高考數學專題復習：課時達標檢測（三十二）數列的綜合問題

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1、 課時達標檢測（三十二） 數列的綜合問題 [練基礎小題——強化運算能力] 1．數列{1＋2n－1}的前n項和為(　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 解析：選C　由題意得an＝1＋2n－1， 所以Sn＝n＋＝n＋2n－1. 2．(2017·長沙模擬)已知數列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：選A　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－

2、1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 3．(2016·南昌三模)若數列{an}的通項公式為an＝2n＋1，令bn＝，則數列{bn}的前n項和為(　　) A. B.－ C. D.－ 解析：選B　易得a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，所以bn＝＝，故Tn＝1＋－－＝－. 4.＋＋＋…＋的值為________． 解析：設Sn＝＋＋＋…＋，① 得Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－， ∴Sn＝＝2－. 答案：2－ 5．(2017·江西八校聯考)在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，

3、記Sn為數列{an}的前n項和，則S2 017＝________. 解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴當n＝2k時，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007. 答案：－1 007 [練?？碱}點——檢驗高考能力] 一、選擇題 1．(2017·皖西七校聯考)在數列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選D　由an＝＝1－得Sn＝n－＋＋…＋＝n－

4、，則Sn＝＝n－，將各選項中的值代入驗證得n＝6. 2．已知等差數列{an}的各項均為正數，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比數列．若p－q＝10，則ap－aq＝(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：選B　設等差數列{an}的公差為d，由題意分析知d>0，因為a3，a4＋，a11成等比數列，所以2＝a3a11，即2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.所以ap－aq＝(p－q)＝15. 3．在數列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值為(　　)

5、A．2 500 B．2 600 C．2 700 D．2 800 解析：選B　當n為奇數時，an＋2－an＝0，所以an＝1，當n為偶數時，an＋2－an＝2，所以an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2 600. 4．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，當n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2 017的值為(　　) A．2 017 B．2 016 C．1 009 D．1 007 解析：選C　因為an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，兩式相減得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋

6、(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故選C. 5．已知數列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函數f(x)＝sin 2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數列{yn}的前9項和為(　　) A．0 B．－9 C．9 D．1 解析：選C　由已知可得，數列{an}為等差數列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋

7、…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數列{yn}的前9項和為9. 6．設Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，S1，S2，S4成等比數列，且a3＝－，則數列的前n項和Tn＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選C　設{an}的公差為d，因為S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1－，S1，S2，S4成等比數列，所以2＝a1，整理得4a＋12a1＋5＝0，所以a1＝－或a1＝－.當a1＝－時，公差d＝0不符合題意，舍去；當a1＝－時，公差d＝＝－1，所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以＝－＝－－，所以其前n

8、項和Tn＝－1－＋－＋…＋－＝－＝－，故選C. 二、填空題 7．(2016·浙江高考)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________. 解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數列是公比為3的等比數列，∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121. 答案：1　121 8．已知數列{an}滿足an＋1＝＋，且a1＝，則該數列的前2 016項的和等于________． 解析：因為a1＝，又an

9、＋1＝＋，所以a2＝1，從而a3＝，a4＝1，即得an＝故數列的前2 016項的和等于S2 016＝1 008×＝1 512. 答案：1 512 9．對于數列{an}，定義數列{an＋1－an}為數列{an}的“差數列”，若a1＝2，{an}的“差數列”的通項公式為2n，則數列{an}的前n項和Sn＝________. 解析：∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 10．(2017·福建泉州五中模擬)已

10、知lg x＋lg y＝1，且Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn，則Sn＝________. 解析：因為lg x＋lg y＝1， 所以lg(xy)＝1. 因為Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn， 所以Sn＝lg yn＋lg(xyn－1)＋…＋lg(xn－2y2)＋lg(xn－1y)＋lg xn， 兩式相加得2Sn＝(lg xn＋lg yn)＋[lg(xn－1y)＋lg(xyn－1)]＋…＋(lg yn＋lg xn)＝lg(xn·yn)＋lg(xn－1y·xyn－1)＋

11、…＋lg(yn·xn)＝n[lg(xy)＋lg(xy)＋…＋lg(xy)]＝n2lg(xy)＝n2，所以Sn＝. 答案： 三、解答題 11．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項和．數列{bn}為等差數列，且滿足b1＝a1，b4＝S3. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式； (2)設cn＝，數列{cn}的前n項和為Tn，證明：≤Tn<. 解：(1)由題意知，{an}是首項為1，公比為2的等比數列， ∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1. 設等差數列{bn}的公差為d，則b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， ∴d＝2，則bn＝

12、1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)證明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1， ∴cn＝＝ ＝， ∴Tn＝＝ ＝. ∵n∈N*，∴Tn＝<， 當n≥2時，Tn－Tn－1＝－＝>0， ∴數列{Tn}是一個遞增數列，∴Tn≥T1＝. 綜上所述，≤Tn<. 12．已知二次函數y＝f(x)的圖象經過坐標原點，其導函數為f′(x)＝6x－2，數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，試求數列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設二次函數f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b. 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x2－2x. 又因為點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上， 所以Sn＝3n2－2n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝＝ ＝， 故Tn＝1－＋＋…＋－＝＝.