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1、
備課資料
賭棍“考驗(yàn)”數(shù)學(xué)家
對(duì)概率的興趣,是由保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的,但刺激數(shù)學(xué)家思考概率論問(wèn)題的卻來(lái)自賭博者的請(qǐng)求.
傳說(shuō),17世紀(jì)中葉,法國(guó)貴族公子梅累參加賭博,和賭友擲骰子,各押賭注32個(gè)金幣.雙方約定,梅累如果先擲出三次6點(diǎn),或者賭友先擲出三次4點(diǎn),就算贏了對(duì)方.賭博進(jìn)行了一段時(shí)間,梅累已經(jīng)兩次擲出6點(diǎn),賭友已經(jīng)一次擲出4點(diǎn).這時(shí)候梅累接到通知,要他馬上陪國(guó)王接見(jiàn)外賓,賭博只好中斷了.這就碰到一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣才算合理呢?
賭友說(shuō),他要再碰上兩次4點(diǎn),或梅累要再碰上一次6點(diǎn)就算贏,所以梅累分64個(gè)金幣的,自己分64個(gè)金幣的.梅累
2、急辯說(shuō),不是,即使下一次賭友擲出了4點(diǎn),他還可以得,即32個(gè)金幣；再加上下一次還有一半希望得16個(gè)金幣,所以他應(yīng)該分64個(gè)金幣的,賭友只能分得64個(gè)金幣的.兩人到底誰(shuí)說(shuō)得對(duì)呢？
梅累為這問(wèn)題苦惱好久,最后他不得不向法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教,請(qǐng)求他幫助作出公正的裁判,這就成為有趣的“分賭注”問(wèn)題.
帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家.可是,梅累提出的“分賭注”的問(wèn)題,卻把他難住了.他苦苦思考了近三年,到1654年才算有了點(diǎn)眉目,于是寫(xiě)信給他的好友費(fèi)馬,兩人討論結(jié)果,并取得了一致的意見(jiàn)：梅累的分法是對(duì)的,他應(yīng)得64個(gè)金幣的,賭友應(yīng)得64個(gè)金幣的.這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更
3、斯,在巴黎聽(tīng)到這件新聞,也參加了他們的討論.惠更斯把討論的結(jié)果寫(xiě)成一本書(shū)叫做《論賭博中的計(jì)算》（1657年）,這就是概率論的最早一部著作.
除保險(xiǎn)事業(yè)之外,各行各業(yè)都經(jīng)常會(huì)碰到“某事件發(fā)生的可能性大小”的問(wèn)題.因此,概率論問(wèn)世后,在各方面得到了廣泛的應(yīng)用.可是,到了19世紀(jì)末,法國(guó)數(shù)學(xué)家貝特朗奇發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的怪論.他研究了下面一個(gè)問(wèn)題：
“設(shè)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,在圓上任作一弦,問(wèn)其長(zhǎng)度超過(guò)a的概率是多少？”
貝特朗奇算出了三種不同的答案,三種解法似乎又都有道理.人們把這種怪論稱為概率怪論,或貝特朗奇怪論.
貝特朗奇的解法如下：
解法一：
4、任取一弦AB,過(guò)點(diǎn)A作圓的內(nèi)接等邊三角形（如右圖）.因?yàn)槿切蝺?nèi)角A所對(duì)的弧占整個(gè)圓周的.顯然,只有點(diǎn)B落在這段弧上時(shí),AB弦的長(zhǎng)度才能超過(guò)正三角形的邊長(zhǎng)a,故所求概率是.
解法二：任取一弦AB,作垂直于AB的直徑PQ.過(guò)點(diǎn)P作等邊三角形,交直徑于N,并取OP的中點(diǎn)M（如下圖）.容易證明QN=NO=OM=MP.我們知道,弦長(zhǎng)與弦心距有關(guān).一切與PQ垂直的弦,如果通過(guò)MN線段的,其弦心距均小于ON,則該弦長(zhǎng)度就大于等邊三角形邊長(zhǎng),故所求概率是.
解法三：任取一弦AB.作圓內(nèi)接等邊三角形的內(nèi)切圓（如右圖）,這個(gè)圓是大圓的同心圓,而且它的半徑是大圓的,它的面積是大圓的,設(shè)M是弦AB的中點(diǎn)
5、,顯然,只有中點(diǎn)落在小圓內(nèi)時(shí),AB弦才能大于正三角形的邊長(zhǎng).因此所求的概率是.
細(xì)細(xì)推敲一下,三種解法的前提條件各不相同：第一種假設(shè)了弦的端點(diǎn)在四周上均勻分布；第二種假設(shè)弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布；第三種假設(shè)弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi)均勻分布.由于前提條件不同,就導(dǎo)致三種不同的答案.這是因?yàn)樵谀菚r(shí)候概率論的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）還沒(méi)有明確的定義,作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支來(lái)說(shuō),它還缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),這樣,對(duì)同一問(wèn)題可以有不同的看法,以致產(chǎn)生一些奇談怪論.
概率怪論的出現(xiàn),迫使數(shù)學(xué)家們注意概率基礎(chǔ)理論的研究.1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摴砘Y(jié)構(gòu),明確了概率的各種基本概念,使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支.
（設(shè)計(jì)者：鄧新國(guó)）
高中數(shù)學(xué)必修3教案：7_備課資料（3_3_2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生）
