (2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到點(diǎn)A(－2 ，0)的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B(2 ，0)的距離的差為4，如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．  第3講　拋物線 　　　　　　　　　　　　　　　　

8、1．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 3．(2013年四川)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A. B. C．1 D. 4．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 5．(2014屆廣東寶安中學(xué)等七校聯(lián)考)已知拋物線y2＝

9、2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A. B．1 C．2 D．4 6．(2012年湖北八校聯(lián)考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(k，－2)與點(diǎn)F的距離為4，則拋物線方程為____________． 7．(2013年北京)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為____________． 8．(2012年陜西)圖K12-3-1是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m，水位下降1 m后，水面寬________m. 圖K12-3-1 9．

10、(2012年廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1(－1 ,0)，且點(diǎn)P(0 ,1)在C1上． (1)求C1的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x都相切，求直線l的方程． 10．已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (1)證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由．  第4講　軌跡與方程

11、 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝ 2．一動(dòng)圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.＋＝1 D.－＝1 3．設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

12、 4．已知橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)Q，使|PQ|＝|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線一支 D．拋物線 5．F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 6．已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2 ，P是AB的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為____________． 7．已知A，B是圓F：2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交B

13、F于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________． 8．打開“幾何畫板”進(jìn)行如下操作： ①用畫圖工具在工作區(qū)畫一個(gè)圓C(C為圓心)； ②用取點(diǎn)工具分別在圓C上和圓外各取一點(diǎn)A，B； ③用構(gòu)造菜單下對(duì)應(yīng)命令作出線段AB的垂直平分線； ④作直線AC. 設(shè)直線AC與l相交于點(diǎn)P，當(dāng)A在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是________． 9．(2013年廣東惠州第二次調(diào)研)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線x＝－1相切. (1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程； (2)是否存在直線l，使l過點(diǎn)，并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足·＝0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理

14、由． 10．(2013年四川)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程．  第5講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|為(　　) A．2

15、 B．4 C．6 D．8 2．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 3．(2012年山東)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 4．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 5．如圖K

16、12-5-1，已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝4x上的兩點(diǎn)A，B滿足＝3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________． 圖K12-5-1 6．若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________. 7．如圖K12-5-2，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是______________． 圖K12-5-2 8．已知圓C1的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝，橢圓C2的方程為＋＝1(a>b>0)，C2的離心率為，如

17、果C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，且AB恰好是圓C1的一條直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程． 9．(2013年新課標(biāo)Ⅰ)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)l是與圓P、圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|. 第十二章　圓錐曲線 第1講　橢　圓 1．D　2.C　3.C 4．B　解析：兩圓心恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，所以|PF1|＋|PF2|

18、＝10，M，N分別為兩圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以|PM|＋|PN|的最小值為10－1－2＝7. 5．A　解析：因?yàn)閑＝＝，所以c＝a.由a2＝b2＋c2，得＝.x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離為d＝＝＝. 6．D　解析：設(shè)|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， ∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x. 又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， ∴2a＝3x,2c＝x. ∴C的離心率為e＝＝. 7．3　解析：當(dāng)直線x＝m過右焦點(diǎn)時(shí)△FAB的周長(zhǎng)最大，∴x＝c＝m＝1.將x＝1代入解得y＝±.∴S△FAB＝×2×3＝3.

19、 8．15　解析：∵|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|. ∴|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知點(diǎn)M在橢圓外，連接MF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋＝15. 9．解：(1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1. 解得y＝±，于是＝，解得b＝. 又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由F(－1,0)，得直線CD的方程為y

20、＝k(x＋1)， 由方程組消去y， 整理，得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 求解，可得x1＋x2＝－，x1x2＝. 因?yàn)锳(－，0)，B(，0)， 所以·＋· ＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋. 由已知，得6＋＝8，解得k＝±. 10．解：(1)由P在橢圓上，得＋＝1.① 由e＝，得a＝2c，則b2＝3c2.② ②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3. 故橢圓

21、C的方程為＋＝1. (2)方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k， 則直線AB的方程為y＝k(x－1)，③ 將③代入橢圓方程3x2＋4y2＝12， 整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有 x1＋x2＝，x1x2＝，④ 在方程③中令x＝4，得M的坐標(biāo)為(4,3k)． 從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－. 注意到A，F(xiàn)，B共線，則k＝kAF＝kBF，即＝＝k. 所以k1＋k2＝＋＝＋－ ＝2k－·.⑤ 將④代入⑤，得 k1＋k2＝2k－·＝2k－1， 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3. 故存在常數(shù)λ＝2符合題

22、意． 方法二：設(shè)B(x0，y0)(x0≠1)， 則直線FB的方程為：y＝(x－1)， 令x＝4，求得M. 從而直線PM的斜率為k3＝. 聯(lián)立 得A， 則直線PA的斜率為：k1＝， 直線PB的斜率為：k2＝. 所以k1＋k2＝＋＝＝2k3. 故存在常數(shù)λ＝2符合題意． 第2講　雙曲線 1．C　2.C　3.9　4.C 5．C　解析：設(shè)等軸雙曲線方程為x2－y2＝m(m>0)，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－4.由|AB|＝4 ，則|yA|＝2 ，把坐標(biāo)(－4，±2 )代入雙曲線方程，得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以雙曲線方程為x2－y2＝4，即－＝1，所以a2＝4，a＝2，所以

23、實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4.故選C. 6．C　解析：雙曲線的方程為－＝1，所以a＝b＝，c＝2，因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2 ，解得|PF2|＝2 ，|PF1|＝4 ，根據(jù)余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝. 7.　解析：設(shè)|AB|＝3x，|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝4x＋2a，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF1|＝5x－2a，|BF1|－|AF1|＝4a－x＝|AB|＝3x，x＝a，∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a,2c＝|F1F2|＝＝2 a， 雙曲線的離心率為e＝＝＝.

24、8．1　2　解析：雙曲線的－＝1的漸近線方程為y＝±2x，而－＝1的漸近線方程為y＝±x，所以有＝2，b＝2a.又雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(，0)，所以c＝.又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4a2＝5a2，所以a2＝1，故a＝1，b＝2. 9．解：(1)由題意，得＝，b2＝c2－a2＝2，解得a＝1，c＝.∴所求雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)． 由得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ>0)， ∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m. ∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上， ∴m2＋(2m)

25、2＝5.∴m＝±1. 10．解：(1)因?yàn)閳AC1，C2關(guān)于直線l對(duì)稱，圓C1的圓心C1坐標(biāo)為(4,0)，圓C2的圓心C2坐標(biāo)為(0,2)， 顯然直線l是線段C1C2的中垂線， 線段C1C2中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)， C1C2的斜率是k＝＝＝－， 所以直線l的方程是y－1＝－(x－2)，即y＝2x－3. (2)假設(shè)這樣的Q點(diǎn)存在， 因?yàn)镼點(diǎn)到A(－2 ，0)點(diǎn)的距離減去Q點(diǎn)到B(2 ，0)點(diǎn)的距離的差為4， 所以Q點(diǎn)在以A(－2 ，0)和B(2 ，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支上，即Q點(diǎn)在曲線－＝1(x≥2)上． 又Q點(diǎn)在直線l上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解， 消元，得3x

26、2－12x＋13＝0，Δ＝122－4×3×13<0，方程組無解，所以點(diǎn)P的軌跡上是不存在滿足條件的Q點(diǎn)． 第3講　拋物線 1．C　2.B　3.B 4．A　解析：點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值就是點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離之和取得最小值，過點(diǎn)Q(2，－1)作準(zhǔn)線的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)P為所求，點(diǎn)P坐標(biāo)為. 5．C 6．x2＝－8y　7.2　x＝－1 8．2 　解析：設(shè)水面與橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖D84建立直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，代入點(diǎn)A，得p＝1，設(shè)水位下降1 m后水面與橋的交點(diǎn)坐

27、標(biāo)為(x0，－3)，則x＝－2×(－3)，x0＝±，所以水面寬度為2 . 圖D84 9．解：(1)由題意可得c＝1，把點(diǎn)P代入C1，得b＝1，根據(jù)a2＝b2＋c2＝2，橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)直線l的斜率顯然存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，聯(lián)立方程組 消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切，所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)·(2m2－2)＝0，整理得2k2－m2＋1＝0.?、? 聯(lián)立方程組 消去y，整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， 因?yàn)橹本€與拋物線C2：相切， 所以Δ＝(2km

28、－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.?、? 解得k＝，m＝或k＝－，m＝－. 所以直線l方程為y＝±(x＋2)． 10．(1)證明：如圖D85，設(shè)A(x1,2x)，B(x2,2x)，把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0. 圖D85 由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝，x1x2＝－1， ∴xN＝xM＝＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為. 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l：y－＝m， 將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0， ∵直線l與拋物線C相切， ∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0， ∴m＝k.即l∥AB. (2)解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使·＝0，則NA⊥N

29、B. 又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|＝|AB|. 由(1)，知：yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) ＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2. ∵M(jìn)N⊥x軸， ∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 又|AB|＝·|x1－x2| ＝· ＝· ＝·. ∴＝·，解得k＝±2. 即存在k＝±2，使·＝0. 第4講　軌跡與方程 1．C 2．A　解析：兩定圓的圓心和半徑分別為O1(－3,0)，r1＝1；O2(3，0)，r2＝9. 設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R， 則由題設(shè)條件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10. 由

30、橢圓的定義知：M在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上， 且a＝5，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＋＝1.故選A. 3．A 4．A　解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓． 5．A　解析：如圖D86，∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1， ∴Q為AF1的中點(diǎn)，且|PF1|＝|PA|， ∴|OQ|＝|AF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＝a， ∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓． 圖D86 6.＋y2＝1　解析：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y

31、2)． ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴?、? ∵A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的點(diǎn)， ∴y1＝x1和y2＝－x2. 代入①，得?、? 又||＝2 ，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12. ∴12y2＋x2＝12，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋y2＝1. 7．x2＋y2＝1　解析：依題意可知，|BP|＋|PF|＝2，|PB|＝|PA|，則|PA|＋|PF|＝2.由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓． 8．雙曲線　解析：由題意畫出圖形，如圖D87. ∵線段AB的垂直平分線為l，∴PA＝PB. ∴PC－PB＝PC－PA＝AC(定值)． ∴由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是雙

32、曲線． 圖D87 　　圖D88 9．解：(1)如圖D88，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)(1,0)，過點(diǎn)M作直線x＝－1的垂線，垂足為N， 由題意知：|MF|＝|MN|， 即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線x＝－1的距離相等， 由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F(1,0)為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線， ∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y2＝4x. (2)若直線l的斜率不存在，則與拋物線C相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意； 若直線l的斜率為0，則與拋物線C相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意； 故設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)， 由得ky2－4y＋4＝0. Δ＝16－

33、16k>0，∴k<1且k≠0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則y1y2＝，x1x2＝＝. 由·＝0，即 ＝，＝， 于是x1x2＋y1y2＝0， 即＋＝0，解得k＝－<1. ∴ 直線l存在，其方程為y＝－x＋1. 10．解：(1)由橢圓定義知， 2a＝|PF1|＋|PF2| ＝＋＝2 . 所以a＝. 又由已知，c＝1. 所以橢圓C的離心率e＝＝＝. (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)． ⅰ)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. ⅱ)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的

34、方程為y＝kx＋2. 因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝.① 將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化簡(jiǎn)，得x2＝.③ 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上， 所以k＝，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18. 由③及k2＞，

35、可知0＜x2＜， 即x∈∪. 又滿足10(y－2)2－3x2＝18， 故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1. 又由10(y－2)2＝18＋3x2，有(y－2)2∈，且－1≤y≤1， 則y∈. 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 第5講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．B　2.C　3.D　4. 5.　解析：設(shè)BF＝m，由拋物線的定義，知：AA1＝3m，BB1＝m.∴在△ABC中，AC＝2m，AB＝4m.∴kAB＝. 直線AB方程為y＝(x－1)． 與拋物線方程聯(lián)立消y，得3x2－10x＋3＝0. 所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距

36、離為＋1＝＋1＝. 6．2　解析：設(shè)弦兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則兩式相減，得＝＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 7．y2＝3x　解析：方法一：過A，B作準(zhǔn)線垂線，垂足分別為A1，B1，則|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|.∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3. ∴p＝|CF|＝，∴拋物線方程為y2＝3x. 方法二：由拋物線定義，|BF|等于B到準(zhǔn)線的距離，由|BC|＝2|BF|，得∠BCB1＝30°.又|AF|＝3， 從而A在拋物線上，代入拋物線方程y2＝2px，解得p＝. 8．

37、解：∵e＝＝，c＝a，c2＝a2， ∴b2＝a2－c2＝a2. ∴方程為＋＝1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB為直徑，有AB的中點(diǎn)為(2,1)，且|AB|＝， ∵A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，故有 ①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝－2(y1＋y2)(y1－y2)， 有＝－＝kAB＝－＝－1， 即AB的方程為x＋y－3＝0. 由得3x2－12x＋18－a2＝0， ∵直線AB與橢圓C2相交，∴Δ＝12a2－72>0. 由弦長(zhǎng)公式，得|AB|＝＝， 解得a2＝16.∴橢圓C2的方程為＋＝1. 9．解：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1. 圓

38、N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3. 設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)， 其方程為＋＝1(x≠－2)． (2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)， 由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2， 所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4. 若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝2 . 若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則＝，可求得Q(－4,0)， 所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)． 由l與圓M相切得＝1，解得k＝±. 當(dāng)k＝時(shí)，將y＝x＋代入＋＝1， 并整理，得7x2＋8x－8＝0. 解得x＝. 所以|AB|＝|x2－x1|＝. 當(dāng)k＝－時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|＝. 綜上所述，|AB|＝2 或|AB|＝.