三年高考（2014-2016）數(shù)學（理）真題分項版解析—— 專題03 導數(shù)

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學（理）試題分項版解析 第三章 導數(shù) 一、 選擇題 1. 【2016高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質.下列函數(shù)中具有T性質的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考點：1.導數(shù)的計算；2.導數(shù)的幾何意義. 【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、導數(shù)的幾何意義及兩直線的位置關系，本題給出常見的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，突出了高考命題注重基礎的原則.解答本題，關鍵在于將直線的位置關系與直線的斜率、切點處的導數(shù)值相聯(lián)系，使問題加以轉化，利用特殊化思想

2、解題，降低難度.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力及轉化與化歸思想的應用等. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】設直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 試題分析：設（不妨設），則由導數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點為，，，．故選A． 考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.兩直

3、線垂直關系；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值范圍. 【名師點睛】本題首先考查導數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關系，同時得出切線方程，從而得點坐標，由兩直線相交得出點坐標，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍．解決本題可以是根據題意按部就班一步一步解得結論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用． 3.【2014新課標，理12】設函數(shù).若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考點定位】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【名師點睛】本題主要考查

4、了正弦函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)極值點的含義，函數(shù)的零點的定義，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔偏難題. 4. 【2014新課標，理8】設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因為，所以切線的斜率為，解得，故選D。 【考點定位】導數(shù)的幾何意義. 【名師點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)公式及求導法則；本題屬于基礎題，解決本題的關健在于正確求出已知函數(shù)的導數(shù). 5. (2014山東，理6)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖

5、形的面積為(　　)． A． B． C．2 D．4 答案：D 解析：由解得x＝－2或x＝0或x＝2， 所以直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖形面積應為. 【名師點睛】本題考查定積分的應用，解答此類題的關鍵是明確圍成封閉圖形的曲線，即明確被積函數(shù)，應用定積分計算面積. 本題是一道基礎題，考查定積分的應用等基礎知識，同時考查考生的計算能力及應用數(shù)學知識，解決問題的能力. 6. 【2014陜西理3】定積分的值為（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：，故選. 考點：定積分. 【名師點晴】本

6、題主要考查的是定積分，屬于容易題.解題時只要正確應運求定積分的運算步驟，準確寫出原函數(shù)的解析式，一般就不容易出現(xiàn)錯誤. 7. 【2014陜西理10】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降， 已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考點：函數(shù)的解析式. 【名師點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，函數(shù)的解析式等知識，屬于難題.解題時要認真理解題意，“已知下降飛行軌跡為某三

7、次函數(shù)圖像的一部分”，確定函數(shù)為三次函數(shù)，然后由已知函數(shù)圖像，將圖像語言轉化為數(shù)學語言，，，，從而確定出參數(shù) 8. 【2015福建理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調遞增，且，故，所以，，所以結論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調遞增，且，所以，即，，選項A,B無法判斷，故選C． 【考點定位】函數(shù)與導數(shù)． 【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結論，構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等

8、式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題． 9. 【2015新課標1理12】設函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ） (A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 【答案】D 【解析】設=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因為，所以當時，＜0，當時，＞0，所以當時，=， 當時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 【考點定位】本題主要通過利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質解決不等式成立問題 【名師點

9、睛】對存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉化為參數(shù)小于某個函數(shù)（或參數(shù)大于某個函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結合，利用導數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質，再畫出該函數(shù)的草圖，結合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，?；癁橐粋€函數(shù)存在一點在另一個函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路. 10. 【2015課標2理12】設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 【考點定位】導數(shù)的應用、函數(shù)的圖象與性質． 【名師點睛】聯(lián)系已

10、知條件和結論，構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 11. 【2015陜西理12】對二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（ ） A．是的零點 B．1是的極值點 C．3是的極值 D. 點在曲線上 【答案】A 【解析】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線

11、上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A． 【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值． 【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點和利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”和“錯誤”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解推斷結論的試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導論證外，利用特殊值進行檢驗，也可作必要的合情推理． 二、填空題 1. 【2016高考新課標3理數(shù)】已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線 在點處的切線方程是_______________． 【答案】 【解析】 試題分析：當時，，則．

12、又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即． 考點：1、函數(shù)的奇偶性與解析式；2、導數(shù)的幾何意義． 【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為． 2. 【2014廣東理10】曲線在點處的切線方程為 . 【答案】或. 【解析】，所求切線的斜率為， 故所求切線的方程為，即或. 【考點定位】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線問題，屬于容易題. 【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的幾何意義和直線的方程，屬于容易題．解題時一定要抓住重要

13、字眼“在點處”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解導數(shù)的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：①切點在曲線上；②切點在切線上；③切點處的導數(shù)值等于切線的斜率． 3. 【2014江蘇理11】在平面直角坐標系中，若曲線（為常數(shù)）過點，且該曲線在點處的切線與直線平行，則 . 【答案】 【解析】曲線過點，則①，又，所以②，由①②解得所以． 【考點定位】導數(shù)與切線斜率． 【名師點晴】導數(shù)的幾何意義是每年高考的重點，求解時應把握導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，利用這一點可以解決有關導數(shù)的幾何意義等問題.歸納起來常見的命題角度有： (1)求切線方程；(2)求切點坐標；3)求參數(shù)的值. 4.

14、 【2015湖南理11】 . 【答案】. 【解析】 試題分析：. 【考點定位】定積分的計算. 【名師點睛】本題主要考查定積分的計算，意在考查學生的運算求解能力，屬于容易題，定積分的計算通常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解. 5. 【2015陜西理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 ． 【答案】 【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示： 原始的最大流量是，設拋物線的方程為（），因為該拋物線過點，所以，解得，所以

15、，即，所以當前最大流量是，故原始的最大流量與當前最大流量的比值是，所以答案應填：． 【考點定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義． 【名師點晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“原始”和“當前”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是定積分的幾何意義，即由直線，，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是． 6. 【2015天津理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 . 【答案】 【解析】在同一坐標系內作出兩個函數(shù)的圖象，解議程組得兩曲線的交點坐標為，由圖可知峽谷曲線所圍成的封閉圖

16、形的面積 . 【考點定位】定積分幾何意義與定積分運算. 【名師點睛】本題主要考查定積分幾何意義與運算能力.定積分的幾何意義體現(xiàn)數(shù)形結合的典型示范，既考查微積分的基本思想又考查了學生的作圖、識圖能力以及運算能力. 三、解答題 1【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）已知函數(shù)有兩個零點. (I)求a的取值范圍； (II)設x1,x2是的兩個零點,證明：. 【答案】 試題解析;（Ⅰ）． （i）設,則,只有一個零點． （ii）設,則當時,；當時,．所以在上單調遞減,在上單調遞增． 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個零點． （iii）設,由得或． 若,則,故當

17、時,,因此在上單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 若,則,故當時,；當時,．因此在單調遞減,在單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設,由（Ⅰ）知,,在上單調遞減,所以等價于,即． 由于,而,所以 ． 設,則． 所以當時,,而,故當時,． 從而,故． 考點：導數(shù)及其應用 【名師點睛】,對于含有參數(shù)的函數(shù)單調性、極值、零點問題,通常要根據參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；,解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值破解. 2. 【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)

18、 已知. （I）討論的單調性； （II）當時，證明對于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導函數(shù)，對a進行分類討論，求的單調性； （Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據單調性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域為； . 當， 時，，單調遞增； ，單調遞減. 當時，. （1），， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減； （2）時，，在內，，單調遞增； （3）時，， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減. 綜上所述， 當時，函數(shù)在內單調遞增，在內單調遞減； 當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；

19、當時，在內單調遞增； 當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時， ，， 令，. 則， 由可得，當且僅當時取得等號. 又， 設，則在單調遞減， 因為， 所以在上存在使得 時，時，， 所以函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減， 由于，因此，當且僅當取得等號， 所以， 即對于任意的恒成立。 考點：1.應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值；2.分類討論思想. 【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討

20、論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等. 3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). 設. （1）求方程的根; （2）若對任意,不等式恒成立，求實數(shù)的最大值； （3）若，函數(shù)有且只有1個零點，求的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 試題解析：（1）因為，所以. ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因為對于恒成立，且， 所以對于恒成立. 而，且， 所以，故實數(shù)的最大值為4. （2）因為函數(shù)只有1個零點，而， 所以0是函數(shù)的唯一

21、零點. 因為，又由知， 所以有唯一解. 令，則， 從而對任意，，所以是上的單調增函數(shù)， 于是當，；當時，. 因而函數(shù)在上是單調減函數(shù)，在上是單調增函數(shù). 下證. 若，則，于是， 又，且函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 考點：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導數(shù)研究函數(shù)單調性及零點 【名師點睛】對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)

22、的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關系，要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù). 4. 【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分） 設函數(shù),，其中 (I)求的單調區(qū)間； (II) 若存在極值點，且，其中，求證：； （Ⅲ）設，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)：，再根據導函數(shù)零點是否存在情況，分類討論：①當時，有恒成立，所以的單調增區(qū)間為.②當時，存在三個單調區(qū)間 試題

23、解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分兩種情況討論： （1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為. （2）當時，令，解得，或. 當變化時，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即， 進而. 又 ，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數(shù)滿足 ，且，因此，所以； （Ⅲ）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況同理： （1）當時，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞減，所以

24、在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ，所以. （2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . 考點：導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質、證明不等式 【名師點睛】1.求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導函數(shù)f′(x)； (3)在函數(shù)f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時，可分類討論求得單調區(qū)間． 2．由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調性，求參數(shù)范圍問題，

25、可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 5．(本小題滿分14分)設函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R). (1)當k＝1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)當k∈時,求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M. 【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析 【解析】(1)當k＝1時, f(x)＝(x－1)ex－x2,f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln 2, 當x變化時,f′(x),f(x)的變化如下表： x (－∞,0) 0 (0,ln 2) l

26、n 2 (ln 2,＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 由表可知,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0,ln 2),遞增區(qū)間為(－∞,0),(ln 2,＋∞). (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln(2k), 令g(k)＝ln(2k)－k,k∈, 則g′(k)＝－1＝≥0, 所以g(k)在上單調遞增. 所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0. 從而ln(2k)＜k,所以ln(2k)∈(0,k). 所以當x∈(0,ln(2k)

27、)時,f′(x)＜0； 當x∈(ln(2k),＋∞)時,f′(x)＞0； 所以M＝max{f(0),f(k)} ＝max{－1,(k－1)ek－k3}. 令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1, 則h′(k)＝k(ek－3k), 令φ(k)＝ek－3k,則φ′(k)＝ek－3≤e－3＜0. 所以φ(k)在上單調遞減, 而·φ(1)＝(e－3)＜0, 所以存在x0∈使得φ(x0)＝0,且當k∈時,φ(k)＞0, 當k∈(x0,1)時,φ(k)＜0, 所以φ(k)在上單調遞增,在(x0,1)上單調遞減. 因為,h(1)＝0, 所以h(k)≥0在上恒成立,當且僅當k＝1時取得

28、“＝”. 綜上,函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3. 【考點定位】本題考查導數(shù)的應用,屬于拔高題 【名師點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“單調區(qū)間”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：①求函數(shù)在內的極值；②將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 6. 【2016高考新課標3理數(shù)】設函數(shù)，其中，記的

29、最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分兩種情況，結合三角函數(shù)的有界性求出，但須注意當時還須進一步分為兩種情況求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三種情況證明． 試題解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）當時， 因此，． ………4分 當時，將變形為． 令，則是在上的最大值，，，且當時，取得極小值，極小值為． 令，解得（舍去），． （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 當時，. 當時，，所以. 當時，，所以. 考點：1、三角恒等變換；2、導數(shù)的計算；3、三角函數(shù)的有界性． 【歸納總結】

30、求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導公式將解析式化為形如的形式；（2）結合自變量的取值范圍，結合正弦曲線與余弦曲線進行求解． 7. 【2016高考浙江理數(shù)】（本小題15分）已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， 其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍； （II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（I）；（II）（i）；（ii）． 【解析】 試題分析：（I）分別對和兩種情況討論，進而可得使得

31、等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)，的最小值，再根據的定義可得的最小值；（ii）分別對和兩種情況討論的最大值，進而可得在區(qū)間上的最大值． 試題解析：（I）由于，故 當時，， 當時，． 所以，使得等式成立的的取值范圍為 ． （II）（i）設函數(shù)，，則 ，， 所以，由的定義知，即 ． （ii）當時， ， 當時， ． 所以， ． 考點：1、函數(shù)的單調性與最值；2、分段函數(shù)；3、不等式． 【思路點睛】（I）根據的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)和的最小值，再根據的定義可得；（ii）根據的取值范圍求出的最大值，進而可得．

32、8. 【2016高考新課標2理數(shù)】(Ⅰ)討論函數(shù)的單調性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設的最小值為，求函數(shù)的值域． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求定義域，用導數(shù)法求函數(shù)的單調性，當時，證明結論；（Ⅱ）用導數(shù)法求函數(shù)的最值，在構造新函數(shù)，又用導數(shù)法求解. （II） 由（I）知，單調遞增，對任意 因此，存在唯一使得即， 當時，單調遞減； 當時，單調遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調遞增 所以，由得 因為單調遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當時，有，的值域是 考點： 函數(shù)的

33、單調性、極值與最值. 【名師點睛】求函數(shù)單調區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求導數(shù)f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應的x的范圍． 當f′(x)＞0時，f(x)在相應的區(qū)間上是增函數(shù)；當f′(x)＜0時，f(x)在相應的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調區(qū)間． 注意：求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念． 9【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調區(qū)間.

34、【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區(qū)間為. 【解析】 試題分析：（1）根據題意求出，根據，，求，的值； （2）由題意知判斷，即判斷的單調性，知，即，由此求得的單調區(qū)間. 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調遞增區(qū)間為. 考點：導數(shù)的應用. 【名師點睛】用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性時，首先應確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間．在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內的間斷點． 10. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分14分） 設函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

35、 （Ⅰ）討論f(x)的單調性； （Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)). 【答案】（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，>0，單調遞增；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（I） <0，在內單調遞減. 由=0，有. 此時，當時，<0，單調遞減； 當時，>0，單調遞增. （II）令=，=. 則=. 而當時，>0， 所以在區(qū)間內單調遞增. 又由=0，有>0， 從而當時，>0. 當，時，=. 故當>在區(qū)間內恒成立時，必有. 當時，>1. 由（I）有,從而， 所以此時>在區(qū)間內不恒成立. 當時，令， 當時，，

36、 因此，在區(qū)間單調遞增. 又因為，所以當時， ，即 恒成立. 綜上，． 考點：導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，最值、解決恒成立問題. 【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，最值、解決恒成立問題，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力．求函數(shù)的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明函數(shù)不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調性．本題中注意由于函數(shù)有極小值沒法確定，因此要利用已經求得的結論縮小參數(shù)取值范圍．比較新穎，學生不易想到．有一定的難度． 11. 【2014安徽理18】（本小題滿分12分） 設函數(shù),其中． （1）

37、討論在其定義域上的單調性； （2） 當時，求取得最大值和最小值時的的值． 【答案】（1）在和內單調遞減，在內單調遞增；（2）所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 【解析】 試題分析：（1）對原函數(shù)進行求導，，令，解得，當或時；從而得出，當時，．故在和內單調遞減，在內單調遞增．（2）依據第（1）題，對進行討論，①當時，，由（1）知，在上單調遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當時，．由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，因此在處取得最大值．又，所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 試題解析：（1）的

38、定義域為，．令，得，所以．當或時；當時，．故在和內單調遞減，在內單調遞增． （2） 因為，所以． ①當時，，由（1）知，在上單調遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當時，．由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，因此在處取得最大值．又，所以當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小只；當時，在處取得最小值． 考點：1．含參函數(shù)的單調性；2．含參函數(shù)的最值求解． 【名師點睛】含參函數(shù)的單調性求解步驟如下：第一步，求函數(shù)的定義域；第二步，求導函數(shù)；第三步，以導函數(shù)的零點存在性進行討論；第四步，當導函數(shù)存在多個零點時，討論它們的大小關系及區(qū)間位置關系；第五步，畫出導函數(shù)的同號函數(shù)草

39、圖，從而判斷其導函數(shù)的符號；第六步，根據第五步的草圖列出，隨變化的情況表，寫出函數(shù)的單調區(qū)間；第七步，綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調區(qū)間. 12. 【2014北京理18】(本小題13分)已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x，. (1)求證：f(x)≤0； (2)若對恒成立，求a的最大值與b的最小值． 分析：(1)先求出導函數(shù)f′(x)，利用導函數(shù)在上的符號判斷f(x)在上的單調性，并求 出其最大值，即可證得結論；(2)根據x＞0，將不等式轉化為整式不等式，進而轉化為 與0的大小關系，注意對參數(shù)c的取值要分c≤0，c≥1和0＜c＜1三種 情況進行分類討論，然后利用邊

40、界值求出a的最大值與b的最小值． 解析：(1)證明：由f(x)＝xcos x－sin x得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 因為在區(qū)間上f′(x)＝－xsin x＜0，所以f(x)在區(qū)間上單調遞減． 從而f(x)≤f(0)＝0. (2)解：當x＞0時，“”等價于“sin x－ax＞0”；“”等價于“sin x－bx＜0”． 令g(x)＝sin x－cx，則g′(x)＝cos x－c. 當c≤0時，g(x)＞0對任意恒成立． 當c≥1時，因為對任意，g′(x)＝cos x－c＜0， 所以g(x)在區(qū)間上單調遞減． 從而g(x)＜g(0)＝0對任

41、意恒成立． 當0＜c＜1時，存在唯一的使得g′(x0)＝cos x0－c＝0. g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下： x (0，x0) x0 \a\vs4\al\co1(x0，\f(π2)) g′(x) ＋ 0 － g(x) 因為g(x)在區(qū)間[0，x0]上是增函數(shù)， 所以g(x0)＞g(0)＝0. 進一步，“g(x)＞0對任意恒成立”當且僅當，即. 綜上所述，當且僅當時，g(x)＞0對任意恒成立；當且僅當c≥1時，g(x)＜0對任意 恒成立． 所以，若對任意恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1. 考點定位：本題考點為導數(shù)的應用，利用導數(shù)工

42、具研究函數(shù)，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、 最值，本題還涉及構造函數(shù)，利用構造的函數(shù)解決問題. 【名師點睛】本題本題考點為導數(shù)的應用，本題屬于中偏難問題，學生解答有一定的困難，分兩步，第 一步為利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，進而求最值，利用最值證明不等式，這是一步常規(guī)題，容易入手容易 得分，但第二步構造函數(shù)解題較難，近幾年高考在導數(shù)命題上難度較大，命題方向也較多，常常要構造 函數(shù)，思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學生的功能. 13. 【2014福建,理20】（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點，曲線在點處 的切線斜率為-1. （I）求的值及函數(shù)的極值； （II）證明：

43、當時，； （III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當，恒有. 【答案】（I）,極值參考解析;（II）參考解析;（III）參考解析 【解析】 試題解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值. （II）令,則.由（I）得,故在R上單調遞增,又,因此,當時, ,即. （III）①若,則.又由（II）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有. ②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒

44、有. 綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有. 解法三: （I）同解法一. （II）同解法一. （III）首先證明當時,恒有.證明如下:令則.由（II）知,當時, .從而在單調遞減,所以即.取,當時,有.因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當時,恒有. 注:對c的分類不同有不同的方式，只要解法正確，均相應給分. 考點：1.函數(shù)的極值.2.構建新函數(shù)證明不等式.3.開放性題.4.導數(shù)的綜合應用.5.運算能力.6.分類討論的數(shù)學思想. 【名師點睛】本題把導數(shù)的幾何意義、極值、不等式證明結合在一起考查，綜合性強，難度大，后兩問涉及到不等式證明，利用導數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個熱點

45、,解決此類問題的基本思路是構造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值破解. 14. 【2014廣東理21】(本小題滿分14分)設函數(shù)，其中. (1)求函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)； (2)討論函數(shù)在上的單調性； (3)若，求上滿足條件的的集合(用區(qū)間表示). 【答案】(1)； (2) 函數(shù)在，上單調遞增， 在，上單調遞減； (3) . 【解析】(1)可知， ， 或， 或， 或， 或或， 所以函數(shù)的定義域為 ； (2)， 由得，即， 或，結合定義域知或， 所以函數(shù)在，上單調遞增， 在，上單調遞減； (3)由得， ， ， ， 或或或， ，，

46、， ，， 結合函數(shù)的單調性知的解集為 . 【考點定位】本題以復合函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域.單調區(qū)間以及不等式的求解，從中滲透了二次不等式的求解，在求定義域時考查了分類討論思想，以及利用作差法求解不等式的問題，綜合性強，屬于難題. 【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調區(qū)間和解不等式，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“單調性”和“用區(qū)間表示”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間． 15. 【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】（本題滿分

47、14分） 為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）求，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將，，，，，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論. 【答案】（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）最大數(shù)為，最小數(shù)為；（3），，，，，. 【解析】 試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，用導數(shù)法求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）利用（1）的結論結合函數(shù)根據函數(shù)、、的性質，確定，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）由（1），（2）的結論只需比較與和與的大小，時，，即，在上式中，令，又，則，即得，整理得，估算的值，比較與3的大小，從而確定與

48、的大小關系，再根據，確定與的大小關系，最后確定6個數(shù)從小到大的順序. （2）因為，所以，，即，， 于是根據函數(shù)、、在定義域上單調遞增， 所以，， 故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中， 由及（1）的結論得，即， 由得，所以， 由得，所以， 綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為. （3）由（2）知，，，又由（2）知，， 故只需比較與和與的大小， 由（1）知，當時，，即， 在上式中，令，又，則，即得① 由①得，， 即，亦即，所以， 又由①得，，即，所以， 綜上所述，，即6個數(shù)從小到大的順序為，，，，，. 考點：導數(shù)法求函數(shù)的單調性、單調區(qū)間，對數(shù)函數(shù)的性質

49、，比較大小. 【名師點睛】作為一道壓軸大題，以函數(shù)作為主線，重點考查導數(shù)在研究函數(shù)的單調性與極值中的應用，其解題思路為：第一問直接對函數(shù)進行求導并分別令導數(shù)大于0、小于0即可求出相應的單調區(qū)間；第二問 運用函數(shù)、、在定義域上單調性及（1）的結論構造不等式逐個進行比較，確定出其最大的數(shù)和最小的數(shù)即可；第三問合理地運用第一問的結論，運用賦值法建立不等關系，進而判斷其大小關系即可. 16. 【2014湖南理22】已知常數(shù),函數(shù). (1)討論在區(qū)間上的單調性; (2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍. 【答案】(1)詳見解析 (2) 【解析】 試題分析:(1)首先對函數(shù)求導并化簡得

50、到導函數(shù),導函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號,確定導函數(shù)符號得到原函數(shù)的單調性,即分和得到導函數(shù)分子大于0和小于0的解集進而得到函數(shù)的單調性. (2)利用第(1)可得到當時,導數(shù)等于0有兩個根,根據題意即為兩個極值點,首先導函數(shù)等于0的兩個根必須在原函數(shù)的可行域內,把關于的表達式帶入,得到關于的不等式,然后利用導函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題. 試題解析:(1)對函數(shù)求導可得 ,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數(shù)在單調遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調遞減,在單調遞增的. (2)函數(shù)的定義域為,由(1)可得當時,,則 ,即,則為函數(shù)的兩個極值點,

51、代入可得 = 令,令,由知: 當時,, 當時,, 當時,,對求導可得,所以函數(shù)在上單調遞減,則,即不符合題意. 當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調遞減,則,即恒成立, 綜上的取值范圍為. 【考點定位】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質 【名師點睛】本題主要考查學生對含有參數(shù)的函數(shù)的單調性及極值的判斷，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求極值的能力，考查分類討論思想及轉化劃歸思想的運用和運算能力，邏輯性綜合性強，屬難題．1．函數(shù)的單調性在(a，b)內可導函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)． f′(x)≤0?f(x)

52、在(a，b)上為減函數(shù)． 2．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為

53、極值． 3．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． 4．重難點剖析：(1)f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分 不必要條件．(2)可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，即

54、f′(x0)＝0是可導函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件．例如函數(shù)y＝x3在x＝0處有y′|x＝0＝0，但x＝0不是極值點．此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點． (3)可導函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較． 17. 【2014江蘇理19】（滿分16分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù). （1）證明：是上的偶函數(shù)； （2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結論. 【答案】（1）證明見解析；（2）

55、；（3）當時，，當時，，當時，． 【解析】 （3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當時，（因為），故函數(shù)在上增函數(shù)，，于是在上有解，等價于，即．考察函數(shù)，，當時，，當時，，當時，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，，所以當時，，即，，當時，，，即，，因此當時，，當時，，當時，． 【考點定位】（1）偶函數(shù)的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數(shù)的交匯；（3）導數(shù)與函數(shù)的單調性，比較大?。? 【名師點晴】解決含參數(shù)問題及不等式問題中的兩個轉化 1．利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用． 2．將不等式的證明、方程根的個數(shù)的

56、判定轉化為函數(shù)的單調性、極值問題處理． 18. 【2014遼寧理21】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. 證明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且對（1）中的. 【答案】（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.（Ⅱ）考慮函數(shù)，令，則時，， 記，則 ，有（Ⅰ）得，當時，，當時，.在上是增函數(shù)，又，從而當時，，所以在上無零點.在上是減函數(shù)，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因為當時，，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.因，所以，即命題得證. 試題解析：（Ⅰ）當時，，函數(shù)在

57、上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使. （Ⅱ）考慮函數(shù)， 令，則時，， 記，則 ， 因，所以 考點：1.零點唯一性的判斷；2.函數(shù)的單調性的應用. 【名師點睛】本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的性質、零點唯一性的判斷、不等式的證明等.解答本題的主要困難是構造函數(shù)，并進一步應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等. 本題是一道能力題，屬于難題.在考查應用導數(shù)研究函數(shù)的性質、零點唯一性的判斷、不等式的證明等基礎知識、基本方法的同時，考查考生的計算能力、應用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力，考查轉化與化歸思想想. 19. 【2014全國1理21】（12分）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為 （I）求 （II）證

58、明： 【答案】（I）；（II）詳見解析. 【解析】 試題解析：（I）函數(shù)的定義域為．． 由題意可得，．故． （II）由（I）知，，從而等價于，設函數(shù)，則．所以當時，；當時，．故在遞減，在遞增，從而在的最小值為．設，則．所以當時，；當時，．故在遞增，在遞減，從而在的最大值為．綜上，當時，，即． 【考點定位】1、導數(shù)的幾何意義；2、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；3、利用導數(shù)求函數(shù)的最值． 【名師點睛】本題主要靠導數(shù)的幾何意義、不等式的證明，考查分類討論思想，意在考查考生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.導函數(shù)解答題中貫穿始終的數(shù)學思想方法，在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的

59、，解題時常把不等式問題轉化為函數(shù)的最值問題，把方程的根轉化為函數(shù)的零點等. 20. 【2014全國卷2理21】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)=. （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）設，當時，,求的最大值； （Ⅲ）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001） （2）當時，若滿足，即時，，而， 因此當時，， 綜上，的最大值為2. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，， 當時，，； 當時，，， ，所以的近似值為. 【考點定位】1. 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2. 利用導數(shù)證明不等式． 【名師點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的的單調性、切線、函數(shù)的值域，等價轉化，綜合性強，屬于難題，第二問，需利用對數(shù)

60、函數(shù)的單調性將不等式進行等價轉化后，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值即可．第三問，要求適當?shù)姆趴s與估值，要求學生有較強的推理能力和計算能力． 21. 【2014陜西理21】（本小題滿分14分） 設函數(shù)，其中是的導函數(shù). （1） ，求的表達式； （2） 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）設，比較與的大小，并加以證明. 【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）易得，且有，當且僅當時取等號，當時，，當時，由，得，所以數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，繼而得，經檢驗，所以； （2） 在范圍內恒成立，等價于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況

61、討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍； （3）由題設知：，，比較結果為：，證明如下：上述不等式等價于 在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結論. 試題解析：，， （1） ，，，，即，當且僅當時取等號 當時， 當時 ，，即 數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列 當時， （2）在范圍內恒成立，等價于成立 令，即恒成立， 令，即，得 當即時，在上單調遞增 所以當時，在上恒成立； 當即時，在上單調遞增，在上單調遞減， 所以 設 因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞減 所以，即 所以不恒成立 綜上所述，實數(shù)的取值范

62、圍為 （3）由題設知：， 比較結果為： 證明如下： 上述不等式等價于 在（2）中取，可得 令，則，即 故有 上述各式相加可得： 結論得證. 考點：等差數(shù)列的判斷及通項公式；函數(shù)中的恒成立問題；不等式的證明. 【名師點晴】本題主要考查的是等差數(shù)列的判斷及通項公式；函數(shù)中的恒成立問題；不等式的證明和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于難題．解題時一定要抓住重要條件“”，逐步推到才能得到的表達式，對于第（2）問可構造新函數(shù)，即恒成立，討論其單調性即可得到所要求的結果；第（3）問實際上是一個累加的過程 22. 【2014高考重慶理第20題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小

63、問4分，（Ⅱ）小問3分，（Ⅲ）小問5分） 已知函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點處的切線的斜率為. （Ⅰ）確定的值； （Ⅱ）若，判斷的單調性； （Ⅲ）若有極值，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）. 【解析】 試題解析： 解：（Ⅰ）對求導得，由為偶函數(shù)，知， 即，因，所以 又，故. （Ⅱ）當時，，那么 故在上為增函數(shù). （Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當時等號成立. 下面分三種情況進行討論. 當時，對任意，此時無極值； 當時，對任意，此時無極值； 當時，令，注意到方程有兩根， 即有兩個根或. 當時，；又當時，從而在處取得極小值. 綜上，若有極值

64、，則的取值范圍為. 考點：1、導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用；2、分類討論的思想. 【名師點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的的單調性、切線、函數(shù)的值域，等價轉化，綜合性強，屬于較難題，第二問，需用基本不等式判斷導數(shù)的符號，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可．第三問，要注意分類計論，要求學生有較強的推理能力和計算能力． 23 【2015安徽理21】（本小題滿分13分） 設函數(shù). （Ⅰ）討論函數(shù)在內的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值； （Ⅱ）記，求函數(shù)在上的最大值D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足時的最大值. 【答案】（Ⅰ）極小值為；（Ⅱ）；

65、（Ⅲ）1. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）將代入為，. 求導得，.因為，所以.按的范圍分三種情況進行討論：①當時，函數(shù)單調遞增，無極值.②當時，函數(shù)單調遞減，無極值.③當，在內存在唯一的，使得.時，函數(shù)單調遞減；時，函數(shù)單調遞增.因此，，時，函數(shù)在處有極小值.（Ⅱ）當時，依據絕對值不等式可知，從而能夠得出函數(shù)在上的最大值為.（Ⅲ）當，即，此時，從而.依據式子特征取，則，并且.由此可知，滿足條件的最大值為1. （Ⅱ）時，， 當時，取，等號成立， 當時，取，等號成立， 由此可知，函數(shù)在上的最大值為. （Ⅲ），即，此時，從而. 取

66、，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1. 【考點定位】1.函數(shù)的單調性、極值與最值；2.絕對值不等式的應用. 【名師點睛】函數(shù)、導數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結合思想也是必要的，把不等式問題轉化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉化為函數(shù)零點問題等，轉化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學思想方法的應用. 24. 【2015北京理18】（本小題13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求證：當時，； （Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2. 【解析】 試題解析：（Ⅰ），曲線在點處的切線方程為； （Ⅱ）當時，，即不等式，對成立，設，則，當時，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對，成立； （Ⅲ）使成立，，等價于，；， 當時，，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，，符合題意； 當時，令， - 0 + 極小值 ，顯然不成立， 綜上所述可知：的