《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列

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1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）—等比數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1．通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念； 2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講的考察為： （1）題型以等比數(shù)列的

2、公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目； （2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)； （3）解決問題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 三．要點(diǎn)精講 1．等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零） 2．等

3、比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。 說明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。 3．等比中項(xiàng) 如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 4．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。 說明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。 四．典例解析 題型1：等比數(shù)列的概念 例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的

4、等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。 命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 命題2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題3中，若a=b=0，c∈R，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，

5、則成為不必要也不充分條件。 點(diǎn)評(píng)：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列； 命題3：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=S

6、n－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=－1且a≠0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。 由命題3得，a1=a－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a－1≠0；即a≠1時(shí)數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確

7、判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇A。 題型2：等比數(shù)列的判定 例3．（2000全國理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。 解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋鹀n＋1－pcn｝是等比數(shù)列， 故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）， 將cn＝2n＋3n代入上式，得： ［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［

8、2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］， 即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2 ＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］， 整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn。 為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3。 事實(shí)上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq， c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p

9、2＋q2）， 由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零， 因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 例4．（2003京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1 內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列； 證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比

10、數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問題的判定，需要對(duì)實(shí)際問題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。 題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 例5．一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2； 則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得a=2，q=3或a=，q=－5； 故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。 點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用

11、方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。 例6．（2006年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng) 解析：∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2)。 當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3； 當(dāng)a1=2時(shí),，

12、a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3。 點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例7．（1）（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． （2）（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ） A． B． C． D． （3）（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等

13、比數(shù)列， 則 即，所以，故選擇答案C。 （2）D； （3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。 由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。 例8．（1）（2002江蘇，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分別求出｛an

14、｝及｛bn｝的前10項(xiàng)的和S10及T10； （2）（2001全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3……，an，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項(xiàng)； （Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 （3）（2002天津理，22）已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3， an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…． （Ⅰ）求a3；

15、 （Ⅱ）證明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…； （Ⅲ）求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。 解析：（1）∵｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列， ∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32． 已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3， ∴b3＝2a3，a3＝b32． 得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝，a3＝． 由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差為d＝， ∴S10＝10a1＋． 由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比為q＝或q＝． 當(dāng)q＝時(shí)，， 當(dāng)q＝時(shí)，。 （2）（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，…

16、…，bn，2。 則A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3 又∵an＋2＝1·qn＋1＝2得qn＋1＝2， An＝q·q2…qn＝q（n＝1，2，3…） 又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1 B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n （Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí) 證明：當(dāng)n＝7時(shí)，23．5＝8·＝An Bn＝×7，∴An＞Bn 設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，An＞Bn，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak＋1＞·k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又∵k＝8

17、，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立. （3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10． 若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝10，則a4＝1，a5＝60，a6＝，與題設(shè)矛盾. 所以a3＝2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝3，a3＝a1＋2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）·（ak－2＋2），因?yàn)閍k＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2，

18、 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式ak＋1＝ak－1＋2成立； 根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥3，有an+1=an－1+2。 （Ⅲ）解：由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…，即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，…。 所以Sn＝ 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。 題型5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例9．（1）（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ）

19、（A）33 （B）72 （C）84 （D）189 （2）（2000上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式 成立。 解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。 （2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17

20、－n（n＜17，n∈N*）； 解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， 所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1 ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。 點(diǎn)評(píng)：本題考

21、查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。 例10．（1）設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。 （2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。 （3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ，∴q≠

22、1； 從而 =80，且=6560。 兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。 ∴a1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。 ∴a1qn-1=54,從而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。 ∴qn-1=81－54=27 ∴q==3。 ∴a1=q－1=2 故此數(shù)列的首為2，公比為3。 （2）解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q， 則 。 解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為， 。 （3）解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*， 依題意有：， 化簡(jiǎn)得， 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn=lg

23、a1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大， 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大， 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg， ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列， 令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0， ∴n≤=5.5， 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。 點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本

24、量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。 題型6：等差、等比綜合問題 例11．（2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。 (Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比； (Ⅱ)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。 解析：(Ⅰ)依題意可知：， (Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。

25、 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an＋2＝來判斷； （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1； （3）對(duì)于G 是a、b 的等差中項(xiàng)，則G2＝ab，G＝±； （4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝。 2．等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列； ②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 3．等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)

26、列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有； ②對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。 ③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列。 如下圖所示： 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座30）—數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題 一．課標(biāo)要求： 1．探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法； 2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問題。 二．命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)

27、列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。 有關(guān)命題趨勢(shì)： 1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計(jì)試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)； 2．?dāng)?shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度； 3．?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識(shí)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等；

28、 4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。 預(yù)測(cè)2007年高考對(duì)本將的考察為： 1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．也可能為一道知識(shí)交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。 三．要點(diǎn)精講 1．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)與和 （1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an= 。 （2）求通項(xiàng)常用方法 ①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列； ②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③歸納、猜想法。 （3）數(shù)列前n項(xiàng)和 ①重要

29、公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。 ⑤錯(cuò)項(xiàng)相消法 對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的

30、前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，… ⑥并項(xiàng)求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。 數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 ⑦通項(xiàng)分解法： 2．遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。 遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種： （1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。 （2）迭代法。 （3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。

31、 （4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 四．典例解析 題型1：裂項(xiàng)求和 例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：。 解析：首先考慮，則=。 點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，下列求和也可用裂項(xiàng)求和法。 例2．求。 解析：， 點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡(jiǎn)單一些。 題型2：錯(cuò)位相減法 例3．設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項(xiàng)和。 解析：①若a=0時(shí)，Sn=0； ②若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=； ③若a≠1，a≠0時(shí)，

32、Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn=。 例4．已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 解析：， ①-②得：， 點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。 題型3：倒序相加 例5．求。 解析：。 ① 又。 ② 所以。 點(diǎn)評(píng)：Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。 例6．設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列， 求和： 解析：因?yàn)椋? ， 。 點(diǎn)評(píng)：此類問題還可變換為

33、探索題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立。 題型4：其他方法 例7．求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項(xiàng)和。 解析：本題實(shí)質(zhì)是求一個(gè)奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項(xiàng)中共有個(gè)奇數(shù)，故。 例8．求數(shù)列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項(xiàng)的和。 解析：其和為(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。 題型5：數(shù)列綜合問題 例9．（ 2006年浙江卷）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列 | xn | （xn > 0）的第一項(xiàng)x1＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)

34、的直線平行（如圖）。 求證：當(dāng)n時(shí)：（I）；（II）。 解析：（I）因?yàn)? 所以曲線在處的切線斜率 因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是 所以. （II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增， 而 所以，即 因此 又因?yàn)? 令則 因?yàn)樗? 因此 故 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊，數(shù)列的通項(xiàng)與線段的長度、點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。 例10．（2006年遼寧卷）已知,其中,設(shè),。 (I) 寫出；(II) 證明:對(duì)任意的,恒有。 解析：(I)由已知推得,從而有； (II) 證法1:當(dāng)時(shí)， 當(dāng)x>0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)， 所以

35、對(duì)任意的， 因此結(jié)論成立。 證法2：當(dāng)時(shí), 當(dāng)x>0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù) 所以對(duì)任意的 又因 所以 因此結(jié)論成立。 證法3：當(dāng)時(shí), 當(dāng)x>0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)。 所以對(duì)任意的 由 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得： 因此結(jié)論成立。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 題型6：數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題 例11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲

36、方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。? 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利：（萬元）， 銀行貸款本息：（萬元）， 故甲方案純利：（萬元）， ②乙方案獲利： （萬元）； 銀行本息和： （萬元） 故乙方案純利：（萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是

37、熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。 例12．（2005湖南20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。 （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 　 （Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈

38、N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*， 從而由（*）式得： 因?yàn)閤1>0，所以a>b。 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變。 （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0

39、 下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。 ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0。 又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2)。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時(shí)該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問題。 題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．（2006年北京卷）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對(duì)

40、差數(shù)列”。 （Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）； （Ⅱ）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。 解析：（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下： 假設(shè){an}中沒有零項(xiàng)，由于an=|an-1-an-2|，所以對(duì)于任意的n，都有an≥1,從而 當(dāng)an-1 > an-2時(shí)，an = an-1 －an-2 ≤ an-1－1（n≥3）； 當(dāng)an-1 < an-2時(shí)，an = an-2

41、 － an-1 ≤ an-2－1（n≥3）, 即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn=n=1，2，3，……， 則00（n=1，2，3……）矛盾.從而{an}必有零項(xiàng)。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記an-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)開始，沒三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值O，A，A，即 所以絕對(duì)等差數(shù)列{an}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。 點(diǎn)評(píng)：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對(duì)情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 例14．（2005江蘇

42、23）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且其中A,B為常數(shù)。 （Ⅰ）求A與B的值； （Ⅱ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列； （Ⅲ）證明不等式對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題，第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關(guān)系式，即求出A、B；第二問利用公式，推導(dǎo)得證數(shù)列{an}為等差數(shù)列。 解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知： 。 解得A=－20，B=－8。 （Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n-8）Sn+

43、1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因?yàn)? an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an

44、+1=0. 又因?yàn)? (5n+2), 所以 an+3-2an+2+an+1=0, 即 an+3-an+2=an+2-an+1, . 又 a3-a2=a2-a1=5, 所以數(shù)列為等差數(shù)列。 方法2. 由已知，S1=a1=1, 又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8, 所以數(shù)列是惟一確定的。 設(shè)bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Tn= 于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8) 由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(

45、n-1)=5n-4. 要證了 只要證 5amn>1+aman+2 因?yàn)? amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要證 5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2 因?yàn)? =20m+20n-37, 所以命題得證。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。 五．思維總結(jié) 1．?dāng)?shù)列求和的常用方法 （1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等

46、比數(shù)列的數(shù)列； （2）裂項(xiàng)相消法：適用于其中{ }是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等； （3）錯(cuò)位相減法：適用于其中{ }是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。 （4）倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法. （5）分組求和法 （6）累加（乘）法等。 2．常用結(jié)論 （1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) = （3） （4） （5） （6） 3．?dāng)?shù)學(xué)思想 （1）迭加累加（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若，則……； （2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若，則……； （3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）； （4）錯(cuò)位相減（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）。 第 23 頁 共 23 頁